概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末總復(fù)習(xí)小結(jié)

1、第二、三、四章隨機(jī)變量的分布及數(shù)字特征習(xí)題課一、小結(jié)1.一維隨機(jī)變量的概率分布 F (x) P X x ( x )隨機(jī)變量 的分布函數(shù)的X概念與性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的概率分布與性質(zhì)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度與性質(zhì)重要分布（01分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、幾何分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布）2.二維隨機(jī)變量的概率分布分布函數(shù)的概念與性質(zhì)、邊緣分布函數(shù)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣密度、條件密度重要分布（二維均勻分布、二維正態(tài)分布）隨機(jī)變量的獨(dú)立性3.隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布4.隨

2、機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望定義、公式與性質(zhì)方差的定義與性質(zhì)原點(diǎn)矩與中心矩【第 1 頁 共 4 頁】協(xié)方差定義與性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)不相關(guān)的充要條件5.極限定理切比雪夫不等式大數(shù)定律中心極限定理二、習(xí)題1.每次試驗(yàn)成功的概率為 （0 p1p第 次才取得 （）次成功的概率是【B】1 r nnrr rnn rr1 rnr(A) )(B)C p p)C p pn1C p p)nrrnrr1 r1(C) (1 )p p(D)n12.設(shè)隨機(jī)變量 ，則隨著 的增大，概率2X N( , 2 ) 【C】P X (A) 單調(diào)增大(C) 保持不變(B) 單調(diào)減小(D) 增減不定3.設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量 與 的分布

3、函數(shù)分別X Y max X ,YF (x), F (y)，則Z的分布函數(shù)是【】XY(A)F (z) max F (z), F (z)ZXY(B) ( ) maxF z ( ) , ( )F z F zZXY(C) ( ) ( ) ( )F z F z F z(D)都不是ZXY【第 2 頁 共 4 頁】4.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布，EX 1，X , X , X129i9DX 1 i，則對任意的X，有 0Siii1【B】19 (A)(C)(B)P S 9 1P S 1 1221 11 P S 9 1(D)P S1 12925某事件的概率為 1/4,如果試驗(yàn) 8 次則該事件就【】(A)一定出現(xiàn)兩次

4、(C)至少出現(xiàn) 1 次(B)一定出現(xiàn) 6次(D)出現(xiàn)次數(shù)不能確定6.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 與 的方差分別是X Y 4 ，2，則隨機(jī)變量的方差是3X 4Y【68】7.設(shè)有 5 枚 1 分硬幣、3 枚 2 分硬幣和 2 枚 5 分的硬幣，從中任取 5 枚求取出金額超過 1 角的概率為【 】B ， 則8. 設(shè)與 相 互 獨(dú) 立 且 都 服 從XY P X Y 【 】1,x0,1,329.設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度為x, 3, 6, 若f(x) X90,其他.2 P X k ，則 的取值范圍是【1,3】k310.設(shè)隨機(jī)變量 與 的相關(guān)系數(shù)為X Y ，EX EY 0【6】，222，則 (E X)EX E

5、Y 2 Y 盒中放有 6個(gè)乒乓球，其中 4個(gè)是新的，第一次比賽時(shí)，從中任取 2 個(gè)來用，比賽后放回盒中；第二次比賽時(shí)再從盒中任【第 3 頁 共 4 頁】取 2 個(gè).（1）求第二次取出的兩球都是新球的概率；（2則第一次取出的兩球是一新一舊的概率.【0.16；0.67】12.設(shè) X服從區(qū)間上的均勻分布，求Y Xe 的分布密度；X2 的分布密度.Y【y1e2 y , 】f y 2Y 其它.13.假設(shè)某種型號的螺絲釘?shù)闹亓渴请S機(jī)變量，期望值為 50克，標(biāo)準(zhǔn)差為 5克，設(shè)每 100 個(gè)螺絲釘為一袋，求每袋螺絲釘?shù)闹亓砍^ 5100克的概率；若這樣的螺絲釘裝有 500 袋，求 500 袋中最多有 的重量超

6、過 5100 克的概率已知 ， .【 ； 】14.假定到某服務(wù)單位辦事的等待時(shí)間 X（單位：分鐘）服從以 為參數(shù)的指數(shù)分布，而某人等待時(shí)間超過 15 分鐘就會離去.110設(shè)此人一個(gè)月要去該處 10 次，試求：此人離去的概率；一個(gè)月里至少有兩次離去的概率 .【第 4 頁 共 4 頁】【；】0.22310.689915.設(shè)(X Y在區(qū)域 D 內(nèi)服從均勻分布，D 為 01，x，1，求關(guān)于 X和 Y 的邊緣分布密度；X與 Y 是否相互獨(dú)立，為什么？求 X與 Y 的協(xié)方差 (X，Y).2x,0 x 12 2y,0 y 1,f y 0, ； ( )f x 0, 其它其它.XY1 Cov X ,Y 不獨(dú)立；

