投資比例優(yōu)化組合

1、從擲硬幣打賭看投資組合問(wèn)題什么是投資組合？首先我們從擲硬幣打賭談起。假設(shè)有一種可以不斷重復(fù)的投資或打賭，其收益由擲硬幣確定，硬幣兩面出現(xiàn)的可能性相同；出面你投一虧一，出面你投一賺二；假設(shè)你開(kāi)始只有10元0，輸了沒(méi)法再借。現(xiàn)在問(wèn)怎樣重復(fù)下注可以使你盡快地由百元戶變?yōu)榘偃f(wàn)元戶?我們可以象小孩子玩登山棋那樣，幾個(gè)人下不同的賭注，然后重復(fù)擲硬幣，看誰(shuí)最先變成百萬(wàn)富翁。你可能為了盡快地變?yōu)榘偃f(wàn)富翁而全部押上你的資金?？墒侵灰幸淮文爿斄?，你就變成窮光蛋，并且永遠(yuǎn)失去發(fā)財(cái)機(jī)會(huì)。你可能每次下注10元。但是，如果連輸10次，你就完了。再說(shuō)，如果你已經(jīng)是萬(wàn)元戶了，下10元是不是太少了?每次將你的所有資金的10用

2、%來(lái)下注，這也許是個(gè)不錯(cuò)的主意。首先，你永遠(yuǎn)不會(huì)虧完假設(shè)下注的資金可以無(wú)限小；第二，長(zhǎng)此以往，贏虧的次數(shù)大致相等時(shí)，你總是賺的。假設(shè)平均兩次，你輸一次贏一次，則你的資金會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的X倍。可是，以這樣的速度變?yōu)榘偃f(wàn)富翁是不是太慢了，太急人了?有沒(méi)有更快的方法?有!理論研究表明，每次將你所有資金的25或%0.2倍5用來(lái)下注，你變?yōu)榘偃f(wàn)富翁的平均速度將最快。幾個(gè)不同下注比例帶來(lái)的資金變化如圖所示擲幣結(jié)果分別是B,.。.實(shí).驗(yàn)）表明，張大膽每次投100，嬴時(shí)嬴得多，可虧時(shí)虧得慘，一次虧損就永遠(yuǎn)被淘汰出局。李糊涂每次下50，收益大起大落，到頭來(lái)白忙。王保守每次下10，穩(wěn)賺但少賺；“你”每次下25，長(zhǎng)期看

3、結(jié)果最好。前面的打賭中，硬幣只有一個(gè)。如果同時(shí)有兩個(gè)、三個(gè)或更多，各個(gè)硬幣盈虧幅度不同，兩面出現(xiàn)的概率（頻率或可能性）也可能不同；怎樣確定在不同硬幣上的最優(yōu)下注比例？如果不同硬幣出現(xiàn)面面是不同程度相關(guān)的比如一個(gè)出面，另一個(gè)十有八九相同正相關(guān)，或相反一一反相關(guān)）又如何確定最優(yōu)下注比例？股票、期貨、期權(quán)、放貸、房地產(chǎn)、高科技等投資象擲硬幣打賭一樣，收益是不確定的且相互關(guān)聯(lián)的。如何確定不同證券或資產(chǎn)上的投資比例，以使資金穩(wěn)定快速增長(zhǎng)并控制投資風(fēng)險(xiǎn)，這就是投資組合理論要解決的問(wèn)題。投資組合也就是英文說(shuō)的f當(dāng)今世界上著名的投資組合理論是美國(guó)的馬科維茨理論。筆者則從自己建立的一個(gè)廣義信息理論（參見(jiàn)專著廣義

4、信息論，中國(guó)科技大學(xué)出版社，199和3自）己的投資實(shí)踐出發(fā)，得到了投資組合的幾何增值理論，或者叫熵理論（因?yàn)槠渲胁捎昧送锢韺W(xué)和信息論中的熵函數(shù)相似的熵函數(shù)作為優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)），并完成了專著投資組合的熵理論和信息價(jià)值-兼析股票期貨等風(fēng)險(xiǎn)控制（中國(guó)科技大學(xué)出版社，9現(xiàn)在筆者知道美國(guó)的和最早提出了用幾何平均產(chǎn)出比-即1+幾何平均收益或平均復(fù)利-作-為優(yōu)化證券組合的準(zhǔn)則；后來(lái)等人研究了用幾何平均產(chǎn)出比的對(duì)數(shù)作為優(yōu)化準(zhǔn)則最近有人提出也是信息論研究者曾提出過(guò)這一準(zhǔn)則。不同的是，筆者的研究更注重應(yīng)用。具體說(shuō)來(lái)：1）結(jié)合打賭模型討論了分散和相關(guān)問(wèn)題；提供了各種復(fù)雜情況下（考慮手續(xù)費(fèi)，賣空，透支，銀行利率等）的最優(yōu)

