概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：Ch1-5 條件概率與獨(dú)立性

1、第一章 隨機(jī)事件與概率（二）1.5 條件概率與獨(dú)立性 一、 條件概率二、隨機(jī)事件的獨(dú)立性三、獨(dú)立性在可靠性問題中的應(yīng)用四、 貝努利概型與二項(xiàng)概率一、條件概率 問題的提法給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 是它的樣本空間, 問“事件 發(fā)生的概率是多少” ？在上述條件下, 問“已知某事件 發(fā)生了, 那么事件 發(fā)生的概率是多少” ?例: 某班有100名學(xué)生, 共發(fā)了10張電影票, 采取抽簽的方式.問題1: 張小明拿到電影票的概率是多少?問題2: 若李小亮第一個(gè)抽簽, 抽中了, 問張小明拿到電影票的概率是多少? 若李小亮沒有抽中, 張小明抽中的概率又是多少?例1 盒中裝有16個(gè)球, 其中6個(gè)玻璃球、2個(gè)紅色4個(gè)藍(lán)色;

2、 10個(gè)木質(zhì)球、其中3個(gè)紅色, 7個(gè)藍(lán)色. 現(xiàn)從中任取一球.記則總球數(shù)166個(gè)玻璃2個(gè)紅色4個(gè)藍(lán)色10個(gè)木質(zhì)3個(gè)紅色7個(gè)藍(lán)色則問: “如果已知取到的是藍(lán)色球, 那么它是玻璃球的概率”是多少？ 上述概率可以記為 . 事實(shí)上, 此時(shí)的樣本空間已經(jīng)發(fā)生變化, 變成為11 個(gè)藍(lán)色球（ ）. 所以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn): 定義1.2 給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 是它的樣本空間, 對(duì)于 任意兩個(gè)事件 , 其中 , 稱為已知事件 發(fā)生的條件下事件 發(fā)生的條件概率.容易得到: 條件概率也是概率, 滿足概率的公理化定義中的三條公理, 即:公理1 非負(fù)性公理2規(guī)范性公理3 對(duì)可列個(gè)兩兩不相容事件可列可加性相仿可以得到如下性質(zhì):以及等

3、類似七條性質(zhì).例2 5個(gè)乒乓球, 其中3個(gè)新的, 兩個(gè)舊的. 每次取一個(gè).無(wú)放回地取兩次. 記求:解 例3 某建筑物按設(shè)計(jì)要求使用壽命超過50年的概率為0.8, 超過60年的概率為0.6. 該建筑物經(jīng)歷了50年后, 它將在10年內(nèi)倒塌的概率有多大?解 :該建筑物的壽命在5 0年以上; :該建筑物的壽命在60年以上.則所求概率為例4 設(shè) 為兩個(gè)隨機(jī)事件, 且求解 因例5 設(shè) 為事件, 且則下列選項(xiàng)成立的是 .(A)(B)(C)(D)正確答案 (B)例6 設(shè) 為事件, 且則下列選項(xiàng)成立的是 .(A)(B)(C)(D)正確答案 (C)例7 設(shè) 為對(duì)立事件, 且則下列各式中錯(cuò)誤的是 .(A)(B)(C

4、)(D)正確答案 (A)則 .例8 設(shè) 是隨機(jī)事件, 與 互不相容，注意到 . 由條件概率公式: 當(dāng) （或 ）時(shí),有或變形后有或上式稱為概率的乘法公式. 乘法公式可推廣到多個(gè)事件上去, 例如, 三個(gè)事件的乘法公式為例9 10個(gè)考題中, 4難6易. 三人參加抽題（不放回）,甲先、乙后、丙最后. 記事件 分別表示三人各抽到難題. 試求:解 二、事件的相互獨(dú)立性定義1.3 稱兩個(gè)事件 是相互獨(dú)立的, 如果思考:相互獨(dú)立與互不相容有何區(qū)別? 上式等價(jià)于（當(dāng) ）. 獨(dú)立性的直觀意義是一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率. 上式也等價(jià)于（當(dāng) ）. 獨(dú)立性往往蘊(yùn)含在事物的內(nèi)部.例10 一副撲克牌共52張

