高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)教案：選修4－1《幾何證明選講》(含詳解)

1、 選修41幾何證明選講1平行線截割定理與相似三角形了解平行線截割定理，理解相似三角形的判定和性質(zhì)定理，了解直角三角形射影定理2圓的初步(1)理解圓周角定理，理解圓的切線的判定和性質(zhì)定理及弦切角定理(2)理解相交弦定理、割線定理、切割線定理(3)理解圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)定理知識點一平行線截割定理與相似三角形1平行線的截割定理(1)平行線等分線段定理定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰(2)平行線分線段成比例定理定理：三條平行線截兩條直線

2、，所得的對應(yīng)線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例2相似三角形的判定定理(1)判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似(2)判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似(3)判定定理3：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似3相似三角形的性質(zhì)定理(1)性質(zhì)定理：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方(2)推論：相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方4直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等

3、，那么它們相似(2)判定定理2：如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似(3)判定定理3：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似5直角三角形射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項易誤提醒1在使用平行線截割定理時易出現(xiàn)對應(yīng)邊的對應(yīng)順序混亂，導(dǎo)致錯誤2在解決相似三角形的判定或應(yīng)用時易出現(xiàn)對應(yīng)邊和對應(yīng)角的對應(yīng)失誤3射影定理是直角三角形中的一個重要結(jié)論，其實質(zhì)就是三角形的相似但要注意滿足直角三角形射影定理結(jié)論的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中

4、的條件和結(jié)論之間的關(guān)系，不能亂用自測練習(xí)1.(鞍山模擬)如圖，在ABCD中，E是BC上一點，BEEC23，AE交BD于點F，則BFFD的值為_解析：因為ADBC，BEEC23，所以BEAD25，因為ADBC，所以BFFDBEAD25，即BFFDeq f(2,5).答案：eq f(2,5)2.如圖，D，E分別是ABC的邊AB，AC上的點，DEBC且eq f(AD,DB)2，那么ADE與四邊形DBCE的面積比是_解析：DEBC，ADEABC，eq f(SADE,SABC)eq f(AD2,AB2).eq f(AD,DB)2，eq f(AD,AB)eq f(2,3)，eq f(SADE,SABC)e

5、q f(4,9)，故eq f(SADE,S四邊形DBCE)eq f(4,5).答案：eq f(4,5)3.在RtACB中，C90，CDAB于D，若BDAD19，則tanBCD的值為_解：由射影定理得CD2ADBD，又BDAD19，令BDx，則AD9x(x0)CD29x2，CD3x.RtCDB中 ，tanBCDeq f(BD,CD)eq f(x,3x)eq f(1,3).答案：eq f(1,3)知識點二圓的初步1圓周角(1)定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半(2)推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等(3)推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角

6、是直角；90的圓周角所對的弦是直徑2圓的切線(1)判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑(3)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角3弦切角定理及其推論(1)定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半(2)推論：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角4圓中的比例線段(1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，每條弦被交點分成的兩條線段長的積相等(2)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，該點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓

7、交點的兩條線段長的比例中項易誤提醒1解決圓周角、圓心角及弦切角問題時，要注意角之間關(guān)系，易于混淆導(dǎo)致錯誤2使用相交弦定理與切割線定理時，注意對應(yīng)線段成比例及相似三角形知識的應(yīng)用自測練習(xí)4.如圖所示，CD是圓O的切線，切點為C，點B在圓O上，BC2，BCD30，則圓O的面積為_解析：過B作O的直徑BA，連接AC(圖略)，則ACB90.又由弦切角定理得CABBCD30，AB2BC4.半徑OA2，Sr24.答案：45.如圖所示，已知O的割線PAB交O于A，B兩點，割線PCD經(jīng)過圓心，若PA3，AB4，PO5，則O的半徑為_解析：設(shè)O的半徑為r.由割線定理得PAPBPCPD,37(POr)(POr)，

8、即2125r2，r24，r2.答案：2考點一平行線分線段成比例定理的應(yīng)用|1.如圖，等邊三角形DEF內(nèi)接于ABC，且DEBC，已知AHBC于點H，BC4，AHeq r(3)，求DEF的邊長解：設(shè)DEx，AH交DE于點M，顯然MH的長度與等邊三角形DEF的高相等，又DEBC，則eq f(DE,BC)eq f(AM,AH)eq f(AHMH,AH)，所以eq f(x,4)eq f(r(3)f(r(3),2)x,r(3)eq f(2x,2)，解得xeq f(4,3).2.如圖，在ABC中，點D是AC的中點，點E是BD的中點，AE交BC于點F，求eq f(BF,FC)的值解：如圖，過點D作DMAF交B

9、C于點M.點E是BD的中點，在BDM中，BFFM.又點D是AC的中點，在CAF中，CMMF，eq f(BF,FC)eq f(BF,FMMC)eq f(1,2).平行線分線段成比例定理及推論的應(yīng)用(1)利用平行線分線段成比例定理來計算或證明，首先要觀察平行線組，再確定所截直線，進而確定比例線段及比例式，同時注意合比性質(zhì)、等比性質(zhì)的運用(2)解決此類問題往往需要作輔助的平行線，要結(jié)合條件構(gòu)造平行線組，再應(yīng)用平行線分線段成比例定理及其推論轉(zhuǎn)化比例式解題考點二相似三角形的判定及性質(zhì)|1如圖，AD，BE是ABC的兩條高，DFAB，垂足為F，交BE于點G，交AC的延長線于H，求證：DF2GFHF.證明：在

