數(shù)軸數(shù)與形的第一次碰撞

1、第02講數(shù)軸數(shù)與形的第一次碰撞為了學好有理數(shù)的概念，使思維適應數(shù)集的擴充，我們把現(xiàn)實生活中大量的有關模型，如直尺、杠桿、溫度計、儀表上的刻度，所具有的本質(zhì)屬性抽象化，建立起數(shù)軸模型數(shù)軸的建立，賦予了抽象的代數(shù)概念以直觀表象數(shù)學一開始就是研究“數(shù)”和“形”的，從古希臘時期起，人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來數(shù)與形有著密切的聯(lián)系，我們常用代數(shù)的方法研究圖形問題；另一方面，也利用圖形來處理代數(shù)問題，這種數(shù)與形相互作用，是一種重要的數(shù)學思想數(shù)形結(jié)合思想利用數(shù)形結(jié)合思想解題的關鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段，數(shù)軸是聯(lián)系數(shù)與形的橋梁，主要體現(xiàn)在：1運用數(shù)軸直觀地表示有理數(shù)；2運用數(shù)軸形象地解釋相反數(shù)；3運用數(shù)

2、軸準確地比較有理數(shù)的大小；4運用數(shù)軸恰當?shù)亟鉀Q與絕對值有關聯(lián)的問題例題【例 1】 (1) 數(shù)軸上有 A、 B 兩點，如果點A 對應的數(shù)是一2，且 A、 B 兩點的距離為3，那么點 D 對應的數(shù)是 ( 江蘇省競賽題 )(2) 在數(shù)軸上，點 A、 B 分別表示1 和 1，則線段 AB的中點所表示的數(shù)是35思路點撥 (1) 確定 B 點的位置； (2) 在數(shù)軸上選擇兩個特殊點，探索它們的中點所表示的數(shù)與所選兩點所表示的數(shù)的聯(lián)系【例 2】如圖，在數(shù)軸上有六個點，且AB=BC=CD=DE=EF，則與點 C 所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是 () 思路點撥利用數(shù)軸提供的信息，求出AF的長度1【例 3】比較 a 與

3、的大小思路點撥 因為 a 表示的數(shù)有任意性，直接比較常會發(fā)生遺漏的現(xiàn)象，若把各個范圍在數(shù)軸上表示出來，借助數(shù)軸討論它們的大小，則形象直觀，解題的關鍵是由111， 1，0，據(jù)此 3 個數(shù)把數(shù)軸分為6 個部分a、 無意義得出 aaa【例 4】（ 1）閱讀下面材料并回答問題28(1) 閱讀下面材料：點 A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B 兩點之間的距離表示為AB當 A、B兩點中有一點在原點時， 不妨設點 A 在原點，如圖 1，ABOB b=ab當 A、 B兩點都不在原點時，如圖 2，點 A、B都在原點的右邊 AB OB OA b |a|=ba=|a b| ；如圖 3，點 A、B都在原點的左邊，

4、 AB OB OA b |a|=ba=|a b| ；如圖 4，點 A、B在原點的兩邊， AB OB OAb |a|= b( a)=|a b| ；綜上，數(shù)軸上 A、B兩點之間的距離 |AB|=|a b| 回答下列問題：數(shù)軸上表示 2 和 5 的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示 2 和 5 的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示 1 和 3 的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示 x 和 1 的兩點 A 和 B 之間的距離是 , 如果 AB 2 用么 x 為；當代數(shù)式 x+1十 x2取最小值時，相應的 x 的取值范圍是注：有效地從圖形、圖表獲取信息是信息社會的基本要求從數(shù)軸上獲取有關信息是解有理數(shù)問題的常用技巧，主要

5、包括：數(shù)軸上堵塞點所表示的數(shù)是正負性；數(shù)軸上的點到原點的距離字母表示數(shù)是代數(shù)的特點，但字母具有抽象性，所以在條件允許的范圍內(nèi)賦予宇母以特殊值來計算、判斷或探求解題思路，能化抽象為具體，這就是我們常說的“賦值法”，但這種方法不能作為解題的規(guī)范過程純粹的代數(shù)的方法比較抽象，如能借助圖形 ( 利用數(shù)形結(jié)合的思想方法 ) ，則可使許多抽象的概念和復雜的數(shù)量關系直觀化、形象化，甚至簡單化試求 x-1 十 x 2 + x3+ x 1997的最小值( 天津市競賽題 )思路點撥 對于 (1) ，閱讀理解從數(shù)軸上看，ab 的意義；對于 (2) 由于 x 的任意性、無限性，因此，通過逐個求出代數(shù)式的值解題明顯困難

6、，不妨從絕對值的幾何意義，利用數(shù)軸入手，借助(1) 的結(jié)論解題【例 5】 (1) 工作流水線上順次排列5 個工作臺 A、 B、 C、 D、 E，一只工具箱應該放在何處，才能使工作臺上操作機器的人取工具所走的路程最短如果工作臺由 5 個改為 6 個，那么工具箱應如何放置能使 6 個操作機器的人取工具所走的路程之和最短當流水線上有 n 個工作臺時，怎樣放置工具箱最適宜思路點撥 把流水線看作數(shù)軸，工作臺、工具箱看作數(shù)軸上的點，這樣，就找到了解決本例的模型數(shù)軸，將問題轉(zhuǎn)化為例4 的形式求解學力訓練1在數(shù)軸上表示數(shù)a 的點到原點的距離為3，則 a3 2 a、 b、 c 在數(shù)軸上的位置如圖所示，則1、 1

7、、 1中最大的是abcbac3有理數(shù) a、b、c 在數(shù)軸上的位置如圖所示，若mabb1ac1c ，則，則 1000m ( “希望杯”邀請賽試題)4如圖，工作流程線上A、 B、 C、 D處各有 1 名工人，且AB BC CD 1，現(xiàn)在工作流程線上安放一個工具箱，使4 個人到工具箱的距離之和為最短，則工具箱的安放位置是5有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，化簡abcb 的結(jié)果為 () Aa+cB -a-2b+cC a+2b-cD-a-c6如圖，數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距 1 個單位，點 A、 B、 C、D 對應的數(shù)分別是整數(shù) a、b、c、d ，且 d 2a =10，那么數(shù)軸的原點應是 () AA 點

8、 BB點 CC點 DD點7 x1x1 的最小值是 () A 2B 0C 1D一 l8數(shù) a、b、c、 d 所對應的點 A、B、 C、 D 在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么ac 與d 的大小關系是 () ( 江蘇省競賽題 )A ac bd B ac =bd C ac bd D不確定的9有理數(shù) a、b 滿足 a0 ， b0 ， ab ，用“ ”將 a、b、 a、 b 連接起來10 x1x2x3 的最小值是11若 a0， b0 ，則使 xaxbab 成立的 x 取值范圍是12如圖， A、 B、 C、 D、 E 為數(shù)軸上的五個點且ABBC=CD=DE，則圖中與 P 點表示的數(shù)比較接近的一個數(shù)是（）A一lB 1C3D 513不相等的有理數(shù)a、 b、c 在數(shù)軸上對應點分別為A、 B、 C，若abbcac ，那么點B()A在A、 C 點右邊B在A、 C點左邊C在A、 C點之間D以上均有可能14試求x2x4x6x2000 的最小值15某城鎮(zhèn)沿環(huán)形路上依次排列有五