與數(shù)式有關(guān)的模塊第三講因式分解

1、 源于名校，成就所托 全日制課程初三教案模塊 與數(shù)與式有關(guān)的模塊 第三講 因式分解教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)1、要求學(xué)生掌握因式分解的方法。2、能熟練運(yùn)用因式分解方法解決數(shù)學(xué)問題。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1、分解因式的方法，典型常見的因式分解拓展題型。2、分組分解法在因式分解中的應(yīng)用，因式分解中的拓展題型?？键c(diǎn)及考試要求 四種因式分解方法，及在實(shí)際問題中的應(yīng)用。 第一部分 知識(shí)要點(diǎn)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)二、因式分解的基本方法1、提公因式法：提取最大公因式 確定最大公因式的步驟：A.確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公因式； B.確定各項(xiàng)中所含有的所有相同因式（字母或多項(xiàng)式）； C.確定各項(xiàng)因式的最低次冪。注意： 1)提公因式法在因式分解中

2、的地位： 在做因式分解時(shí)，首先看且必須看能否提公因式，能提先提，且必須提取最大公因式。 2)提公因式法應(yīng)注意的問題 （1）提取公因式必須“提盡” （2）適當(dāng)變形 （3）公因式與某一項(xiàng)相同時(shí)，提取公因式后這一項(xiàng)為1，不能漏寫2、運(yùn)用公式法：所用公式：平方差公式和完全平方公式。(兩項(xiàng)考慮平方差，三項(xiàng)首先考慮完全平方)下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式但有很多三項(xiàng)的多項(xiàng)式不能用完全平方，于是我們所學(xué)的最難的分解因式方法出現(xiàn)了：3、十字相乘法 一般形式：（十字相乘法適用于二次三項(xiàng)式的因式分解）十字相乘法的依據(jù)和具體內(nèi)容:利

3、用十字相乘法分解因式，實(shí)質(zhì)上是逆用豎式乘法法則它的一般規(guī)律：(1)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式，如果能把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，并且為一次項(xiàng)系數(shù)，那么它就可以運(yùn)用公式分解因式這種方法的特征是“拆常數(shù)項(xiàng)，湊一次項(xiàng)”公式中的x可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，因式的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同(2)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式(都是整數(shù)且)來說，如果，存在四個(gè)整數(shù)，使，且，那么它的特征是“拆兩頭，湊中間”，這里要確定四個(gè)常數(shù)，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是

4、1的情況復(fù)雜，因此，一般要借助“畫十字交叉線”的辦法來確定學(xué)習(xí)時(shí)要注意符號(hào)的規(guī)律為了減少嘗試次數(shù)，使符號(hào)問題簡(jiǎn)單化，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，先提出負(fù)號(hào)，使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項(xiàng)；常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)將它分解為兩異號(hào)因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對(duì)值較大的一組與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯(cuò)誤出現(xiàn)：一是沒有認(rèn)真驗(yàn)證交叉相乘的兩個(gè)積的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母如分組分解法利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法利用分組分解法分解因式的多項(xiàng)式特征：（1）多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一

5、般大于三項(xiàng)（2）分組后各組可利用提取公因式法或公式法或十字相乘法進(jìn)行分解（3）各組分解后，整個(gè)式子又可繼續(xù)進(jìn)行因式分解因式分解一般要遵循的步驟：1、如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式2、如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)無公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式法或十字相乘法來分解。一般地，若是二次式，則考慮平方差公式；若是三項(xiàng)式，則考慮用完全平方公式或十字相乘法。3、如果上述方法不能分解，那么應(yīng)考慮分組分解法。4、分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能分解為止。以上步驟可用口訣概括如下：一提二套三分組，分到不能再分才停止 “首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復(fù)試，結(jié)果應(yīng)是乘積

6、式” 第二部分 例題經(jīng)典例1：下列各式的變形中,哪些是因式分解?哪些不是?說明理由.分析：解答本題的依據(jù)是因式分解的定義，即把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式是因式分解，否則不是.解：（1）不是因式分解,因?yàn)橛疫叺倪\(yùn)算中還有加法. （2）不是因式分解,因?yàn)椴皇嵌囗?xiàng)式而是單項(xiàng)式,其本身就是積的形式,所以不需要再因式分解. （3）不是因式分解,而是整式乘法. （4）是因式分解.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查學(xué)生對(duì)概念的理解，區(qū)分整式乘法與因式分解之間的區(qū)別。題型1先提取公因式，再用平方差公式例2：分解因式：. 分析：對(duì)于系數(shù)都含有2的因數(shù)，對(duì)于字母都含有的因式，于是考慮先提出公因式，由于是兩項(xiàng)，剩下的再考慮