10、AFH與GFB中，因為HBAC90，GBFBAC90，所以HGBF.因為AFHBFG90，所以AFHGFB，所以eq f(HF,BF)eq f(AF,GF)，所以AFBFGFHF.因為在RtABD中，F(xiàn)DAB，所以DF2AFBF.所以DF2GFHF.2.如圖，M是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，直線l過點M分別交AD，AC于點E，F(xiàn)，交CB的延長線于點N.若AE2，AD6，求eq f(AF,AC)的值解：ADBC，AEFCNF，eq f(AF,CF)eq f(AE,CN)，eq f(AF,AFCF)eq f(AE,AECN).M為AB的中點，eq f(AE,BN)eq f(AM,BM)1，A

11、EBN，eq f(AF,AC)eq f(AF,AFCF)eq f(AE,AEBNBC)eq f(AE,2AEBC).AE2，BCAD6，eq f(AF,AC)eq f(2,226)eq f(1,5).3.如圖所示，CD垂直平分AB，點E在CD上，DFAC，DGBE，F(xiàn)，G分別為垂足求證：AFACBGBE.證明：因為CD垂直平分AB，所以ADCBDC90，ADDB.在RtADC中，因為DFAC，所以AD2AFAC.同理BD2BGBE.所以AFACBGBE.1證明相似三角形的一般思路(1)先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等；(2)若只有一個角對應(yīng)相等，再判定這個角的兩鄰邊是否對應(yīng)成比例；(3)若無角對應(yīng)相等，就

12、要證明三邊對應(yīng)成比例2注意射影定理的其他變式考點三圓中有關(guān)定理及推論的應(yīng)用|(1)(高考湖北卷)如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，且BC3PB，則eq f(AB,AC)_.解析因為PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，由切割線定理，知PA2PBPCPB(PBBC)因為BC3PB，所以PA24PB2，即PA2PB.由PABPCA，所以eq f(AB,AC)eq f(PB,PA)eq f(1,2).答案eq f(1,2)(2)(高考全國卷)如圖，AB是O的直徑，AC是O的切線，BC交O于點E.若D為AC的中點，證明：DE是O的切線；若OAeq r(3)CE，求ACB的大小解證

13、明：如圖，連接AE，由已知得，AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE.連接OE，則OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，DE是O的切線設(shè)CE1，AEx，由已知得AB2eq r(3)，BEeq r(12x2).由射影定理可得，AE2CEBE，所以x2eq r(12x2)，即x4x2120.可得xeq r(3)，所以ACB60.(1)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端作圓周角或弦切角(2)與圓有關(guān)的比例線段解題思路：見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理見到圓的兩條割線就要想到割線定

14、理見到圓的切線和割線就要想到切割線定理 1(高考重慶卷)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點E，過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，則BE_.解析：由切割線定理，知PA2PCPD，即623PD，解得PD12，所以CDPDPC9，所以CE6，ED3.由相交弦定理，知AEBECEED，即9BE63，解得BE2.答案：22如圖所示，已知D為ABC的BC邊上一點，O1經(jīng)過點B，D，交AB于另一點E，O2經(jīng)過點C，D，交AC于另一點F，O1與O2的另一交點為G.(1)求證：A、E、G、F四點共圓；(2)若AG切O2于G，求證：AEFACG.證明：(1)如圖，連接

15、GD，四邊形BDGE，CDGF分別內(nèi)接于O1，O2，AEGBDG，AFGCDG，又BDGCDG180，AEGAFG180，A、E、G、F四點共圓(2)A、E、G、F四點共圓，AEFAGF，AG與O2相切于點G，AGFACG，AEFACG.32.四點共圓的證明方法【典例】如圖，AB是O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F.(1)求證：BEDEACCECE2；(2)若D是BE的中點，證明E，F(xiàn)，C，B四點共圓思路點撥(1)利用割線定理易證；(2)本題已知AB是O的直徑，可得到線段相等，利用四個點到一定點的距離相等證明四點共圓解(1)證明：由割線定理得EAECDEBE，

16、所以BEDEACCEEACEACCECE2，所以BEDEACCECE2.(2)連接CB，CD，F(xiàn)D.因為AB是O的直徑，所以ECB90，所以CDeq f(1,2)EB.因為EFBF，所以FDeq f(1,2)BE.所以E，F(xiàn)，C，B四點到點D的距離相等所以E，F(xiàn)，C，B四點共圓方法點評四點共圓的證明方法：(1)若四個點到一定點的距離相等，則這四個點共圓(2)若一個四邊形的一組對角的和等于180，則這個四邊形的四個頂點共圓(3)若一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形的四個頂點共圓(4)若兩個點在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個點和這條線段的兩個端點共圓