5、投資比例公式；2）提出一些適用結(jié)論：比如分散投資極限定理，投資容量，新的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度.幾何級(jí)數(shù)增值的魅力1988-年1，9日8本9股市從215點(diǎn)6上4漲了80，到達(dá)389點(diǎn)2；1然后開(kāi)始大跌，199年28月跌到141點(diǎn)9，4跌幅達(dá)63。雖然80大于63，算術(shù)平均大于0，可是總的來(lái)說(shuō)是跌的，跌了約1/，3因?yàn)槔鄯e產(chǎn)出比是0累積收益是=%炒過(guò)股票的人都知道，如果你總是將所有的資金買入股票，則先賺50再%虧50；%或者先虧后賺，雖然算術(shù)平均收益是0，可是你的資金會(huì)變少（變成0.義倍從可見(jiàn)算術(shù)平均收益不能反映實(shí)際增值情況。能反映實(shí)際增值的收益是什么呢？是幾何平均收益。設(shè)每一元資金投資N年后變?yōu)樵瑒t累計(jì)產(chǎn)

6、出比是1累計(jì)產(chǎn)出比的次開(kāi)方被稱為幾何平均產(chǎn)出比，我們記為,M投資的平均復(fù)利又叫幾何平均收益，我們記為，則有可見(jiàn)幾何平均產(chǎn)出比或幾何平均收益才能反映長(zhǎng)期投資業(yè)績(jī)。因?yàn)槟昀鄯e產(chǎn)出比投資組合的幾何增值理論（或者說(shuō)熵理論）就是用幾何平均產(chǎn)出比作為優(yōu)化投資組合的標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn)，使幾何平均收益達(dá)最大的投資比例就是最好的投資比例。穩(wěn)定的幾何增長(zhǎng)具有無(wú)比的魅力。幾何平均收益的微小優(yōu)勢(shì)，在長(zhǎng)期累計(jì)后可能導(dǎo)致驚人的成功。下表顯示了幾何平均收益對(duì)2年0累積產(chǎn)出比的影響。表1幾何平均股益對(duì)2D年累積產(chǎn)出比的最幾何平均收益10%15%敏23.8%年產(chǎn)出比6.716.4臉371.5其中23.就是8%巴費(fèi)特管理的伯克希

7、爾公司32年里的幾何平均收益。在過(guò)去的32年里，伯克希爾公司每股資產(chǎn)從19美元增長(zhǎng)到190美1元1，算術(shù)平均年收益大約是1000/32=，可3是1幾2何5平均年收益只有23.（8稅%后）.美國(guó)的基金管理大師彼得林奇之所以有成功，是因?yàn)樗昀锸够鸬膸缀纹骄找孢_(dá)到30。據(jù)說(shuō)李家誠(chéng)的幾何平均收益是28，索羅斯的量子基金幾何平均收益也是28（早期是35）。有人做過(guò)計(jì)算說(shuō)明，雖然兩百年前美國(guó)政府從印地安人手里以極便宜的價(jià)格買了大片土地，但是如果印地安人把錢存入銀行每年得到現(xiàn)在美國(guó)長(zhǎng)期國(guó)債的收益，則利滾利后，印地安人現(xiàn)在將極其富有，足以買回更大面積的土地。可見(jiàn)穩(wěn)定的幾何平均收益的威力。有人炒期貨看到

8、可能的盈利幅度大于虧損幅度就大量投入；有人炒期貨還要透支。中國(guó)人在期貨市場(chǎng)上破產(chǎn)的比例極大，原因就是因?yàn)樵S多人看不到穩(wěn)定增值的重要性。許多股民類似，他們對(duì)收益波動(dòng)極大的虧損垃圾股、莊股、新股、權(quán)證等倍加追捧；而對(duì)收益較為穩(wěn)定的年收益達(dá)2030的投資（比如認(rèn)購(gòu)新股）不以為然。這不能不說(shuō)是中國(guó)股市不成熟的表現(xiàn)。筆者特別羨慕那些有穩(wěn)定收入的年輕人。只要他們有耐心，采取穩(wěn)健的策略（比如每年認(rèn)購(gòu)新股，如果認(rèn)購(gòu)新股效益不變的話），一、二十年后成為百萬(wàn)富翁將極其容易。當(dāng)然，對(duì)于包括筆者在內(nèi)的許多人既不年輕又有生活壓力，要成為百萬(wàn)富翁，我們當(dāng)采取更加進(jìn)取的投資策略，即選擇多種投資方式，優(yōu)化投資組合，贏得更高的

