例談三棱錐的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用

1、例談三棱錐的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用本文結(jié)合幾道高考試題，對(duì)三棱錐的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)在求錐體體積問題中的運(yùn)用予以介紹 .預(yù)備知識(shí)三角形一邊的中線將原三角形分成的兩個(gè)三角形的面積相等 .如圖，已知點(diǎn) D 是 ABC 的邊 BC 上的中點(diǎn)， 則由三角形的面積公式易知 SABD=S ACD.定理經(jīng)過一個(gè)三棱錐中沒有公共點(diǎn)的兩條棱中一條棱的中點(diǎn)和另外一條棱的平面，將該三棱錐截成體積相等的兩部分 .如圖，已知在三棱錐 S-ABC 中，點(diǎn) D 是 SA 的中點(diǎn)， 所以由預(yù)備知識(shí)得： S ABD=S BDS. 設(shè) C 到平面 SAB 的距離為 h，則 VS-BCD=VC-BDS=13S BDSh ， VA-BCD=V

2、C-ABD=13S ABDh ，所以 VS-BCD=V A-BCD.下面就舉例來談?wù)勥@一性質(zhì)在求三棱錐的體積中的運(yùn)用.例 1（2010 陜西文 18）如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD ， AP=AB ， BP=BC=2 ，E， F 分別是 PB， PC 的中點(diǎn) .（）證明： EF平面 PAD；（）求三棱錐E-ABC 的體積 V.（）證明略；（） 分析：如圖，連接 AC ，AE ，CE，由矩形 ABCD 知三棱錐 P-ABC 的體積是四棱錐 P-ABCD 體積的 12.由 E 為 PB 的中點(diǎn)知三棱錐 E-ABC 的體積是三棱錐 P-ABC 體積的1

3、2.于是，三棱錐 E-ABC 的體積 V 是四棱錐 P-ABCD 的體積的 14.解連接 AC ， AE ， CE.由 PA平面 ABCD ， AP=AB ，BP=BC=2 ， 知： AP=AB=2.所以 VP-ABCD=13SABCD?AP=13?22?2=43.由矩形 ABCD 知 VP-ABC=12VP-ABCD.又 E 為 PB 的中點(diǎn)，所以 VE-ABC=12VP-ABC=14VP-ABCD=14?43=13.例 2（ 2012 全國課標(biāo)理 11）已知三棱錐 S-ABC 的所有頂點(diǎn)都在球 O 的球面上， ABC 是邊長(zhǎng)為 1 的正三角形，SC 為球 O 的直徑，且SC=2，則此棱錐的

4、體積為（） .分析如圖，連接 AO ，BO. 因?yàn)?O 是 SC 的中點(diǎn)，所以三棱錐 S-ABC 的體積是三棱錐 O-ABC 體積的 2 倍，于是求出三棱錐 O-ABC 的體積即可知道三棱錐 S-ABC 的體積 .解連接 AO ， BO，取 AB 的中點(diǎn) D ，連接 OD ， CD，作OO CD，垂足為 O .因?yàn)?OA=OB=OC=1 ， ABC 是邊長(zhǎng)為1 的正三角形，所以 CO =2312- （12） 2=33.所以 OO =12- （ 33） 2=63.又 S ABC=12?1?1?sin60 =34，所以 VS-ABC=2VO-ABC=2?13?34?63=26.例 （3 2012

5、遼寧文 18）如圖，直三棱柱 ABC=A B C，BAC=90 ， AB=AC=2 ，AA =1，點(diǎn) M ，N 分別為 A B和 BC的中點(diǎn) .（）證明： MN 平面 A ACC ；（）求三棱錐A -MNC 的體積 .（）證明略；（） 分析：如圖，連接 BN ，由 M 為 A B 的中點(diǎn)知三棱錐 A -MNC 的體積是棱錐 A -BNC 體積的 12.解連接 BN. 因?yàn)?BAC=90 ，AB=AC=2 ，AA =1，所以 BC= （ 2） 2+（ 2）2=2.又 N 為 B C的中點(diǎn)，所以 SABC=12?2?1=1 ， A N=1，因三棱柱ABC-A B C是直三棱柱，所以 AN平面 AA

6、CC .所以由 M 為 AB 的中點(diǎn)知VA -MNC=12V A -BCN=12?13?1?1=16.例 4（ 2013 年高考安徽（文） ）如圖，四棱錐 P-ABCD 的底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 2 的菱形， BAD=60 .已知PB=PD=2 ，PA=6.（）證明：PC BD.（）若E 為 PA 的中點(diǎn)，求三棱錐P-BCE 的體積 .（）證明略 .（）分析：如圖， E 為 PA 的中點(diǎn)， 所以三棱錐P-BCE的體積是三棱錐 P-ABC 的體積的 12.連接 AC ，則三棱錐 P-ABC 的體積是四棱錐 P-ABCD 的體積的 12，于是三棱錐 P-BCE 的體積是四棱錐 P-ABCD 的體積的 14.解連接 AC 交 BD 于 O，連接 PO.因?yàn)樗倪呅?ABCD 是菱形，所以 BD AC ， BO=DO. 又 PB=PD ，所以 BD PO.又 AB=AD=2 ， BAD=60 ，所以 BO=1. 所以 PO2=3，AO2=3.又 PA2=6，所以 PA2=PO2+AO2. 所以 AC PO.所以