概率論自測題

1、PAGE PAGE 34 第一章 自測題一、填空題（每小題2分，共計10分）1.概率是刻劃_ _的指標.2.實際推斷原理的內容是 . 3.設分別代表甲，乙，丙命中目標，則表示 .4.將紅、黃、藍3個球隨機的放入4個盒子中，若每個盒子的容球數不限，則有三個盒子各放一個球的概率是 .5.設為隨機事件，已知，則 ； .二、是非題（每小題2分，共計20分）1.（ ）從一批產品中隨機抽取100件，發(fā)現5件次品，則該批產品的次品率為5%.2.（ ）若事件為對立事件，則與互斥，反之不真.3.（ ）對于事件，若，則與互斥.4.（ ）在古典概型的隨機試驗中，當且僅當是不可能事件.5.（ ）若且，則.6.（ ）設

2、與是兩個概率不為零的互不相容事件，則.7.（ ）對于事件，若，則. 8.（ ）設隨機事件相互獨立，則A與相互獨立.9.（ ）設且，則.三、選擇題（每小題2分，共計10分）1.某學生參加兩門外語考試，設事件=第門外語考試通過 (=1,2)，則事件兩門外語考試至少有一門沒通過可以表示為( ). (A) ； （B）； （C）； （D）2.設事件滿足關系式，則關系式的意義是( ).（A）當A發(fā)生時，B或C至少有一個不發(fā)生； （B）當A發(fā)生時，B和C必定都不發(fā)生；（C）當B和C都不發(fā)生時，A必定發(fā)生； （D）當B或C至少有一個不發(fā)生時，A必定發(fā)生.3.設事件滿足，則（ ）.（A）；（B）；（C）；（D）

3、.4.設，且，則（ ）.（A）A、B互斥； （B）A、B獨立； （C）A、B不獨立； （D）A與B互逆.5.設是三個相互獨立的事件，且，則下列四對事件中，不獨立的是（ ）.（A）與；（B）與；（C）與；（D）與.四、計算1. （10分）設事件滿足，求.2. （5分）已知事件滿足，且，求.3. （5分）10個運動隊平均分成兩組預賽，計算最強的兩個隊被分在同一組內的概率.4. （10分）某醫(yī)院用某種新藥醫(yī)治流感，對病人進行試驗，其中的病人服此藥，的病人不服此藥，五天后有70%的病人痊愈.已知不服藥的病人五天后有10%可以自愈.（1）求該藥的治愈率；（2）若某病人五天后痊愈，求他是服此藥而痊愈的概率

4、.5. （10分）甲袋中有兩個白球，四個黑球，乙袋中有四個白球，兩個黑球.現在擲一均勻硬幣，若得正面就從甲袋中連續(xù)摸n次球（取后放回），若得反面就從乙袋中摸n次.若已知摸到的n個球全是白球.求這些球是從甲袋中取出的概率. 6. （10分）12個乒乓球中3個舊的，9個新的.第一次比賽時取出三個用完后放回，第二次比賽時又取出三個.求第二次取出的三個中有兩個新球的概率.五、（10分）幾何概型的樣本空間S與隨機事件如圖所示，試證相互獨立. 第一章 自測題參考答案一、填空題（每小題2分，共計10分）1.概率是刻劃 一次試驗隨機事件發(fā)生的可能性很小 _的指標.2.實際推斷原理的內容是 一次試驗小概率事件一

5、般不會發(fā)生 . 3.設分別代表甲，乙，丙命中目標，則表示 甲、乙、丙至少一人沒命中目標 .4.將紅、黃、藍3個球隨機的放入4個盒子中，若每個盒子的容球數不限，則有三個盒子各放一個球的概率是.5.設為隨機事件，已知，則 0.4 ； 0.1 . 二、是非題（每小題2分，共計20分）1.（ ）從一批產品中隨機抽取100件，發(fā)現5件次品，則該批產品的次品率為5%.2.（ ）若事件為對立事件，則與互斥，反之不真.3.（ ）對于事件，若，則與互斥.4.（ ）在古典概型的隨機試驗中，當且僅當是不可能事件.5.（ ）若且，則.6.（ ）設與是兩個概率不為零的互不相容事件，則.7.（ ）對于事件，若，則. 8.

6、（ ）設隨機事件相互獨立，則A與相互獨立.9.（ ）設且，則.三、選擇題（每小題2分，共計10分）1.某學生參加兩門外語考試，設事件=第門外語考試通過 (=1,2)，則事件兩門外語考試至少有一門沒通過可以表示為( D ). (A) ； （B）； （C）； （D）2.設事件滿足關系式，則關系式的意義是( A ).（A）當A發(fā)生時，B或C至少有一個不發(fā)生； （B）當A發(fā)生時，B和C必定都不發(fā)生；（C）當B和C都不發(fā)生時，A必定發(fā)生； （D）當B或C至少有一個不發(fā)生時，A必定發(fā)生.3.設事件滿足，則（ D ）.（A）；（B）；（C）；（D）.4.設，且，則（ B ）.（A）A、B互斥； （B）A、B

