《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題詳解 第一章 隨機(jī)事件和概率

1、 PAGE PAGE 5第一章隨機(jī)事件和概率一. 填空題1. 設(shè)A, B, C為三個(gè)事, 且P(AB) P(ABC) 0.97,P(ABC) .解.P( AB C) P(AB ABC) P( AB) P( ABC) 1 P(AB) 1 P( ABC)= P(A B C) P(A B) = 0.970.9 = 0.07設(shè)10 件產(chǎn)品中有4 件不合格, 從中任取兩, 已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格另一件也是不合格品的概率.解.A二件產(chǎn)品中有一件是不合格,B 二件都是不合格P(AB)P(B)c2 4c21P(B | 10 P(P(c2516c210注意: 二件產(chǎn)品中有一件是不合格品 =二件產(chǎn)品中恰

2、有一件是不合格品+二件都是不合格品所以A B, AB B;A二件都是合格隨機(jī)地向半圓0 y 2ax x2(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn), 點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正, 則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x 軸的夾角小于4 的概率.解. 假設(shè)落點(diǎn)(X, Y)為二維隨機(jī)變量, D 為半圓. 則1P( X ,Y ) D) k a 11, k 為比例系. 所以k 2 2a 假設(shè)D1 = D 中落點(diǎn)和原點(diǎn)連線與x 軸夾角小于 4 的區(qū)域21111P(X,Y)D ) k D的面積(2 a2 ) .11422設(shè)隨機(jī)事件A, B及其和事件AB的概率分別是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B的對(duì)立事, 則積事件

3、AB的概率P(AB) =.解.P(AB) P( P(B) P(A B) 0.4 + 0.30.6 = 0.1P(AB) P( P(AB) 0.4 0.1 0.3.某市有住戶訂日, 有65住戶訂晚, 有住戶至少訂這兩種報(bào)紙中的一, 則同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的住戶的百分比.解. 假設(shè)A = 訂日?qǐng)?bào), B = 訂晚報(bào), C = A + B.由已知 P(A) = 0.5,P(B) = 0.65,P(C) = 0.85.所以P(AB) = P(A) + P(B)P(A + B) = 0.5 + = 0.3., , 第二, 第三臺(tái)機(jī)器不發(fā)生故障的概率依次為0.9, 0.8, 0.7,則這三臺(tái)機(jī)器中至少有一臺(tái)發(fā)生

4、故障的概.解. 設(shè)A i (i = 1, 2, 3).i則P(A )= 0.9,P(A )= 0.8,P(A ) =0.7,123P( A AA ) P( AA )1P(A A )1P(A)P()P( A )121212123=10.90.80.7=0.496.電路由元件A 與兩個(gè)并聯(lián)元件B, C 串聯(lián)而, 若A, B, C損壞與否相互獨(dú), 且它們損的概率依次為0.3, 0.2, 0.1, 則電路斷路的概率.解. 假設(shè)事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.P(A) = 0.7,P(B) = 0.8,P(C) = 0.9. = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C

5、) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)P(A)P(B)P(C)= 0.70.8 +0.70.90.70.80.9 = 0.686.所以P(電路斷) = 10.686 = 0.314.甲乙兩人投, 命中率分別為0.7, 0.6, 每人投三, 則甲比乙進(jìn)球多的概解. 設(shè)X 表示甲進(jìn)球, Y表示乙進(jìn)球.P() = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0)+ P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0)= P(

6、X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0)+ P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)= 0.73 c1 0.62 0.73 c2 0.42 0.73 0.4333+ c1 0.3 0.72 c1 0.6 0.42 c1 0.3 0.72 0.43 c1 0.7 0.32 0.433333= 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096= 0.43624.111三人獨(dú)立破譯一密碼, 他們能單

7、獨(dú)譯出的概率分別為 , , 則此密碼被譯出的概率534 .解. 設(shè)A, B, C , 乙, ., P) 1 , P(B) 1 , P(C) 1 .534P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)P(AB)P(AC)P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)P(A)P(B)P(A)P(C)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .353453543453453二單項(xiàng)選擇題.以A , , A 為(A) “甲種產(chǎn)品滯, 乙種產(chǎn)品暢銷”(B) “甲、乙產(chǎn)品均暢銷”(C) “甲種產(chǎn)品滯銷”(D) “甲

8、產(chǎn)品滯銷或乙產(chǎn)品暢銷解. (D)是答.設(shè)A, B, C, 與事件A 互斥的事件是(A) (B)A(BC)(C)ABC(D)A B C解.A(ABC) AA BC, 所以(D)是答.設(shè)A, B, 則(A) P(AB)P(AB)P(A)P(B)(B) P(AB)P(AB)P(A)P(B)(C) P(AB)P(BA)P(A)P(B)P(AB)(D) P( A B)P(B 1.4解 . P(A + (P(A)P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(B)=P(A)(P(B)P(AB) + P(AB)(P(B)P(AB)=(P(B)P(AB)(P(A)P(AB)=P(BA)P(AB) 0所以(B)是答案

9、.事件A 與B 相互獨(dú)立的充要條件為(A) A + B =(B) P(AB) = P(A)P(B)(C) AB =(D) P(A + B) = P(A) + P(B)解. (B)是答案.設(shè)A, B, 且P(AB) = 0, 則A, B 互斥 (B) AB是不可能事件 (C) AB未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0.解. 概率理論中 P(A) = 0 不能推出A 為不可能事件(證明超出大綱要求). 所以(C)是答案.設(shè)A, B , 且AB, P(B) 0, 則下列選項(xiàng)必然成立的是(A) P(A) P(A|B)(C) P(A) P(A|B)解.P( A | B) P(AB

10、) P( P(B = ). (B).P(B)P(B)7. 已知 0 P(B) 1, 且P(A + A )|B = P(A |B) + P(A|B), 則下列選項(xiàng)必然成立的是1212(A) P(A A ) | P(A | P(A|1212P(A B +A B) = P(A B) +P(A B)1212P(A +A ) = P(A |B) +P(A |B)1212P(B) = P(A )P(B|A ) + P(A )P(B|A )1122解. 由P(A + A )|B = P(A |B) + P(A |B)得到1212P( A A )BP(AB)P( AB) 1212, 所以B +A B) = P

11、(A B) +P(AB). (B) 是P(B)P(B)P(B)1212答案.三. 計(jì)算題0.05, 100 , , 在每批中任取一, 1 個(gè), , .解.P(該批產(chǎn)品合) = 全部正) + 恰有1 個(gè)次)c50= 95c50100c49c1 95 5 0.2794c50100書架上按任意次序擺著15, 其中有5, 從中隨機(jī)地抽取3本, .解. 假設(shè)A=至少有一本數(shù)學(xué).A=沒有數(shù)學(xué) c32467P( A ) = 10 ,P(A) = A ) = c3919115100 80 名, 20 12 名. 40 名學(xué)32名, :;.解.學(xué)生情:男生女生北京128免修英語(yǔ)328總數(shù)802068P(男生)

12、= 178020123P(男生) =12P() = 20512P(女生8032P(10012 , 9 , 3 個(gè), , 3 , 求:;, .解. i. 設(shè)Bii (i = 0, 1, 2, 3). A . 于是P(Bci c3i) 9 3,P(A|c3) 9iic312ic3123cic3ic31P( A) P(B )P( A| B ) 9 39i (c0c3c3c1c2c3c2c1c3 c3c0c3 )ii(c3 )2(c3 )29 3 99 393 9 36i0i012121(220)218493563633584120) 705648400 0.146ii.P(B3| A) 84 1 20P( A | B )P(B ) 33(220)2