第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (同濟(jì)大學(xué))高等數(shù)學(xué)課件

1、第三章中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三節(jié))推廣微分中值定理 與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、羅爾( Rolle )定理第一節(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章 費馬(fermat)引理一、羅爾( Rolle )定理且 存在證: 設(shè)則費馬 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證畢羅爾（ Rolle ）定理滿足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b )使證:故在 a , b 上取得最大值 M 和

2、最小值 m .若 M = m , 則因此在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若 M m , 則 M 和 m 中至少有一個與端點值不等,不妨設(shè) 則至少存在一點使注意:1) 定理條件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,則由費馬引理得 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 使2) 定理條件只是充分的.本定理可推廣為在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點證明提示: 設(shè)證 F(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1. 證明方程有且僅有一個小于1 的正實根 .證: 1) 存在性 .則在 0

3、, 1 連續(xù) ,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2) 唯一性 .假設(shè)另有為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 ,至少存在一點但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點使思路: 利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,在 a , b 上連續(xù) ,在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo),且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結(jié)論成立 .拉氏 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證畢拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論:若函數(shù)在區(qū)間 I 上滿足則在 I

4、上必為常數(shù).證: 在 I 上任取兩點日中值公式 , 得由 的任意性知, 在 I 上為常數(shù) .令則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 證明等式證: 設(shè)由推論可知 (常數(shù)) 令 x = 0 , 得又故所證等式在定義域 上成立.自證:經(jīng)驗:欲證時只需證在 I 上機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 證明不等式證: 設(shè)中值定理條件,即因為故因此應(yīng)有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點使?jié)M足 :要證柯西 目錄 上頁 下頁

5、返回 結(jié)束 證: 作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知, 至少存在一點思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?兩個 不一定相同錯!機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上面兩式相比即得結(jié)論. 柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4. 設(shè)至少存在一點使證: 結(jié)論可變形為設(shè)則在 0, 1 上滿足柯西中值定理條件, 因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點 ,使即證明機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例5. 試證至少存在一點使證: 法1 用柯西中值定理 .則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿足柯西中值定理條件, 令因此 即分析:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返

6、回 結(jié)束 例5. 試證至少存在一點使法2 令則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2. 微分中值定理的應(yīng)用(1) 證明恒等式(2) 證明不等式(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵: 利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費馬引理機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)1. 填空題1) 函數(shù)在區(qū)間 1, 2 上滿足拉格朗日定理條件, 則中值2) 設(shè)有個根 , 它們分別在區(qū)間機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上.方程2. 設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點使提示:由結(jié)

7、論可知, 只需證即驗證在上滿足羅爾定理條件.設(shè)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 若可導(dǎo), 試證在其兩個零點間一定有的零點. 提示:設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗證在上滿足羅爾定理條件.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 思考: 在即當(dāng)時問是否可由此得出 不能 !因為是依賴于 x 的一個特殊的函數(shù).因此由上式得表示 x 從右側(cè)以任意方式趨于 0 .應(yīng)用拉格朗日中值定理得上對函數(shù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)P132 7, 8 , 10 , 12 , 14 , 15提示:題15.題14. 考慮第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 費馬(1601 1665)法國數(shù)學(xué)家,他是

8、一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好. 他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn). 他特別愛好數(shù)論, 他提出的費馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū) ,費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中 提煉出來的.拉格朗日 (1736 1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論, 解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來, 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學(xué) 產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.柯西(1789 1857)法國數(shù)學(xué)家, 他對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫的分析教程, 無窮小分析概

9、論, 微積分在幾何上的應(yīng)用 等,有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠(yuǎn) .對數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 , 備用題求證存在使1. 設(shè) 可導(dǎo)，且在連續(xù)，證：因此至少存在顯然在 上滿足羅爾定理條件,即設(shè)輔助函數(shù)使得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè) 證明對任意有證：2.不妨設(shè)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、其他未定式 二、 型未定式一、 型未定式第二節(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 洛必達(dá)法則 第三章 微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限 轉(zhuǎn)化( 或 型)

