矢量微分算子和拉普拉斯算子

1、矢量微分算子和拉普拉斯算子一、矢量微分算子(一)形式定義:333V=i+j+k3x3y3z我們發(fā)現(xiàn)矢量微分算子算子在形式上是個(gè)矢量。(二)用法定義1.鋪墊定義3x)3u(x，y，z)其中u(x,y,z)是標(biāo)量函數(shù)，i、13xJ(3)I3yJ(3)u(x，y，z)3x)eu(x，y，z)j、k分別是x軸、y軸、z軸方向的單位矢量。2金艮標(biāo)量函數(shù)u(x,y,z)相乘3u.3u.33u.3u.3u,i+j+k3x3y3zCi+3yj+左kJuiu+-u+k我們看到這跟普通矢量與標(biāo)量的乘法形式上一樣。3,跟矢量A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k點(diǎn)乘V-A=(li+-(3x3

2、y(P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k)VxA=i+j+k(P(羽y,z)i+Q(羽y,z)jVxA=i+j+kapar、.-Ij+aza%J我們看到這個(gè)定義跟普通矢量與矢量的叉乘的定義形式上一樣。(三)按照以上定義，我們?nèi)菀椎贸?.根據(jù)下圖所示梯度定義可知，可以用矢量微分算子表示標(biāo)量函數(shù)u(%,y,z)的梯度，即grad(u)=Vu梯度的這個(gè)定義是與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的，它是由數(shù)量場(chǎng)中數(shù)量的分布所決定的.上面，我們借助于方向?qū)?shù)的公式找出了它在直角坐標(biāo)系中的表示式為.根據(jù)下圖所示散度定理可知，可以用適量微分算子表示矢量函數(shù)A=P(%,y,z)i+Q(%,y,z)j+R(%,y

3、,z)k的散度，即div(A)-V，A(?)度/直角坐標(biāo)莘中隨表示式做度的定義是與坐標(biāo)系箕關(guān)的.下面的定理，給出了它在立角坐標(biāo)系中的表示式一定理在直角坐標(biāo)系中.矢見(jiàn)場(chǎng)a-尸(工，,工)十。(工，丁,上方+件在一點(diǎn)M1外九G處的曲度為div總些年型+”(3.1。/1)T度的定義者在矢場(chǎng)從中的一點(diǎn)網(wǎng)處存在這胖的一個(gè)先量工矢量場(chǎng)A在點(diǎn)M處沿其方向的環(huán)解而密度為最大，這個(gè)最大的數(shù)值，正好就此1KI,則標(biāo)矢量R為矢量場(chǎng)總在點(diǎn)總處的旋搜，記作mt4即FQt=凡筒可之.地度矢量在數(shù)值和方向上表明了最大的環(huán)疝面錢(qián)度.旋度的上述定義，是與坐標(biāo)娛無(wú)關(guān)的.上面1412)式中的矢陂K.是它在直角坐標(biāo)系中的淺示式，就是

4、說(shuō)，在直角坐標(biāo)系中有四，4=吟一Q,)i4(P,-3+(pc-(4.14)成、7.一rotA-AJ.(4,15)IdyIFQR二、拉普拉斯算子(一)形式定義:V2=v-vV2=v-v(d.a.s八i+j+k1a%a/az)J/(aaai+j+k、a%ayazaaaaaaa2a2a2+a%a%ayayazaza%2ay2az2我們發(fā)現(xiàn)拉普拉斯算子在形式上是個(gè)標(biāo)量。(二)用法定義:.鋪墊定義三.u(%,y,z)a2虱%，y，z)a%2a%2a2a2u(%,y,z)-u(%,y,z)ay2ay2a2a2u(%,y,z)u(%,y,z)az2az22金艮標(biāo)量函數(shù)u(%,y,z)相乘TOC o 1-5