5、, 現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取一張. 記驗(yàn)證: 事件 與 是相互獨(dú)立的.解 因從而有即: 事件 與 是相互獨(dú)立的.或者例11 拋一枚均勻硬幣2次, 第一次正面向上 ,第二次正面向上 ,驗(yàn)證: 事件 與 是獨(dú)立的.解 試驗(yàn)的樣本空間為正正, 正反, 反正, 反反則可見即事件 與 是獨(dú)立的.例12 甲、乙兩人同時(shí)向一敵機(jī)射擊，二人擊中的概率分別為0.6和0.5. 求敵機(jī)被擊中的概率.解 設(shè)甲擊中目標(biāo) ,乙擊中目標(biāo) ,則 相互獨(dú)立. 所求概率為定理 若下列四對(duì)事件與 ;與 ;與 ;與 中有一對(duì)相互獨(dú)立, 則另外三對(duì)也相互獨(dú)立. 即有相應(yīng)可列出其它等式.例12也可用下面的方法求之:定義1.4 稱事件組 是相互獨(dú)

6、立的, 如果有四個(gè)等式都成立. 獨(dú)立性的定義可推廣到 個(gè)事件上去. 特別地, 當(dāng)事件 相互獨(dú)立時(shí), 有上述定理也可以推廣.例13 設(shè)某型號(hào)的高射炮, 每一門炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中敵機(jī)的概率為0.6. 現(xiàn)若干門炮同時(shí)發(fā)射（每門一發(fā)）.問: 至少需要配置多少門高射炮, 才能以99%的把握擊中敵機(jī)?解 記 第 門炮擊中敵機(jī)敵機(jī)被擊中 . 則由題意,即: 至少需要配備6門炮, 才能以99%的把握命中敵機(jī).例14 設(shè)兩兩相互獨(dú)立的事件 滿足:且已知?jiǎng)t . 解 記 , 則由獨(dú)立性和加法公式 解得 例15 設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件 和 都不發(fā)生的概率為 , 發(fā)生 不發(fā)生的概率與 發(fā)生 不發(fā)生的概率 相等, 則 .解

7、 由題意知 ,又記則三、獨(dú)立性在可靠性問題中的應(yīng)用 一個(gè)產(chǎn)品或一個(gè)元件、一個(gè)系統(tǒng)的可靠性可以用可靠度來(lái)刻劃. 所謂可靠度指的是產(chǎn)品能正常工作的概率. 以下討論中, 假定一個(gè)系統(tǒng)中的各個(gè)元件能否正常工作是相互獨(dú)立的. 兩個(gè)基本模型:串聯(lián)系統(tǒng)設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由 個(gè)元件串聯(lián)而成, 第 個(gè)元件的可靠度為 , 則系統(tǒng)的可靠度為并聯(lián)系統(tǒng)設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由 個(gè)元件并聯(lián)而成, 第 個(gè)元件的可靠度為 , 則系統(tǒng)的可靠度為例15 求下面混聯(lián)系統(tǒng)的可靠度, 其中每個(gè)元件的可靠度都是 .1234解 系統(tǒng)的可靠度為四、貝努利概型與二項(xiàng)概率 如果在一個(gè)試驗(yàn)中, 我們只關(guān)心某個(gè)事件 發(fā)生與否,那么稱這個(gè)試驗(yàn)為貝努利試驗(yàn). 此時(shí)試驗(yàn)的結(jié)

8、果可以看成只有兩種: 發(fā)生或者 不發(fā)生. 相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為貝努利概型. 如果把貝努利試驗(yàn)重復(fù)獨(dú)立地做 次, 則稱這 次試驗(yàn)為 重貝努利試驗(yàn). 在 重貝努利試驗(yàn)中, 我們主要研究事件 發(fā)生的次數(shù)以及事件 恰好發(fā)生 次的概率. 問題的一般提法: 設(shè)在單次試驗(yàn)中, 事件 發(fā)生的概率為 , 將此試驗(yàn)重復(fù)獨(dú)立地進(jìn)行 次, 問事件 恰好發(fā)生 次的概率（記為 ）是多少？定理 重貝努利試驗(yàn)中, 事件 恰好發(fā)生 次的概率為這里 . 由于因此稱 為二項(xiàng)概率.例16 一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2. 若一周五個(gè)工作日里每天是否發(fā)生故障是相互獨(dú)立的. 試求一周內(nèi)發(fā)生了三次故障的概率.解 此為 的二項(xiàng)概率, 因此所求概率為例17 某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊, 每次射擊命中目 標(biāo)的概率為 , 求此人第四次射擊恰好第二次命中的概率.解 依題意, 知前三次擊中一次, 第四次擊中, 則前三次恰好擊中一次的概率是因此, 所求概率為例18 設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為 如果射擊5000次, 試求至少兩次命中目標(biāo)的概率.解 此為 的二項(xiàng)概率. 由計(jì)算公式:例19 考試靠懵行不行. 對(duì)于每一個(gè)學(xué)生而言, 求學(xué)過程中會(huì)面對(duì)很多次的考試, 如果平時(shí)不努力學(xué)習(xí), 想憑運(yùn)氣靠懵來(lái)通過考試,