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1、把（把（1）中的兩個(gè)式子對(duì)應(yīng)的左右兩部分分別乘以入和1-入然后再相加，即得(2) #10第十一章二次規(guī)劃習(xí)題11P178-1(1)，51.用拉格朗日方法求解下列二次規(guī)劃問(wèn)題：(1)minf(x)=2x21+x22+x1x2-x1-x2,(49)s.t.x1+x2=1;首先寫(xiě)出該問(wèn)題的拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)(x,入)=1xTHx+cTx一入(AX1).H=1412,c=-1,A=(1,1),(50)對(duì)上述函數(shù)關(guān)于x求極小.由于H對(duì)稱正定，故函數(shù)L(x,入)關(guān)于x為凸函數(shù).令xL(x,入)=Hx+c一At入=0,H對(duì)稱正定，以及等式約束條件x=1,TOC o 1-5 h z-AAT)(x)=(C(51)

2、(I一1)(I2卜(1)(52)解得(x；)=(3/4),(53)(54)5設(shè)A6Rmxn行滿秩，a6Rn,證明二次規(guī)劃問(wèn)題(54)min1(xa)T(xa),s.t.Ax=b;的解以及相應(yīng)的拉格朗日乘子分別為：x*=a+At(AAt)-i(bAa),A*=(AAt)-i(bAa)證明：mins.t.1xTHxaTx+iaTa,Ax=b；2(55)其中H單位矩陣E,對(duì)上述函數(shù)關(guān)于x求極小.令由于H對(duì)稱正定，故函數(shù)L（x,入）關(guān)于x為凸函數(shù).%L(x,入)=HxaAT入=0,H對(duì)稱正定，以及等式約束條件x=b,HxaAT入=0,x+H1(a)H1At入=0,Ax+AH-1(a)AH-1AT入=0,b+AH-1(a)AH-1At入=0,其中H單位矩陣E,A行滿秩，因此，AAt可逆(需要簡(jiǎn)單證明)入=(AAt)-1(bAa),因此有拉格朗日乘子的唯一性解,也就有了最優(yōu)

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