7、】36【第 5 頁 共 4 頁】第五、六、七章習(xí)題課一、小結(jié)（一）樣本與抽樣分布1.基本概念總體、個(gè)體、樣本、樣本容量 具XX , X , X12n有相同的分布.統(tǒng)計(jì)量：樣本的函數(shù)，且不含任何未知參X , X , Xg(X , X , , X )12n12n數(shù).樣本數(shù)字特征：1樣本均值樣本方差n；X Xnii111n，修正樣本方差n；2S2(X X )2S*2(X X )nin 1ii1i111.樣本 階原點(diǎn)矩kn；樣本 階中心矩knA XB (X X )kkkniknii1i1定理 若總體 的期望為 ，方差為 ，2是來自總體 的簡XX , X , X1 2Xn2單隨機(jī)樣本，則* 2.2EX

8、,DX,ES n2.抽樣分布定理 （生成原理）獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍為正態(tài)隨機(jī)變量；獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方和n服從自由度為 的n2分布；X2ii1U設(shè) ， 相互獨(dú)立，且U，2，則服從自由度服從自由度 ( )nTVU N (0,1)VV / n為 的 分布；ntU / mV / n設(shè) ， 相互獨(dú)立，且V2，2，則FUU (m)V (n)為的 分布.F(m,n) 若，則n，.X ( )EX nDX 2n第 1 頁2定理 （一個(gè)正態(tài)總體抽樣分布）設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，則(, )2X , X , , XN12n2；X N (,)nX U ； N n(n 1)S*2； ( 1)22n

9、2 與 相互獨(dú)立；S 2XX T . t(n S*n定理 （兩個(gè)正態(tài)總體抽樣分布）設(shè)與是分別來自X , X , , XY ,Y , ,Yn12n1122正態(tài)總體和的簡單隨機(jī)樣本，且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，則N ( , )N( , )221122/S*22；F F (n n 11*22212S2(X Y ) ( )當(dāng)時(shí)，T，其中 ( 2)t n n22212121112Swnn12(n S (n Sn S n S*2*2222.2S2112112 n 2n n 2wn12123.分位數(shù)P X設(shè) 為 的 為xP X xx xX的 上側(cè)分位數(shù).X它們的關(guān)系是： （上）x（下）.x1會畫2分布的密度曲 線

10、，會查 它們的分 位數(shù)表， 其中FN 、t、 、1（顛倒自由度，查表取倒數(shù)）.F (n ,n ) 112(n ,n )F21（二）參數(shù)估計(jì)1.點(diǎn)估計(jì)方法第 2 頁及其函數(shù).例如 估計(jì)一個(gè)參數(shù) ，令，解出 ；X 1估計(jì)兩個(gè)參數(shù) , ，令n，解出 ,.X , X 221212nii1最大似然估計(jì)法：選取參數(shù)，使樣本取值的概率X , X , , Xx , x , , x12n12n（密度）最大. 其步驟如下：寫出似然函數(shù) x P X1 xL) P XxP X122nnf x f xL ) ( , ) ( , )( ,) f x12n取對數(shù)；ln L)求出（即）的最大值點(diǎn) ；L )ln L) 的最大似

11、然估計(jì)為 .2.點(diǎn)估計(jì)的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)無偏性： ； E有效性： 且 ，則稱 比 有效； EEDD121212 ，則稱 是 的一致估計(jì)量. P 1 nnn3.區(qū)間估計(jì)概念 若 為參數(shù) 的置信概率為的1 1 , )P1212置信區(qū)間.概率意義 等式表示隨機(jī)區(qū)間 包含參數(shù) 的 1 , ) P1212概率為1.置信概率1 的長度 反映1 , ) 122精確度，越小越好.求置信區(qū)間的原則：對于給定的置信概率，使置信區(qū)間 的長 , )112度 越小越好.1 24.一個(gè)正態(tài)總體, )2N (第 3 頁 已知， 的置信區(qū)間為；2XXun12S* 未知， 的置信區(qū)間為；n( 2tn12nn(X )(X )22ii 已

12、知， 的置信區(qū)間為；,211ii(n) ( )22n122 ( (n 1)S nS*2*2. 未知， 的置信區(qū)間為,2( ( 2n2n122（三）假設(shè)檢驗(yàn)1.小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上不會發(fā)生.2.假設(shè)檢驗(yàn)的步驟：提出待檢假設(shè) 和備擇假設(shè) ；HH01選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并確定其分布；根據(jù)給定的顯著水平 ，查概率分布表，確定否定域； ，H0否則接受 .H03 兩類錯(cuò)誤真而拒絕，稱為第一類（棄真）錯(cuò)誤，犯第一類錯(cuò)誤的概率HH00P T W H， 0 假而接受H，稱為第二類（納偽）錯(cuò)誤，犯第二類錯(cuò)誤的概率記作H00P T W H. 14.一個(gè)正態(tài)總體, )2參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（拒絕域均采用下側(cè)分

