2022高考數(shù)學選填經(jīng)典題型：題型55 割補法與等積變換求解體積問題

1、題型55 割補法與等積變換求解體積問題【方法點撥】利用等積變換求解三棱錐的體積問題，歸根結底就是“換頂點（或換底面）”，換頂點的常用方法有二.一是直接換，即從四個頂點選擇一個點作為頂點，選擇的基本原則是點面距易求，如出現(xiàn)線面垂直等；二是利用線面平行更換頂點，由于該直線上任意一點到平面的距離均相等，換完后依然是便于求出點面距.當然，有時還會遇到利用與平面相交的直線上的點換頂點等不一而足.利用求體積可以求點面距，其數(shù)學方法是“算兩次”.【典型題示例】例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，動點E在棱BB1上，動點F在線段A1C1A. 與x，y都有關B. 與x，y都無關C. 與x有關，與y無關D

2、. 與y有關，與x無關【答案】B【分析】利用線面平行換頂點，化動為靜.【解析】易知，平面，故四面體 QUOTE O-AEF 即四面體與四面體同底等高，即同理，平面，故四面體 QUOTE O-AEF 即四面體與四面體同底等高，即所以，故與x，y都無關.例2 如圖所示，在多面體中，已知四邊形是邊長為的正方形，且、均為正三角形，則該多面體的體積為（ ）A B CD【答案】A【分析】將物體切割成一個三棱柱，兩個三棱錐分別計算體積.【解析】在上取點使，連接，是邊長為1的正方形，且、均為正三角形，所以四邊形為等腰梯形，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，是平面內(nèi)兩條相交直線，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，平面，幾何體體積

3、為，故選：A例3 如圖，在長方體中，則四棱錐的體積為 cm3.【答案】【解析】如圖所示，連結交于點，因為 平面，又因為，所以，所以四棱錐的高為，根據(jù)題意，所以，又因為，故矩形的面積為，從而四棱錐的體積.例4 如下圖，四棱錐中，平面，則點到平面的距離為 .【答案】【分析】先證明，而所求點到平面的距離，需利用“算兩次”，求出三棱錐的體積即可.【解析】因為平面,平面,所以.由,得又,平面,平面,所以平面,因為平面,所以.連結.設點到平面的距離為.因為,所以從而由,得的面積.由平面及,得三棱錐的體積因為平面平面,所以,又,所以由,得的面積,由,得因此點到平面的距離為【鞏固訓練】AA1B不C不B1不C1

4、不D1不D不1.AA1B不C不B1不C1不D1不D不2.如圖，在正方體中，為的中點，則三棱錐的體積為 cm3 3.如圖，已知正四棱柱的體積為36，點，分別為棱，上的點（異于端點），且，則四棱錐的體積為 4如圖，三棱錐中，是中點，在上，且，若三棱錐的體積是2，則四棱錐的體積為 5.如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA16若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點，則三棱錐AA1EF的體積是 AABCA1B1FC1E6.如圖，在三棱柱中，分別是的中點，設三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則 7.在直三棱柱中，.則到面的距離為 .【答案與提示】1.【答案】1【提示】直接使用等體積法.2.【答案】【提示】直接使用等體積法.3.【答案】12【解析一】特殊位置法，轉化為求四棱錐的體積；【解析二】連接DE，則三菱錐與三菱錐體積相等，所以，因為，所以.【解析三】補體，如右圖.4【答案】10【解析】補體，轉化為三菱錐與三棱錐的體積比，實施等積變換.，因為，則四棱錐的體積為10.5.【答案】【提示】直接使用等體積法.6. 【答案】1：24【解析】三棱錐與三棱錐的相似比為1：2，故體積之比為1：8又因三棱錐與三棱柱的體積之比為1：3所以，三棱錐與三棱柱的體積之比為1：247