蘇教版數(shù)學(xué)高一蘇教版必修4 3.3幾個(gè)三角恒等式

1、互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1.積化和差公式sincos=sin(+)+sin(-)；cossin=sin（+)-sin(-)；coscos=cos(+)+cos(-)；sinsin=-cos(+)-cos(-).公式的推導(dǎo)如下：sin（+)=sincos+cossin(S+)，sin(-)=sincos-cossin(S-)，cos(+)=coscos-sinsin(C+)，cos(-)=coscos+sinsin(C-).則公式S+S-,S+-S-,C+C-,C+-C-得：sin(+)+sin(-)=2sincos,sin(+)-sin(-)=2cossin,cos(+)+cos(-)=2coscos

2、,cos(+)-cos(-)=-2sinsin.即sincos=sin(+)+sin(-) cossin=sin(+)-sin(-) coscos=cos(+)+cos(-) sinsin=-cos(+)-cos(-) 公式叫做積化和差公式.2.積化和差公式的規(guī)律（1）兩角的正弦，余弦的積都可化成f(+)f(-)的形式.(2)如果兩角的函數(shù)同為正弦或余弦，那么“f”表示余弦；如果一為正弦一為余弦，那么“f”表示正弦.（3）如果兩角函數(shù)中有余弦函數(shù)，那么在后面的“”處取“+”，無余弦函數(shù)時(shí)，取“-”.（4）僅當(dāng)兩角函數(shù)均為正弦函數(shù)時(shí)，前面的“”才取“-”，其他情況均為“+”.3.和差化積公式si

3、n+sin=2sincos;sin-sin=2cossin;cos+cos=2coscos;cos-cos=-2sinsin.在積化和差公式中，若令+=,-=,那么=,=,把,的值代入公式乘以2,再把公式反用，就能得出和差化積公式.4.和差化積公式的特點(diǎn)（1）公式的左邊全是同名函數(shù)的和或差，前兩個(gè)是正弦的和與差，后兩個(gè)是余弦的和與差，右邊積的系數(shù)前三個(gè)是2，最后一個(gè)是-2.（2）左邊的角前面一個(gè)是，后面一個(gè)是，積式中的角，前面一個(gè)是原來兩角和之半，即，后面一個(gè)是原來兩角差之半，即.（3）正弦和的積式為正弦乘以余弦，正弦差的積式為余弦乘以正弦，余弦和的積式全為余弦，余弦差的積式全為正弦.5.學(xué)習(xí)

4、積化和差與和差化積要注意的幾個(gè)問題（1）積化和差公式的推導(dǎo)用了“解方程組”的思想，和差化積公式的推導(dǎo)用了“換元”思想.（2）不論是積化和差還是和差化積中的“和差”與“積”，都是指三角函數(shù)間關(guān)系而言，并不是指角的關(guān)系.（3）只有系數(shù)絕對(duì)值相同的同名函數(shù)的和與差，才能直接應(yīng)用公式化成積的形式.如果是一正弦與一余弦的和與差，可先用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)后，再運(yùn)用和差化積公式化成積的形式.（4）三角函數(shù)的和差化積，可以理解為代數(shù)中的因式分解，因此，因式分解在代數(shù)中起什么作用，和差化積公式在三角中就起什么作用.（5）積化和差與和差化積是一對(duì)孿生兄弟，不可分離，在解題過程中，要切實(shí)注意兩者的交替作用，如在一

5、般情況下，遇有正、余弦函數(shù)的平方，要先考慮二倍角公式的變形應(yīng)用進(jìn)行降冪，然后應(yīng)用和差化積、積化和差公式交替使用進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)算.和積互化公式其基本功能在于：當(dāng)和、積互化時(shí)，角度要重新組合，因此有可能產(chǎn)生特殊角；結(jié)構(gòu)將變化，因此有可能產(chǎn)生互消項(xiàng)或互約因式，從而有利于化簡(jiǎn)求值.正因?yàn)槿绱恕昂?、積互化”是三角恒等變形的一種基本手段.（6）為了能把三角函數(shù)式化成積的形式，有時(shí)需要把某些數(shù)當(dāng)作三角函數(shù)值，如把-cos化為積的形式，將看作cos.活學(xué)巧用【例1】 求下列各式的值（1）cossin；（2）2cos50cos70-cos20.解析:（1）方法一：cossin=sin（+）-sin（-）=（sin

6、-sin）=（1-）=-.方法二：cossin=coscos=cos2=（2）原式=cos（50+70）+cos（50-70）-cos20=cos120+cos20-cos20=cos120=-.【例2】求sin10sin30sin50sin70的值.解法一：原式=sin10sin50sin70=sin10(-)(cos120-cos20)=sin10(+cos20)=sin10+sin10cos20=sin10+sin30+sin(-10)=.解法二：原式=cos20cos40cos60cos80=cos20cos40cos80=sin20cos20cos40cos80=sin40cos40

7、cos80=sin80cos80=sin160=.【例3】-2sin70的值等于（ ）A.1 B.-1 C.2 D.-2解析：原式=1.答案：A【例4】 化簡(jiǎn)下列各式.（1）sin104+sin16；(2)cos(+）+cos(-)；(3)sin75-sin15；(4)cos75-cos23.解析：(1)sin104+sin16=2sincos=2sin60cos44=cos44.(2)cos(+)+cos(-)=2cos=2coscos=cos.(3)sin75-sin15=2cos=2cos45sin30=2=.(4)cos75-cos23=-2sin=-2sin49sin26.【例5】 化簡(jiǎn)解析：原式=tan4A【例6】 已知A、B、C為三角形的三個(gè)內(nèi)角，且方程(x2-1)sinB-(x2-x)sinC-(x-1)sinA=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求tantan的值.解析：原方程化為：（sinB-sinC）x2+(sinC-sinA)x+sinA-sinB=0易得兩相等實(shí)根為x1=x2=1,由韋達(dá)定理可得2sinB=sinA+sinC，即4sincos=2sincos，即2cos=cos，即2(coscos-sinsin)=coscos+sinsin，coscos=3sinsin，tantan=.【例7】若x-y=A（定值），則sinxsiny