13、位數(shù)）N (2已知，關(guān)于 的檢驗(yàn)（ 檢驗(yàn)）UX /檢驗(yàn)假設(shè)統(tǒng)計(jì)量拒絕域UH : uU000n12第 4 頁X /檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量拒絕域U拒絕域UH : uUU000001nX /H :u01n 未知，關(guān)于 的檢驗(yàn)（ 檢驗(yàn)）t2X 檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)統(tǒng)計(jì)量拒絕域H : t(n t0t00/S*n12X 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量拒絕域t tH : n( tt0000/1S*nX 拒絕域H :t tn( 00/1S*n 未知，關(guān)于 的檢驗(yàn)（ 檢驗(yàn)）22(n S*2檢驗(yàn)假設(shè)統(tǒng)計(jì)量2拒絕域或者H : n( 2222002102 ( 22n2(n S*2檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量拒絕域拒絕域H :

14、 ( 1)n222220020(n S*2H : ( 1)n22222100205.兩個(gè)正態(tài)總體2、( , )2 t N ( , )N12用下側(cè)分位數(shù)）X Y檢驗(yàn)假設(shè)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量拒絕域拒絕域拒絕域H : t t(n n ttt0122211121SSS2wwwnn12X Y檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H : t t ( nn 2011111nn12X YH : t t( nn 2011111nn12第 5 頁6.兩個(gè)正態(tài)總體、方差的假設(shè)檢驗(yàn)（ 檢驗(yàn)，拒絕域均FN ( , )N( , )221122采用下側(cè)分位數(shù)）SS*2檢驗(yàn)假設(shè)統(tǒng)計(jì)量拒絕域或者H : FFn n( 1, 1)22F1012*2121

15、22F F (n 1,n 1)122SS*2檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量拒絕域H : ( F n22FF1Fn012*2212SS*2拒絕域H : n n( 221FF1012*2212注 檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值相等時(shí)，應(yīng)先檢驗(yàn)它們的方差相等.二、習(xí)題1. 10部機(jī)床獨(dú)立工作，因檢修等原因，每部機(jī)床停機(jī)的概率為 0.2，則同時(shí)有 3 部機(jī)床停機(jī)的概率為（）.【0.2 0.8 或 0.201】C337102. 設(shè)總體服從分布， ,X X是一個(gè) 樣 本， 則兩個(gè) 無偏估計(jì)量XN ( , 1)121212143 ， 中有效的是（）. 【 】XXXX112212143. 若總體 服從，由來自 的容量為

16、100 的簡單隨機(jī)樣本，測得樣本均值為XN ( ,1)X5，則 的雙側(cè) 0.95 置信區(qū)間（ ）為（）. （4.804，5.196u0.9754. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量P X EX 2 的 方 差 為 2 ， 則 根 據(jù) 切 比 雪 夫 不 等 式 有X【1/2】5在假設(shè)檢驗(yàn)問題中，顯著性水平 的意義是（）原假設(shè)原假設(shè)C.原假設(shè)D.原假設(shè)成立，經(jīng)檢驗(yàn)被拒絕的概率；成立,經(jīng)檢驗(yàn)不能拒絕的概率；不成立，經(jīng)檢驗(yàn)被拒絕的概率；A】HHHH00006設(shè)總體(, ) ，其中 已知， 2未知，X X X X,是取自 的一個(gè)樣本，XN2123第 6 頁則下列表達(dá)式中不是統(tǒng)計(jì)量的是（）A.C.； X,X,X) ；

17、XXX123123X32； D. C 】X 21i2i 17.設(shè)隨機(jī)變量 與 都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N，則下列各式中正確的是（）X YA服從 分布；FX 222B.服從分布；2X Y2C 2和 都服從X Y分布；22D.X Y1nn8. 設(shè)X ,X , ,X 是來自總體的一個(gè)樣本，記，XXX212nii 11n，下列命題中正確的是（）S(X X2i*2n 1i 1A.B.C.是 的無偏估計(jì)量；是 的極大似然估計(jì)量；與X 相互獨(dú)立；SSS*D. S 是*229設(shè)， 且 與 不相關(guān)，則DX 4 DY 2 X Y（）D(3X 2Y)A. B. C. D. 4 D 】N 只球，但其中白球數(shù)為隨機(jī)變量，只知

18、道其數(shù)學(xué)期望為n任取一球?yàn)榘浊虻母怕式?用 表示袋中的白球數(shù)，則XN nkP(X k)k 1設(shè)取出白球，由全概率公式A第 7 頁kNNP(A) P(X k)P(A X k) P(X k)Nk 0k 01nNk P(X k) .NNk 1 1)x, 0 1x11設(shè)總體的分布密度為 ( )，其中 0 是未知參數(shù)，p x X0, 其它X, X 是來自 的樣本求（1）似然函數(shù)；（2）極大似然估計(jì)量X1nn解（1）似然函數(shù) L( ) ( 1)X ( 1) X X ni1ni1n（2）， X L( n 1) ii1d Ln X 0n令，d 1ii1n得1 ， nln Xii1n故極大似然估計(jì)量 1.nln Xii112.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 服從上的均勻分布，求關(guān)于x 的一元