7、能否運(yùn)用平方差公式分解.解:【點(diǎn)評(píng)】本題是考查用提公因式法和平方差公式分解因式的方法.求解時(shí)要注意一提（提公因式）；二用（用平方差公式），即對(duì)一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式，有公因式的一定要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法；一般情況下，因式分解要堅(jiān)持到有理數(shù)范圍內(nèi)每一個(gè)因式不能在分解為止.題型2先提取公因式，再用完全平方公例3：將分解因式的結(jié)果是.分析：考慮系數(shù)，且每一項(xiàng)都含有字母x，不如視其公因式為，先提出，再看余下的能否用完全平方公式.解:【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于本題也可以將按字母降冪排列，即，再提出公因式，其結(jié)果為.題型3二次三項(xiàng)式的分解例4：分解因式：.分析：觀察所給的多項(xiàng)式不能直接用提公因式法，也不能用公

8、式法，于是想到利用二次三項(xiàng)式的分解方法，考慮一次項(xiàng)系數(shù)是2，則常數(shù)項(xiàng)3分解成13.解：.【點(diǎn)評(píng)】多項(xiàng)式型的二次三項(xiàng)式是分解因式中的常見題型，此類多項(xiàng)式的分解規(guī)律是：如果能把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，并且為一次項(xiàng)系數(shù)，那么它就可以運(yùn)用公式另外，本題也可以利用配方法分解，即題型4因式分解的技巧例5：分解因式.分析：這個(gè)多項(xiàng)式共有四項(xiàng)，常規(guī)的分解方法在此均失去作用，但考慮若前兩項(xiàng)提出，剩下的是，后兩項(xiàng)提出，剩下的也是，于是還可以從整體上提出，從而達(dá)到分解因式的目的.解:【點(diǎn)評(píng)】因式分解是一種恒等變形，在變形時(shí)應(yīng)講究適當(dāng)?shù)姆椒ê图记?本題中也可以將第一項(xiàng)和第三項(xiàng)結(jié)合，第二項(xiàng)和第四項(xiàng)結(jié)合，同樣達(dá)到從整體

9、上分解因式的目的.題型5先局部分解，再從整體上分解例6：分解因式：分析：這個(gè)多項(xiàng)式共有三項(xiàng)，無法運(yùn)用因式分解的方法與技巧，考慮后兩項(xiàng)可以運(yùn)用運(yùn)用平方差公式，這樣可以先把兩項(xiàng)看做一個(gè)整體，用平方差公式分解為，然后再提取公因式，從而達(dá)到從整體上分解因式.解：【點(diǎn)評(píng)】本題為了達(dá)到分解因式的目的，采取了先局部分解的辦法，從而完成整體上的因式分解.題型6因式分解的應(yīng)用例7：已知 分析：如果求出和的值，顯然有點(diǎn)不劃算，若對(duì)待求式分解因式，會(huì)收到意想不到的效果.解：因?yàn)?，所以?dāng)【點(diǎn)評(píng)】本題在求值過程中既鞏固了因式分解的知識(shí)，又運(yùn)用的整體思想.題型6開放型例7：現(xiàn)有三個(gè)多項(xiàng)式：，請(qǐng)你選擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，

10、并把結(jié)果因式分解.分析：給定三個(gè)多項(xiàng)式，擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解，顯然答案不惟一.可先選擇兩個(gè)多項(xiàng)式，將它們相加，再將其結(jié)果分解因式.解：答案不唯一. 【點(diǎn)評(píng)】本題意在考查整式加減和因式分解.因式分解與整式乘法是兩種相反方向的變形過程，即它們互為逆過程，互為逆關(guān)系，因此，我們可以利用整式乘法來檢驗(yàn)分解因式的結(jié)果是否正確.題型7代入求值例8：已知求的值分析：給定一個(gè)多項(xiàng)式，要把結(jié)果因式分解，給定一個(gè)方程有兩個(gè)未知數(shù)顯然要求出兩個(gè)未知數(shù)的值不太可能，因此要對(duì)方程左邊進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后即可得到想要的結(jié)果.解： 已知，那么的值是 解： 【點(diǎn)評(píng)】本題意在考查整體帶入的思想.要把條件與問題結(jié)合