7、獨立； （C）A、B不獨立； （D）A與B互逆.5.設是三個相互獨立的事件，且，則下列四對事件中，不獨立的是（ B ）.（A）與；（B）與；（C）與；（D）與.四、計算1. （10分）設事件滿足，求.解 ，.， .(另法:通過 也可計算. )2. （5分）已知事件滿足，且，求.解 .3. （5分）10個運動隊平均分成兩組預賽，計算最強的兩個隊被分在同一組內的概率.解 (分成的兩組是可區(qū)分的, 如A組和B組).4. （10分）某醫(yī)院用某種新藥醫(yī)治流感，對病人進行試驗，其中的病人服此藥，的病人不服此藥，五天后有70%的病人痊愈.已知不服藥的病人五天后有10%可以自愈.（1）求該藥的治愈率；（2）若

8、某病人五天后痊愈，求他是服此藥而痊愈的概率.解 （1）設 （服藥），（痊愈）. ， .（2）.5. （10分）甲袋中有兩個白球，四個黑球，乙袋中有四個白球，兩個黑球.現在擲一均勻硬幣，若得正面就從甲袋中連續(xù)摸n次球（取后放回），若得反面就從乙袋中摸n次.若已知摸到的n個球全是白球.求這些球是從甲袋中取出的概率. 解 設（硬幣擲得正面）=（甲袋中連續(xù)摸n次球），（摸到的n個球全是白球）. .6. （10分）12個乒乓球中3個舊的，9個新的.第一次比賽時取出三個用完后放回，第二次比賽時又取出三個.求第二次取出的三個中有兩個新球的概率.解 設（第一次取出個新球） ,(第二次取出的三個中有兩個新球).

9、(本題設（第一次取出個舊球） 也可以.)五、（10分）幾何概型的樣本空間S與隨機事件如圖所示，試證相互獨立. 證明 只要證(本題利用獨立性的定義式也可證明). ，所以相互獨立. 第二章自測題（每題10分）（時間60分鐘）1、設隨機變量的分布函數為 試求下列概率：； ； ； ； 2、假設在一次考試中，5名男同學與5名女同學的成績各不相同現將這10名同學的成績按大小進行排列，令表示女同學得到的最高名次，試求的分布律3、在一次試驗中，設事件發(fā)生的概率為，現將此試驗獨立、重復地進行下去，直至與都發(fā)生為止設表示所需要的試驗次數，試求的分布律4、問常數取什么值時，數列是離散型隨機變量的分布律？5、一個人在

10、一年中患感冒的次數服從參數為的Poisson分布現有一種預防感冒的新藥，它對于22%的人來講，可將上面的參數降為（稱為療效顯著）；對37%的人來講，可將上面的參數降為（稱為療效一般）；而對于其余的人來講則是無效的現有一人服用此藥一年，在這一年中，他患了2次感冒，求此藥對他是“療效顯著”概率有多大？6、設連續(xù)型隨機變量的密度函數為試求：常數；的分布函數；7、設電子元件的電阻（單位：）服從正態(tài)分布，現檢查15個同類型的電子元件，求這15個元件中至少有兩個元件的電阻大于55的概率是多少？8、設連續(xù)隨機變量的分布函數為（1）、求系數a、b；（2）、P(-20.3)=9、10、以 表示一周內機器發(fā)生故障

11、天數，且 ，則以 表示所獲利潤，則第三章 多維隨機變量及其分布 自測題(90分鐘)單項選擇題（每題3分，共15分）1設則 （ ）（A） （B） （C） （D）Y不一定服從正態(tài)分布2設相互獨立，都服從區(qū)間0,1上的均勻分布，則服從區(qū)間或區(qū)域上的均勻分布的是（ ）（A） （B） （C） （D）3設隨機變量X和Y, 已知（ ）（A） （B） （C） （D）4設相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布，則（ ）（A） （B） （C） （D）5設兩個隨機變量相互獨立，且，則下列各式中正確的是（ ） （A） （B） （C） （D）填空題（每空3分，共24分）1設的聯合分布律如下，且事件X=0與X+Y=1相互獨立，則

12、a= , b= . XY0100.4b1a0.12設相互獨立，表中列出的聯合分布律和關于X和Y的邊緣分布律的部分數值， XY012則 則 。 01/811/8pi.1/63設相互獨立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，則 。4設隨機變量X和Y相互獨立都服從b(2,p)，且，則 。5已知的概率密度為，則 ， 。計算題（共61分）1（10分）設隨機變量與相互獨立，且服從同一分布的分布律為 又設，求出二維隨機變量的聯合分布律及關于隨機變量、的邊緣分布律。2（27分）設二維隨機變量的聯合概率密度函數為 ，求 常數k； 關于隨機變量、的邊緣概率密度，并判斷是否相互獨立； (3) 條件概率密度; (4) ；