9、幾何平均收益。擲硬幣打賭問(wèn)題的數(shù)學(xué)解答擲硬幣打賭問(wèn)題是：有一種可以不斷重復(fù)的投資或打賭，其收益由擲硬幣確定，硬幣兩面出現(xiàn)的可能性相同；出面你投一虧一，出面你投一賺二；假設(shè)你開(kāi)始只有10元0，輸了沒(méi)法再借?，F(xiàn)在問(wèn)怎樣重復(fù)下注可以使你盡快地由百元戶變?yōu)榘偃f(wàn)元戶?不知讀者是否記得中學(xué)學(xué)過(guò)的拋物線公式+。拋物線可以用來(lái)描述炮彈飛行軌跡，它有一個(gè)最高點(diǎn)當(dāng)水平距離時(shí)，高度達(dá)最大。下面我們說(shuō)明中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)如何能幫助我們盡快成為百萬(wàn)富翁。對(duì)于上面的擲硬幣打賭，幾何平均產(chǎn)出比隨下注比例的變化是R蕓=（11）”+藥產(chǎn)=（_%工+0+1產(chǎn)要使達(dá)最大，只需使上式右邊括號(hào)中的內(nèi)容達(dá)最大。根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，義時(shí)，括號(hào)中的

10、內(nèi)容和幾何平均收益達(dá)最大。這就是說(shuō)，對(duì)于上面的擲硬幣打賭，高5是最優(yōu)投資比例。圖1幾何平均收益，和算術(shù)平均收益.遁q的變化對(duì)于上面的擲硬幣打賭，算術(shù)平均收益和幾何平均收益隨下注比例ag的變化如圖所示。容易看出，算術(shù)平均收益和投資比例成正比關(guān)系；而g幾何平均收益不是，太大反而不好，如果則從長(zhǎng)遠(yuǎn)看必然虧損。上面假設(shè)硬幣的兩面出現(xiàn)的可能性或概率相同，即；嬴虧幅度是12給定的（1和2）。如果硬幣是彎的，一面出現(xiàn)的可能性大，另一面出現(xiàn)的可能性小和皆不等于并且嬴虧幅度也是變的為小于和大于，1212這時(shí)幾何平均收益等于Rg=Q+zqq）門口+馬口）”則這時(shí)最優(yōu)比例如何求法？現(xiàn)在我們用表示資金翻一番數(shù)目，如果

11、，則如果不等于呢我們可以用表示翻番數(shù)，即這一公式很象通信理論中的熵公式，所以我們把翻番數(shù)叫做增值熵。這樣求幾何平均收益最大和求增值熵最大就是一回事?？上н@時(shí)不能用中學(xué)生的方法求最優(yōu)投資比例。這時(shí)要用到大學(xué)生學(xué)到的求極值的方法（可見(jiàn)數(shù)學(xué)還是有用的）令對(duì)的導(dǎo)數(shù)等于可以求出最優(yōu)投資比例是注意上式分子括號(hào)中正好是算術(shù)平均收益。有了這一公式，我們就可以對(duì)付收益更復(fù)雜的打賭或投資。比如重復(fù)擲骰子打賭，可能出現(xiàn)的數(shù)字是1到6；出1虧一倍，出345嬴一倍。一。于是可以求出最優(yōu)下注比例上面結(jié)論?？梢郧蟪鲎顑?yōu)下注比例上面結(jié)論。=。讀33者.不妨3%通過(guò)反復(fù)擲硬幣或擲骰子檢驗(yàn)股票和國(guó)債的投資組合優(yōu)化-漫談投資組合的

12、幾何增值理論上一節(jié)我們介紹了擲硬幣打賭下注比例的優(yōu)化公式：有人會(huì)問(wèn)：剩下的資金不投資不是浪費(fèi)掉了？回答是：剩下的資金如能產(chǎn)生穩(wěn)定收益更好，即使不能產(chǎn)生，那也不是浪費(fèi)。就象打仗要有后備軍一樣，風(fēng)險(xiǎn)投資也要有后備軍，它能在前次投資虧損后發(fā)揮更大效用?？尚业氖?，目前深圳上海交易所允許股民同時(shí)從事股票和國(guó)債買賣，使得股民可以用“后備軍”購(gòu)買國(guó)債，同時(shí)得到穩(wěn)定的國(guó)債收益。TOC o 1-5 h z假設(shè)只有購(gòu)買二級(jí)市場(chǎng)股票和購(gòu)買國(guó)債兩種投資方式，股票收益近似用擲硬幣打賭收益來(lái)模擬，即已知國(guó)債收益率和股票收益的概率預(yù)測(cè)。01122如何優(yōu)化股票和國(guó)債的投資比例？這時(shí)資金的平均翻番數(shù)或增值熵變?yōu)镠=lRog=lPog【12+（r1-）q+rq】+Plo【g21+（r1-）q+rq】2101202一是投資國(guó)債的比例。令對(duì)的導(dǎo)數(shù)等于可以求出最優(yōu)投資比例：q*=d-+（PdP）R/（d）.1122012其中是投資國(guó)債的產(chǎn)出比；和是超出國(guó)債收益00110220的收益。國(guó)債收益也可以說(shuō)是市場(chǎng)平均收益，我們可以說(shuō)和是超常收益。12因?yàn)閲?guó)債利率反映了資金成本，我們也說(shuō)上式是考慮資金成本的優(yōu)化公式。例：可選擇的投資是股票和國(guó)債，投資人每年年終調(diào)整投資比例,股市每年的漲跌幅由擲硬幣確定，收益預(yù)測(cè)，8年