普通物理學(xué)教程第二版課件：3-7 氣體分子碰撞的概率分布

1、3.7氣體分子碰撞的概率分布 前面引入的分子間碰撞的平均頻率及平均自由程，雖然它們均能表示分子間碰撞的主要特征，但不能反映分子間碰撞的隨機(jī)性質(zhì)。 另外，我們?cè)谝郧巴茖?dǎo)氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強(qiáng)公式時(shí)都沒(méi)有考慮分子之間的碰撞。 實(shí)際上，若一分子在 x = 0處剛好被碰撞過(guò)，則以后遭受第二次碰撞的時(shí)間完全是隨機(jī)的。所以它在兩次碰撞之間走過(guò)的路程也是隨機(jī)的。 為了描述這種隨機(jī)性質(zhì)，必須找到它在 x 到 x + dx 范圍內(nèi)受到碰撞的概率，即分子的自由程處于 x 到 x + dx 范圍內(nèi)的概率。 3.7.1氣體分子的自由程分布 導(dǎo)出分子自由程分布的一種方法是制備N0 個(gè)分子所組成的分子束。 分子束中的分

2、子恰好在同一地點(diǎn)（x = 0處）剛被碰過(guò)一次，以后都向 x 方向運(yùn)動(dòng)。 分子束在行進(jìn)過(guò)程中不斷受到背景氣體分子的碰撞，使分子數(shù)逐漸減少。 只要知道分子束在 x 到 x + dx范圍內(nèi)所減少的分子數(shù) dN 即可得到自由程分布。 若分子源中氣體的平均自由程較短， 分子源外由真空泵抽真空的氣體壓強(qiáng)很低， 分子平均自由程比分子源中平均自由程長(zhǎng)得多， 就可近似認(rèn)為，從分子源的小孔逸出的分子都是在小孔附近剛被碰撞過(guò)后逸出的。 在驗(yàn)證麥克斯威速率分布實(shí)驗(yàn)中, 這樣就近似地制備了在t = 0時(shí)刻（即氣體分子逸出小孔的時(shí)刻）， x = 0處（即在小孔位置）恰好都碰撞過(guò)一次的，向相同方向（x 軸方向） 運(yùn)動(dòng)的 N

3、0個(gè)分子。將這一束分子放大后即如圖所示. 在 t 時(shí)刻、 x 處剩下 N 個(gè)分子，經(jīng) dt 時(shí)間，分子束運(yùn)動(dòng)到 x + dx 處被碰撞掉 dN 個(gè)分子,即自由程為 x 到x + dx 的分子數(shù)為 dN ，dN 是減少分子數(shù) dN 0，要加個(gè)負(fù)號(hào)。又 dx 是很短距離，則在 x 到 x + dx 距離內(nèi)所減少的分子數(shù) dN 與 x 處的分子數(shù) N 成正比.另外, dN 也與 dx 的大小成正比,因?yàn)閐x 很小,即使不成正比,由此所產(chǎn)生誤差僅是二級(jí)無(wú)窮小。設(shè)其比例系數(shù)為 K，則 l對(duì)上式積分，可得 表示從 x = 0 處射出的剛碰撞過(guò)的 N0 分子，行進(jìn)到 x 處所殘存的分子數(shù)，N 是按指數(shù)衰減的。對(duì)上式之右式兩邊微分，有既然（-dN ）表示 N0 個(gè)分子中自由程為 x 到x + dx 的平均分子數(shù)，則（-dN/N0 ）是分子的自由程在 x 到 x + dx范圍內(nèi)的概率。這就是分子自由程的概率分布。 導(dǎo)出自由程分布后可求平均自由程 將上式代入前面的二個(gè)公式，得到分子束的殘存概率若以 為縱坐標(biāo)，x 為橫坐標(biāo),畫(huà)成圖線就是圖該式就是分子束行進(jìn)到 x 處的殘存概率。實(shí)際上它也是自由程從 x 到無(wú)窮遠(yuǎn)范圍內(nèi)的概率。分