10、本節(jié)研究:洛必達(dá)法則洛必達(dá) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、存在 (或為 )定理 1.型未定式(洛必達(dá)法則) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( 在 x , a 之間)證:無妨假設(shè)在指出的鄰域內(nèi)任取則在以 x, a 為端點的區(qū)間上滿足柯故定理條件: 西定理條件,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 存在 (或為 )推論1.定理 1 中換為之一,推論 2.若理1條件, 則條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理 1 仍然成立.洛必達(dá)法則定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1. 求解:原式注意: 不是未定式不能用洛必達(dá)法則 !機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 求解:原式 思考: 如何求

11、 ( n 為正整數(shù)) ?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、型未定式存在 (或為)定理 2.證: 僅就極限存在的情形加以證明 .(洛必達(dá)法則)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1)的情形從而機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2)的情形.取常數(shù)可用 1) 中結(jié)論機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3)時, 結(jié)論仍然成立. ( 證明略 )說明: 定理中換為之一,條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理仍然成立.定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 求解:原式例4. 求解: (1) n 為正整數(shù)的情形.原式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4. 求(2) n 不為正整數(shù)的情形.從而由(

12、1)用夾逼準(zhǔn)則存在正整數(shù) k , 使當(dāng) x 1 時,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 例4.說明:1) 例3 , 例4 表明時,后者比前者趨于更快 .例如,而用洛必達(dá)法則2) 在滿足定理條件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決 計算問題 . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3) 若例如,極限不存在機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、其他未定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例5. 求解: 原式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解: 原式例6. 求機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例7. 求解: 利用 例5例5 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通

13、分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例8. 求解:注意到原式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例9. 求分析: 為用洛必達(dá)法則 , 必須改求法1 用洛必達(dá)法則但對本題用此法計算很繁 ! 法2原式例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則令取對數(shù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)1. 設(shè)是未定式極限 , 如果不存在 , 是否的極限也不存在 ?舉例說明 .極限說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原式分析:分析:3.原式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則4. 求解: 令原式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè) P137 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16)

14、, 4第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 洛必達(dá)(1661 1704)法國數(shù)學(xué)家,他著有無窮小分析(1696),并在該書中提出了求未定式極限的方法, 后人將其命名為“ 洛必達(dá)法的擺線難題 ,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 線 ” 問題 ,在他去世后的1720 年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書 .則 ”.他在15歲時就解決了帕斯卡提出機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求下列極限 :解:備用題機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令則原式 =解:(用洛必達(dá)法則)(繼續(xù)用洛必達(dá)法則)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解:原式 =第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式

15、 第三節(jié)一、泰勒公式的建立機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、泰勒公式的應(yīng)用 應(yīng)用用多項式近似表示函數(shù)理論分析近似計算泰勒 ( Taylor )公式 第三章 特點:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式 :需要解決的問題如何提高精度 ?如何估計誤差 ?x 的一次多項式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 求 n 次近似多項式要求:故機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令則2. 余項估計令(稱為余項) ,則有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 公式 稱為 的 n 階泰勒公式 .公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項 .泰勒中值定理 :階的導(dǎo)

16、數(shù) ,時, 有其中則當(dāng)泰勒 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 公式 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾(Peano) 余項 .在不需要余項的精確表達(dá)式時 , 泰勒公式可寫為注意到* 可以證明: 式成立機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特例:(1) 當(dāng) n = 0 時, 泰勒公式變?yōu)?2) 當(dāng) n = 1 時, 泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 稱為麥克勞林（ Maclaurin ）公式 .則有在泰勒公式中若取則有誤差估計式若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由此得近似公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式其中機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

17、 其中機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似可得其中機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 已知其中類似可得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、泰勒公式的應(yīng)用1. 在近似計算中的應(yīng)用 誤差M 為在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項數(shù) n ;2) 已知項數(shù) n 和 x , 計算近似值并估計誤差;3) 已知項數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 已知例1. 計算無理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過解:令 x = 1 , 得由于欲使由計算可知當(dāng) n =

