2022年新教材高中數(shù)學(xué)第3章數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)1建筑物高度的測(cè)量2測(cè)量和自選建模作業(yè)的匯報(bào)交流課件北師大版必修第二冊(cè)

1、第三章數(shù)學(xué)建模活動(dòng) 1建筑物高度的測(cè)量 2測(cè)量和自選建模作業(yè)的匯報(bào)交流課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建模型、確定參數(shù)、計(jì)算求解、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).必備知識(shí)探新知關(guān)鍵能力攻重難必備知識(shí)探新知 新知探究情境引入珠穆朗瑪峰是喜馬拉雅山脈的主峰，是地球上的第一高峰，位于東經(jīng)86.9，北緯27.9.8 848.86米2020年12月8日，國(guó)家主席同尼泊爾總統(tǒng)互致信函，共同宣布珠穆朗瑪峰最新高程.8 848.86米這個(gè)珠峰“身高”是如何測(cè)定的，以及在此次珠峰測(cè)高過程中我國(guó)所

2、采用的技術(shù)與方法我們可能感到不可思議，從簡(jiǎn)單處說，那就是數(shù)字的測(cè)量與解三角形的應(yīng)用問題：測(cè)量高度是一個(gè)很傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，你能舉出一些例子嗎？提示：1測(cè)量學(xué)校內(nèi)的旗桿2測(cè)量學(xué)校內(nèi)的一座教學(xué)樓3測(cè)量學(xué)校外一座看得見，但底部不可到達(dá)的建筑物關(guān)鍵能力攻重難一、情境與問題請(qǐng)觀察自己學(xué)校內(nèi)、外的建筑，用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，選擇多種合適的辦法，測(cè)量下面這樣幾個(gè)對(duì)象的高度(如圖所示)任務(wù)1學(xué)校內(nèi)的旗桿或自己學(xué)校內(nèi)的一座教學(xué)樓任務(wù)2學(xué)校外一座看得見但不可及的建筑操作建議：(1)學(xué)生自由分組，討論本小組的測(cè)量目標(biāo)、小組成員的分工、需要準(zhǔn)備的測(cè)量工具，如果有需要，也可以自制一些簡(jiǎn)單的測(cè)量工具(2)小組成員采用“頭腦

3、風(fēng)暴”的形式集思廣益，充分討論，對(duì)需要測(cè)量的對(duì)象給出不同的測(cè)量方案，最好能有兩套方案來測(cè)量同一個(gè)建筑物小組成員需要事先相對(duì)精細(xì)地分工，弄清楚需要測(cè)量什么數(shù)據(jù)，測(cè)量幾次，需要多少數(shù)據(jù)，如何分析和減小可能產(chǎn)生的測(cè)量和計(jì)算誤差等(3)分工合作完成測(cè)量，及時(shí)記錄好測(cè)量的數(shù)據(jù)(4)完成“測(cè)量工作報(bào)告表”的計(jì)算和報(bào)告，并利用多種形式表現(xiàn)小組的成果和創(chuàng)意二、試著做一做對(duì)于高度測(cè)量的問題，我們?nèi)菀紫氲嚼萌切蔚闹R(shí)來解決，比如測(cè)量學(xué)校內(nèi)的旗桿高度，由于觀測(cè)點(diǎn)與旗桿之間的水平距離是可以測(cè)量的，所以我們只要測(cè)量一個(gè)仰角，就可以利用直角三角形的邊角關(guān)系計(jì)算出旗桿的高度當(dāng)然，如何減少誤差是一個(gè)需要考慮的問題，同時(shí)在

4、測(cè)量時(shí)需要哪些測(cè)量工具也是要事先準(zhǔn)備好的請(qǐng)大家先思考一下需要用到的測(cè)量工具有哪些學(xué)校外的建筑物高度測(cè)量問題，與旗桿測(cè)量問題的差異在哪里呢？由于我們?cè)谛@內(nèi)測(cè)量，觀測(cè)點(diǎn)與被測(cè)量的對(duì)象之間的水平距離不可測(cè)(比如它們之間存在不可逾越的障礙物，或者即使其之間的水平距離是可測(cè)的，但是距離較遠(yuǎn))，我們又該如何測(cè)量其高度呢？我們可以嘗試設(shè)計(jì)不同的測(cè)量方案，要考慮這些不同方案需要測(cè)量哪些數(shù)據(jù)？其優(yōu)缺點(diǎn)是什么？所用的(數(shù)學(xué))原理又是什么？請(qǐng)你在網(wǎng)格區(qū)域中試著做一做，將方案填寫在下表中.測(cè)量方案測(cè)量方案優(yōu)缺點(diǎn)分析數(shù)學(xué)原理圖示測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算方法方案建構(gòu)原理三、啟發(fā)與提示通過前面的討論我們發(fā)現(xiàn)，要測(cè)量的對(duì)象按照測(cè)量的情