17、(5)若AB，CD兩線段相交于點P，且PAPBPCPD，則A，B，C，D四點共圓(6)若AB，CD兩線段延長后相交于點P，且PAPBPCPD，則A，B，C，D四點共圓(7)若四邊形兩組對邊乘積的和等于對角線的乘積，則四邊形的四個頂點共圓跟蹤練習(xí)如圖，點F是ABC外接圓上eq xto(BC)的中點，點D，E在邊AC上，使得ADAB，BEEC.證明：B，E，D，F(xiàn)四點共圓證明：如圖，連接FC，F(xiàn)B，則FCFB.連接EF，則CEFBEF，所以BFECFE.因為A，B，F(xiàn)，C共圓，所以CABCFB180，所以CAB2BFE180.連接BD，因為ABAD，所以ABDADB，所以CAB2ADB180.所以

18、ADBBFE.所以B，E，D，F(xiàn)四點共圓A組考點能力演練1.(大連模擬)如圖，已知D為ABC中AC邊的中點，AEBC，ED交AB于G，交BC延長線于F，若BGGA31，BC8，求AE的長解：因為AEBC，D為AC的中點，所以AECF，eq f(AE,BF)eq f(AG,BG)eq f(1,3).設(shè)AEx，又BC8，所以eq f(x,x8)eq f(1,3)，3xx8，所以x4.所以AE4.2.(洛陽模擬)如圖，AB為圓O的直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為E，弦BM與CD交于點F.(1)證明：A，E，F(xiàn)，M四點共圓；(2)證明：AC2BFBMAB2.證明：(1)連接AM(圖略)，則AMB

19、90.ABCD，AEF90.AMBAEF180，即A，E，F(xiàn)，M四點共圓(2)連接AC，CB(圖略)由A，E，F(xiàn)，M四點共圓，得BFBMBEBA.在RtACB中，BC2BEBA，AC2CB2AB2，AC2BFBMAB2.3.已知：如圖，在ABC中，ABAC，BAC90，D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，AEeq f(1,3)AC，BDeq f(1,3)AB，且CFeq f(1,3)BC.求證：(1)EFBC；(2)ADEEBC.證明：設(shè)ABAC3a，則AEBDa，CFeq r(2)a.(1)eq f(CE,CB)eq f(2a,3r(2)a)eq f(r(2),3)，eq f(CF,CA)e

20、q f(r(2)a,3a)eq f(r(2),3).又C為公共角，故BACEFC，由BAC90得EFC90，故EFBC.(2)由(1)得EFeq f(FC,AC)ABeq r(2)a，故eq f(AE,EF)eq f(a,r(2)a)eq f(r(2),2)，eq f(AD,BF)eq f(2a,2r(2)a)eq f(r(2),2)，eq f(AE,EF)eq f(AD,BF)，ADEFBE，所以ADEEBC.4.(蘭州雙基)如圖，在正ABC中，點D，E分別在BC，AC上，且BDeq f(1,3)BC，CEeq f(1,3)CA，AD，BE相交于點P.求證：(1)四點P，D，C，E共圓；(2

21、)APCP.證明：(1)在正ABC中，由BDeq f(1,3)BC，CEeq f(1,3)CA，知：ABDBCE，ADBBEC，即ADCBEC，四點P，D，C，E共圓(2)連接DE(圖略)，在CDE中，CD2CE，ACD60，由正弦定理知CED90，由四點P，D，C，E共圓知，DPCDEC，APCP.5.如圖，設(shè)AB為O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是O與l的公共點，ACl，BDl，垂足分別為C，D，且PCPD.(1)求證：l是O的切線；(2)若O的半徑OA5，AC4，求CD的長解：(1)證明：連接OP，ACl，BDl，ACBD.又OAOB，PCPD，OPBD，從而OPl.點P在O上，l是O

22、的切線(2)由(1)可知OPeq f(1,2)(ACBD)，BD2OPAC1046.過點A作AEBD，垂足為E，則BEBDAC642.在RtABE中，AEeq r(AB2BE2)eq r(10222)4eq r(6).CD4eq r(6).B組高考題型專練1(2014高考新課標全國卷)如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CBCE.(1)證明：DE；(2)設(shè)AD不是O的直徑，AD的中點為M，且MBMC，證明：ADE為等邊三角形證明：(1)由題設(shè)知A，B，C，D四點共圓，所以DCBE.由已知得CBEE，故DE.(2)如圖，設(shè)BC的中點為N，連接MN，則由MB

23、MC知MNBC，故O在直線MN上又AD不是O的直徑，M為AD的中點，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.由(1)知，DE，所以ADE為等邊三角形2.(高考湖南卷)如圖，在O中，相交于點E的兩弦AB，CD的中點分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點F.證明：(1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO.證明：(1)如圖所示因為M，N分別是弦AB，CD的中點，所以O(shè)MAB，ONCD，即OME90，ENO90，因此OMEENO180.又四邊形的內(nèi)角和等于360，故MENNOM180.(2)由(1)知，O，M，E，N四點共圓，故由割線定理即得FEFNFMFO.3(高考陜西卷)如圖，AB切O于點B，直線AO