18、 9 時上式成立 ,因此的麥克勞林公式為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明: 注意舍入誤差對計算結(jié)果的影響.本例若每項四舍五入到小數(shù)點后 6 位,則 各項舍入誤差之和不超過總誤差為這時得到的近似值不能保證誤差不超過因此計算時中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 用近似公式計算 cos x 的近似值,使其精確到 , 試確定 x 的適用范圍.解:近似公式的誤差令解得即當(dāng)時, 由給定的近似公式計算的結(jié)果能準(zhǔn)確到 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 利用泰勒公式求極限例3. 求解:由于用洛必塔法則不方便 !用泰勒公式將分子展到項,機(jī)動 目錄 上頁 下

19、頁 返回 結(jié)束 3. 利用泰勒公式證明不等式例4. 證明證:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 泰勒公式其中余項當(dāng)時為麥克勞林公式 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( P140 P142 )3. 泰勒公式的應(yīng)用(1) 近似計算(3) 其他應(yīng)用求極限 , 證明不等式 等.(2) 利用多項式逼近函數(shù) , 例如 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 42246420246泰勒多項式逼近機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 42246420246泰勒多項式逼近機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí) 計算解:原式第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)

20、P143 1 ;4 ; 5 ; 7 ; 8;10(1),(2)泰勒 (1685 1731)英國數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 線性透視論(1719) 他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .他是有限差分理論的奠基人 .麥克勞林 (1698 1746)英國數(shù)學(xué)家,著作有:流數(shù)論(1742)有機(jī)幾何學(xué)(1720)代數(shù)論(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數(shù) .由題設(shè)對證:備用題 1.有且機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 下式減上式 , 得令機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩邊同乘 n != 整數(shù)

21、+假設(shè) e 為有理數(shù)( p , q 為正整數(shù)) ,則當(dāng) 時,等式左邊為整數(shù);矛盾 !2. 證明 e 為無理數(shù) . 證: 時,當(dāng)故 e 為無理數(shù) .等式右邊不可能為整數(shù).機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、曲線的凹凸與拐點函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性 第三章 一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理 1. 設(shè)函數(shù)則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增(遞減) .證: 無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證畢例1. 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為

22、機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明: 單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點. 例如,2) 如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 證明時, 成立不等式證: 令從而因此且證證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 * 證明令則從而即定義 . 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 I 上連續(xù) ,(1) 若恒有則稱圖形是凹的;(2) 若恒有則稱連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點 .圖形是凸的 .二、曲線的凹凸與拐點機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理2.(凹凸判定法)(1) 在 I 內(nèi)則 在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;(2) 在 I 內(nèi)則 在 I

23、內(nèi)圖形是凸的 .證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明 (1) 成立;(2)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)證畢例3. 判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1) 若在某點二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點的定義及上述定理, 可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在 兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變 .在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4. 求曲線的拐點. 解:不存在因此點 ( 0 , 0 ) 為曲線的拐點 .凹凸機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例5. 求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1) 求2) 求拐點可

24、疑點坐標(biāo)令得對應(yīng)3) 列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸 ,點 ( 0 , 1 ) 及均為拐點.凹凹凸機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在 I 上單調(diào)遞增在 I 上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+拐點 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)上則或的大小順序是 ( )提示: 利用單調(diào)增加 ,及B1. 設(shè)在機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .2. 曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及作業(yè)P151 3 (1),(7) ; 4 (2), (4) ; 8 (3), (6) ; 9 (3) ; 10 ; 12 ; 13 ; 14

25、; ;第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有位于一直線的三個拐點.1.求證曲線 證明：備用題機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令得從而三個拐點為因為所以三個拐點共線.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明:當(dāng)時，有證明:令, 則是凸函數(shù)即 2 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (自證)二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法 第五節(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的極值與 最大值最小值 第三章 一、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時,(1) 則稱 為 的極大點 ,稱 為函數(shù)的極大值 ;(2) 則稱 為 的極小點 ,稱 為函數(shù)的極小值 .極大點與極小點統(tǒng)稱為極值點 .機(jī)動