5、境可分為以下兩類：第一類，觀測(cè)點(diǎn)與測(cè)量對(duì)象的水平距離可測(cè)量第二類，觀測(cè)點(diǎn)與測(cè)量對(duì)象的水平距離比較遠(yuǎn)或者不可測(cè)量顯然，第一類是測(cè)量高度中最基本、最簡(jiǎn)單的情形，而第二類是測(cè)量高度中較為復(fù)雜，卻是在生活實(shí)踐中更為常見的情形我們先考慮如圖1所示的情形，測(cè)量物體的高度記為AB，顯然ABBCtan ACB，因此測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)與被測(cè)量對(duì)象之間的水平距離是測(cè)量高度的重要“橋梁”通過上面的分析，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，不管是測(cè)量學(xué)校內(nèi)旗桿的高度還是測(cè)量學(xué)校外建筑物的高度，從數(shù)學(xué)的角度來看，其實(shí)就是通過測(cè)量出某些量，進(jìn)而計(jì)算出高度，本質(zhì)上是求一條邊的長(zhǎng)度，因此，我們可以把這樣一個(gè)高度測(cè)量問題歸結(jié)為通過建構(gòu)一個(gè)(或幾個(gè))三角形，

6、利用解三角形的知識(shí)來解決，這種辦法的核心是測(cè)量一個(gè)(或幾個(gè))“角”及一個(gè)“距離”，需要提醒大家的是“角”的測(cè)量可能會(huì)是引起較大誤差的主要因素如果你想利用物理學(xué)中光學(xué)的有關(guān)知識(shí)，也可以采用“鏡面反射”的辦法來測(cè)量高度，其基本操作如下：如圖3所示，在水平地面的某點(diǎn)A處水平放置一面平面鏡子M1(或一盆水)，觀測(cè)人員在同一水平面上移動(dòng)，直到能在平面鏡中看到樓頂端，測(cè)量并記錄此時(shí)鏡子中的樓頂與觀測(cè)人員之間的水平距離a1，注意此時(shí)保持鏡子M1(或一盆水)位置不動(dòng)，將第二面平面鏡子M2(或一盆水)水平放置在水平地面的點(diǎn)B處，觀測(cè)人員在同一水平面上移動(dòng)，直到能在平面鏡M2中看到樓頂端，同時(shí)測(cè)量并記錄此時(shí)鏡子中

7、的樓頂與觀測(cè)人員之間的水平距離a2，測(cè)量?jī)擅骁R子M1和 M2之間的水平距離a，最后就能計(jì)算出樓高其測(cè)量原理如圖3所示圖3 四、簡(jiǎn)要參與解通過以上的分析，我們給出幾種測(cè)量方案及簡(jiǎn)要分析供師生參考，如下表所示：幾種不同的測(cè)量方案及簡(jiǎn)要分析五、反思與拓展在本節(jié)中，我們提供了幾種不同的方案來測(cè)量高度，你是否還有其他的測(cè)量方案或者想法？下面是學(xué)生在實(shí)際測(cè)量旗桿高度時(shí)出現(xiàn)的一種做法，大家可以思考一下他的做法是否合理測(cè)量方案：讓一個(gè)學(xué)生站在旗桿下，然后照一張含有這個(gè)人的完整照片照片就是一個(gè)很好的比例尺，按照片中的人高與旗桿的比例，求出旗桿高度如圖4所示，用計(jì)算機(jī)顯示拍攝的照片，量出旗桿有6.3個(gè)學(xué)生的高度，