5、h zS2S2S2uu+u+uSx2Sy2Sz2=+Sx2Sy2Sz2我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)定義形式跟普通標(biāo)量與標(biāo)量的相乘形式上滿足的相似的規(guī)律（分配律）3金艮矢量函數(shù)A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k數(shù)乘三十三+三(Sx2Sy2Sz2,S2S2S2-+-+-(Sx2Sy2Sz2JS2S2S2、-+-+(Sx2Sy2Sz2J=1P(x,y,z)(P(x,y,z)(P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k)+Sz2、Sx2S2+Sy2S2+Sz2S2+Sz2Q(x,y,z)j+JR(x,y,z)kJS2P(x,y,z)S2P(x,y,z)S2P(x,y,z)+

6、S2Q(x,y,z)+S2Q(x,y,z)+S2Q(x,y,z)S2R(x,y,z)S2R(x,y,z)S2R(x,y,z)+我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)定義形式跟普通標(biāo)量與矢量的相乘形式上滿足相似的規(guī)律（三）注意1.V2u=V(Vu)jS2S2S21S2uS2uS2zV2u=+u=+(Sx2Sy2Sz2JSx2Sy2Sy2waw(Su.Su.SuV-(Vu)=V-i+j+k(SxSySz(S.S.S,|(Su.Su.Su,i+丁j+kk-i+j+kSSuSSuSSu+SxSxSySySzSz所以得證。s(WIsx(Su|SSy7+、,+Sy2.V2AwV(VA)且V(V-A)V2A=Vx(VxA)V-A=(

7、S.S.S,|i+j+k-SxSySz)J/(P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k)SnSSnSPSQSR=-P+-Q+-R=+SxSySzSxSySz/(SV(/(SV(V-a)=i+、SxSy(SPSQSR+、SxSySzXJ,S.+j-Sy(SPSQSR+、SxSySz7、，JSPJSPSQSRS+(SxSySzSxJSPSQSRS+(SxSySzSyJSPSQSRS+(SxSySz(竺+竺|(Sx2Sy2Sz27所以，不相等。3.Vx(VxA)=V(V-A)-V2AVx(VxA)二aax+(-1)臼絲jkaaayazaparaqapazaxaxayaRdQdyaz

8、an弋卜azsaqapa(a.ray)azay(義1Paxaza(arayaya2qa2pa2pa2r1axayay2az2axaz(a2pa2qa2ra2q)1(力axax2ayazaz2)a2r+a2qdy2azay(a2pa2pa2pA.(aax2+ay2+az21+；二(初+也+出Ai+(ax2ayaxazax7(a2pa2pa2pA.(a+i+1(ax2ay2az271,、(aaaAV(V-A)=V-i+j+kaxayaz7，2q+a2q+a2qax2ay2az27a2p,a2q,a2j+RA(a2ra2ra2rA7A+k(ax2ay2az277.(a2pa2qa2rj+(axaza

9、yazaz2(a2ra2ra2rAA+k(ax2ay2az277z)j+R(x,y,z)k)711(axayay2az2qq+a2q+a2Qaax2ay2az2)(P(x,y,z)i+Q(xay7j+jy,（箸a2q,axay出)+(把十這4axaz7(ayaxay2a2rayaz、7彥+翳+詈卜-、k-7A7二V(ap(ax卜asayarA+一az7=_a(axi+J+aAk7(ap(a%+”ayarA+az7=ayaz(a.A(apaqarA(a.A(apaqarA(a,A(apaqar一i一+-+J+-二十+k1+(ax7axayaz7(ayJ7(axayaz7(az7(axayazJa

10、paqarAJapaqarAJapaqarAa+a+a+(axayazJ.(axayaz).(axayaz)i+j+k=axayaz(a2pa2qa2rA.(a2pa2qa2rA.(a2pa2qa2rA,十+i+j+=+k(ax2ayaxazaxJ(axayay2azay7(axazayazaz27(P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k)=ax2ay2az27底P(兀y，z)+ax2ay2y,z)j+a2a2a2一+一(ax2ay2az2P(x,y,z)+/P(x,y,z)i+az27魯Q(x,y,z)+Q(x，y，z)+gQ(x,y,z)j+ax2ayR(x,y,z)ax2a2+-aya2pa2pa2p11ax2ay2az2a2+az27a2ra2ra2r-7T+77+7TT(ax2ay2az273)3()3()3P3Q3R-7,P(x,y,z)+-7,Q(x,y,z)+-7,R