26、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意:為極大點為極小點不是極值點2) 對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點.1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如 (P146例4)為極大點 , 是極大值 是極小值 為極小點 , 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 1 (極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1) “左正右負(fù)” ,(2) “左負(fù)右正” ,(自證)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 點擊圖中任意處動畫播放暫停例1. 求函數(shù)的極值 .解:1) 求導(dǎo)數(shù)2) 求極值可疑點令得令得3) 列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理2 (極

27、值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù) , 且則 在點 取極大值 ;則 在點 取極小值 .證: (1)存在由第一判別法知(2) 類似可證 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 求函數(shù)的極值 . 解: 1) 求導(dǎo)數(shù)2) 求駐點令得駐點3) 判別因故 為極小值 ;又故需用第一判別法判別.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理3 (判別法的推廣)則:數(shù) , 且1) 當(dāng) 為偶數(shù)時,是極小點 ;是極大點 .2) 當(dāng) 為奇數(shù)時,為極值點 , 且不是極值點 .當(dāng) 充分接近 時, 上式左端正負(fù)號由右端第一項確定 ,故結(jié)論正確 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證:利用 在 點的泰勒公式 ,可得例如 , 例2中所

28、以不是極值點 .極值的判別法( 定理1 定理3 ) 都是充分的. 說明:當(dāng)這些充分條件不滿足時, 不等于極值不存在 .例如:為極大值 ,但不滿足定理1 定理3 的條件.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、最大值與最小值問題 則其最值只能在極值點或端點處達(dá)到 .求函數(shù)最值的方法:(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(2) 最大值最小值機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別: 當(dāng) 在 內(nèi)只有一個極值可疑點時, 當(dāng) 在 上單調(diào)時,最值必在端點處達(dá)到.若在此點取極大 值 , 則也是最大 值 . (小) 對應(yīng)用問題 , 有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大 值點或最小值點 .(小)機(jī)動 目錄 上

29、頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值 .解: 顯然且故函數(shù)在取最小值 0 ;在及取最大值 5.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此也可通過例3. 求函數(shù)說明:求最值點.與最值點相同 , 由于令( 自己練習(xí) )在閉區(qū)間上的最大值和最小值 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( k 為某一常數(shù) )例4. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20AC AB ,要在 AB 線上選定一點 D 向工廠修一條 已知鐵路與公路每公里貨運價之比為 3:5 ,為使貨D 點應(yīng)如何選取? 20解: 設(shè)則令得 又所以 為唯一的極小點 ,故 AD =15 km 時運

30、費最省 .總運費物從B 運到工廠C 的運費最省,從而為最小點 ,問Km ,公路, 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例5. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁 ,問矩形截面的高 h 和 b 應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大? 解: 由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為令得從而有即由實際意義可知 , 所求最值存在 ,駐點只一個,故所求結(jié)果就是最好的選擇 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 用開始移動,例6. 設(shè)有質(zhì)量為 5 kg 的物體置于水平面上 , 受力 作解: 克服摩擦的水平分力正壓力即令則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題 . 為多少時才可使力設(shè)摩擦系數(shù)問力與水平面夾角機(jī)動 目錄 上頁 下頁

31、 返回 結(jié)束 的大小最小?令解得而因而 F 取最小值 .解:即令則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 清楚(視角 最大) ? 觀察者的眼睛 m ,例7. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上 , 它的底邊高于解: 設(shè)觀察者與墻的距離為 x m ,則令得駐點根據(jù)問題的實際意義, 觀察者最佳站位存在 ,唯一,駐點又因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚 .問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 連續(xù)函數(shù)的極值(1) 極值可疑點 :使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(2) 第一充分條件過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)變正為極小值(3) 第二充分條