8、這個(gè)學(xué)生的身高為1.73 m，于是得到旗桿的高度約為6.317310.9(m)(1)你認(rèn)為這種測(cè)量方法如何？如果認(rèn)為正確，請(qǐng)說明理由以及這種方法的優(yōu)點(diǎn)；如果認(rèn)為有問題，請(qǐng)說明問題出在何處，結(jié)果偏大還是偏小？(2)你認(rèn)為測(cè)量中如何做就能減少誤差，得到正確的結(jié)果？需要注意的是，這個(gè)方案雖然操作簡(jiǎn)單，但卻容易出現(xiàn)較大偏差如果拍照者與參照物、測(cè)量對(duì)象之間的距離較近，得到的測(cè)量結(jié)果與實(shí)際真實(shí)的結(jié)果相比會(huì)偏小拍照者離旗桿越近，誤差越大事實(shí)上，根據(jù)“近大遠(yuǎn)小”的視覺規(guī)律，教學(xué)樓下面的“一人高”和教學(xué)樓頂端的“一人高”對(duì)應(yīng)的真實(shí)高度是不一樣的，這個(gè)方案把它當(dāng)成一樣的來計(jì)算了如果拍照者與參照物之間的距離較近，顯

9、然頂端的“一人高”比下端的“一人高”所對(duì)應(yīng)的實(shí)際尺寸要大，所以容易造成測(cè)量結(jié)果比實(shí)際結(jié)果小那么如何減小這個(gè)方案的誤差呢？大家可以思考一下減少誤差的思路有以下兩種：反思1在本文中，我們提到了很多種測(cè)量的方法，經(jīng)過實(shí)踐就會(huì)發(fā)現(xiàn)，測(cè)量結(jié)果與實(shí)際高度之間存在誤差，甚至誤差還比較大，仔細(xì)分析誤差產(chǎn)生的原因并找到盡可能減小誤差的辦法是測(cè)量中必不可少的一部分工作在實(shí)際測(cè)量中可能產(chǎn)生誤差的原因有：(1)測(cè)量工具的問題例如，自己制作的測(cè)量角的工具相對(duì)比較粗糙、刻度不夠精確(2)在利用“鏡面反射”的方法測(cè)量時(shí)，測(cè)量對(duì)環(huán)境的要求比較高，放置鏡子的地面需要保證足夠平，同時(shí)在兩次觀測(cè)點(diǎn)放置的鏡子與觀測(cè)人員所站的位置要在

10、一條直線上，觀測(cè)人員在觀測(cè)鏡子中的樓頂時(shí)要保證垂直狀態(tài)且兩次觀測(cè)的高度保持一致，而這些在實(shí)際測(cè)量的過程中很難精確保證，從而造成誤差(3)在利用“鏡面反射”的方法來測(cè)量時(shí)，圖3中的a值(兩次鏡間距)如果太小，使測(cè)量的角度差或人鏡距離太小，從而造成較大的計(jì)算誤差解決的方法是可以利用實(shí)際測(cè)量時(shí)的場(chǎng)地環(huán)境，盡可能增大a值，從而提高測(cè)量精度，當(dāng)然還有一個(gè)辦法就是通過多次測(cè)量取平均數(shù)，這也是減小誤差的必要手段反思2具備一些測(cè)量上的常識(shí)性知識(shí)，對(duì)身邊的事物有一個(gè)正確的數(shù)量估算，會(huì)更利于我們完成此項(xiàng)工作例如一座20多層的寫字樓的高度大約為80 m.六、測(cè)量和自選建模作業(yè)的匯報(bào)交流1根據(jù)完成的測(cè)量要求，按小組或個(gè)人，完成一個(gè)測(cè)量結(jié)題報(bào)告或者寫一篇建模小論文，在班級(jí)中宣講交流請(qǐng)?zhí)貏e注意說明，測(cè)量模型或測(cè)量原理的選取，測(cè)量誤差的減少，測(cè)量的結(jié)果，測(cè)量中的創(chuàng)新點(diǎn)、得意點(diǎn)、問題點(diǎn)等2也可以結(jié)合必修學(xué)段自主選做的數(shù)學(xué)建模小課題的成果，進(jìn)行結(jié)題交流請(qǐng)報(bào)告人事先完成結(jié)題報(bào)告或小論文，再進(jìn)行成果展示交流請(qǐng)班里的其他同學(xué)相互給出評(píng)價(jià)，特別注意總結(jié)、交流、反思建模過程中的收獲和問題，積累建?；顒?dòng)的經(jīng)驗(yàn)3通過對(duì)各組建模結(jié)果的自評(píng)和互評(píng)，相互學(xué)