11、起來，找出條件與問題的共同點(diǎn)即可解決問題。題型8 拆項(xiàng)、添項(xiàng)法（根據(jù)學(xué)生程度選擇使用） 因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解例9：分解因式：分析：本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9解法2 將一次項(xiàng)拆成 解法3 將三次項(xiàng)拆

12、成9x3-8x3解法4 添加兩項(xiàng)【點(diǎn)評(píng)】 由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種題型9 換元法（根據(jù)學(xué)生程度選擇使用） 換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡(jiǎn)明清晰例10 ：分解因式：分析：將原式展開，是關(guān)于的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難我們不妨將看作一個(gè)整體，并用字母來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次三項(xiàng)式的因式分解問題了解：設(shè)，則【點(diǎn)評(píng)】本題也可將看作一個(gè)整體，比如今，一樣可以得到同樣的結(jié)果

13、，有興趣的同學(xué)不妨試一試 第三部分 課后作業(yè) A卷一、選擇題1、多項(xiàng)式提取公因式后，另一因式是 （ ）B A B C D 2、若，則N的值是（ ）B A B C D 3、如果，那么等于 ( )DA B C D 4、如果，則b為 ( )BA5 B6 C5 D6 5、多項(xiàng)式可分解為，則的值分別為 ( )DA10和2 B10和2 C10和2 D10和2填空題6、 7、_ 8、(_) 9、_(_) ，10、 ，,11、_時(shí)，多項(xiàng)式有一個(gè)因式為(_)或（答案不唯一）12、若6，則代數(shù)式的值為_ 1713、.三、分解因式14、； 解：原式 15、解：原式 =a2（2a+b）（2a-b）（a+3b）（a-3

14、b）； 解：原式；解：原式 18、； 解：原式 四、簡(jiǎn)答題19、把分解因式 解： = = =20、把分解因式 解： = = =21、已知2，求的值 解： ，又 ，xya4， ，= 22、若有一因式。求，并將原式因式分解。解：有一因式 當(dāng)，即時(shí)， 23、分解因式：解：簡(jiǎn)析：由于項(xiàng)數(shù)多，直接分解的難度較大，可利用待定系數(shù)法。 設(shè) 比較同類項(xiàng)系數(shù)，得： 解得： B卷一、選擇題1、不能用十字相乘法分解的是 ( )CA BC D2、分解結(jié)果等于的多項(xiàng)式是 ( )AA BC D3、若是三角形三邊的長，則代數(shù)式的值（ ）B A大于零 B小于零 C大于或等于零 D小于或等于零4、把多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是（ ）

15、D A B C D5、把分解因式得：，則的值為（ ）A A.2B.3C.2D.3二、填空題6、+=_7、+=_8、+_9、+=_10、+-+-+=_+三、分解因式11、解：原式12、；解：原式 13、； 解：原式 14、； 解：原式 解：原式 四、解答題16、證明：一定能被11整除 解：=（86+75）（86-75） =16111 一定能被11整除17、把分解因式 解： = = =18、把分解因式 解： = = =19、已知2，求的值 解： ， 又 ，xya4， ， =20、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算: （1）+ （2）+ 解：+ 解：+ =+ = + = = = = 21、已知+=4，且+=0，你能求出+的值嗎？ 解： +=12，即+=12 又 +=4 = +=+=622、證明：+一定能被32整除。 解：+ =+ =+ =+ 所以+一定能被32整除23、當(dāng)=時(shí)，求+ 解：原式=+2 = =+=1624、小明曾作出判斷：當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，+一定能被120整除。你認(rèn)為小明的判斷正確嗎？說說你的理由。 解：+ = = = =+它是5個(gè)連續(xù)整數(shù)的積。這5個(gè)數(shù)中必有1個(gè)是5的倍數(shù)，1個(gè)是3的倍數(shù)，1個(gè)是4的倍數(shù)，且偶數(shù)至少有兩個(gè)。故