32、件為極大值為極小值(4) 判別法的推廣 ( Th.3)定理3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 最值點應(yīng)在極值點和邊界點上找 ;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實際意義判別 .思考與練習(xí)(L. P500 題4)2. 連續(xù)函數(shù)的最值1. 設(shè)則在點 a 處( ).的導(dǎo)數(shù)存在 ,取得極大值 ;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示: 利用極限的保號性 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù), 且則在點處(A) 不可導(dǎo) ;(B) 可導(dǎo), 且(C) 取得極大值 ;(D) 取得極小值 .D提示: 利用極限的保號性 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 設(shè)是方程的一個解,若且則在(A) 取得極大值 ;

33、(B) 取得極小值 ;(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .提示:A機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)P160 1 (5), (9); 2 ; 3 ; 5 ; 10; 14; 15 第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 試問 為何值時,在時取得極值 ,還是極小.解: 由題意應(yīng)有又取得極大值為備用題 1.求出該極值,并指出它是極大機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 試求解:2. 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故所求最大值為第六節(jié)一、 曲線的漸近線二、 函數(shù)圖形的描繪機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)圖形的描繪 第三章 無漸近線 .點 M 與某一直線 L 的

34、距離趨于 0,一、 曲線的漸近線定義 . 若曲線 C上的點M 沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點時,則稱直線 L 為曲線C 的漸近線 .例如, 雙曲線有漸近線但拋物線或為“縱坐標(biāo)差”機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例1. 求曲線的漸近線 .解:為水平漸近線;為垂直漸近線.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 斜漸近線斜漸近線若機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( P75 題13)例2. 求曲線的漸近線 .解:所以有鉛直漸近線及又因為曲線的斜漸近線 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、函數(shù)圖形的描繪步驟 :1. 確定函數(shù)的定義域

35、,期性 ;2. 求并求出及3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點 ;4. 求漸近線 ;5. 確定某些特殊點 , 描繪函數(shù)圖形 .為 0 和不存在的點 ;并考察其對稱性及周機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 描繪的圖形.解: 1) 定義域為無對稱性及周期性.2)3)(極大)(拐點）(極小)4)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4. 描繪方程的圖形.解: 1)定義域為2) 求關(guān)鍵點機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3) 判別曲線形態(tài)(極大)(極小)4) 求漸近線為鉛直漸近線無定義機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又因即5) 求特殊點為斜漸近線機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回

36、結(jié)束 6）繪圖(極大)(極小)斜漸近線鉛直漸近線特殊點機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 無定義例5. 描繪函數(shù)的圖形. 解: 1) 定義域為圖形對稱于 y 軸.2) 求關(guān)鍵點機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3) 判別曲線形態(tài)(極大)(拐點)(極大)(拐點)為水平漸近線5) 作圖4) 求漸近線機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 水平漸近線 ; 垂直漸近線; 內(nèi)容小結(jié)1. 曲線漸近線的求法斜漸近線按作圖步驟進(jìn)行2. 函數(shù)圖形的描繪機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí) 1. 曲線(A) 沒有漸近線；(B) 僅有水平漸近線；(C) 僅有鉛直漸近線；(D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線.

37、提示:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 拐點為 ,凸區(qū)間是 ,2. 曲線的凹區(qū)間是 ,提示:及漸近線 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P75 13 (2); P166 2 ; 5作業(yè)第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題 求笛卡兒葉形線的漸近線 . 解: 令 y = t x ,代入原方程得曲線的參數(shù)方程 :因所以笛卡兒葉形線有斜漸近線機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 笛卡兒葉形線參數(shù)的幾何意義:圖形在第四象限圖形在第二象限圖形在第一象限點擊圖中任意點動畫開始或暫停機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第七節(jié)曲線的彎曲程度與切線的轉(zhuǎn)角有關(guān)與曲線的弧長有關(guān)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 主要內(nèi)容:一、 弧微分 二、 曲率及其計算公式 三、 曲率圓與曲率半徑 平面曲線的曲率 第三章 一、 弧微分設(shè)在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),其