13、 (5) ； (6) 隨機變量Z=2X-Y的概率密度。3（6分）設隨機變量相互獨立，其中X的分布律為PX=1=0.3，PX=2=0.7，而Y是連續(xù)型隨機變量，其分布函數為F(y)，求隨機變量Z=X+Y的分布函數FZ(z)。4（18分）一旅客到達汽車站的時間X均勻分布在早上7:55至8點，而汽車在這段時間開出的時刻為Y，且Y具有概率密度求乘客能乘上汽車的概率；（2）求ZXY的概率密度。第三章 多維隨機變量及其分布自測題 參考答案單項選擇題1D， 2A， 3C， 4. D，5. B二、填空1. 0.4 , 0.1 。2 7/24 , 2/3 。31/9 。432/81 。5, 1/2 。三、計算題

14、1解：二維隨機變量的聯合分布律及、Y的邊緣分布律為 YX2解 (1)(2)當時，所以當時，所以因為當，時，所以不相互獨立。 (3) 當0 x0)，Y在區(qū)間上服從均勻分布，如果D(X-Y)=2，則X與Y的相關系數XY= 。3二維隨機變量(X, Y)服從正態(tài)分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X與Y的相關系數XY=-1/2，則當a= 時，aX+Y與Y相互獨立。4設XN(0, 4)，Y服從指數分布，其概率密度為 如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，則a= ，X與Z的相關系數XZ= 。5設隨機變量X在區(qū)間-1, 2上服從均勻分布，隨機

15、變量 則D(Y)= 。6設隨機變量X服從參數為2的泊松分布，用切比雪夫不等式估計PX-24 。 基本計算題 (共54分)1(10分) 設, 是相互獨立且服從同一分布的隨機變量，已知的分布律為 P=i=1/3，i=1, 2, 3 又設X=max(, )，Y=min(, )，求 (1) 隨機變量X的數學期望E(X)，(2) X與Y的相關系數XY。 2(8分) 設隨機變量X, Y的相關系數XY=0.6，且X與Y的分布律分別為：X0 1P0.5 0.5Y-1 1P0.5 0.5 試求X與Y的聯合分布律。 3(8分) 設(X, Y)的概率密度為 判別X與Y是否相互獨立？是否相關？(2) 求 D(X+Y)

16、。 4(10分)設(X, Y)的聯合概率密度為 求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，XY。 5(8分) 設隨機變量X1, X2, , Xn相互獨立，且都服從數學期望為1的指數分布，求Z=min X1, X2, , Xn的數學期望與方差。 6(10分) 某系某班共有n名新生，班長從系里領來他們所有的學生證，隨機地發(fā)給每一同學，求恰好拿到自己的學生證的人數X的數學期望與方差。 四、綜合題 (共18分)1(8分) 設某種商品每周需求量X是服從區(qū)間10, 30上均勻分布的隨機變量，而經銷商店進貨數量為區(qū)間10, 30中的某一整數，商店每銷售一單位商品可獲利500元，若供大于求則削價處理，每處理

17、一單位商品虧損100元，若供不應求，則可從外部調劑供應，此時每單位商品僅獲利300元，求最優(yōu)進貨量。 2(10分) 設X1, X2, , Xn(n2)為獨立同分布的隨機變量，且均服從N(0, 1)，記 ， Yi=Xi-，i=1, 2, , n求 (1) Yi的方差D(Yi)，i=1, 2, , n； (2) Y1與Yn的協方差Cov(Y1, Yn)； (3) PY1+Yn0。 第四章 自測題參考答案與提示時間：120分鐘單項選擇題 (每題2分，共10分)1隨機變量X, Y和X+Y的方差滿足D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X與Y (A) 不相關的充分條件，但不是必要條件；(B) 不相關的必要條

18、件，但不是充分條件；(C) 獨立的必要條件，但不是充分條件；(D) 獨立的充分必要條件。 ( C )2若方差D(X), D(Y)為非零數，且E(XY)=E(X)E(Y)，則有 (A) X與Y一定相互獨立； (B) X與Y一定不相關；(C) D(XY)=D(X)D(Y)； (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。 ( B )3設隨機變量X與Y獨立同分布，記U=X+Y，V=X-Y，則隨機變量U和V必然 (A) 不獨立；(B) 相互獨立；(C) 不相關；(D) 無法判斷。 ( C )4若隨機變量X與Y不相關，則與之等價的條件是 (A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y

19、)；(C) D(XY)D(X)D(Y)；(D) D(X+Y)D(X-Y)。( B )5現有10張獎券，其中8張為2元，2張為5元，某人從中隨機地無放回地抽取3張，則此人所得獎金的數學期望為(A) 6元； (B) 12元； (C) 7.8元； (D) 9元。 ( C )填空題 (每題3分，共18分)1設D(X)=4，D(Y)=9，XY=0.6，則D(3X-2Y)= 28.8 。2已知隨機變量XN(0, 2)(0)，Y在區(qū)間上服從均勻分布，如果D(X-Y)=2，則X與Y的相關系數XY= 1/4 。3二維隨機變量(X, Y)服從正態(tài)分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X與Y的相關

20、系數XY=-1/2，則當a= 2 時，aX+Y與Y相互獨立。4設XN(0, 4)，Y服從指數分布，其概率密度為 如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，則a= -1 ，X與Z的相關系數XZ=。5設隨機變量X在區(qū)間-1, 2上服從均勻分布，隨機變量 則D(Y)= 8/9 。6設隨機變量X服從參數為2的泊松分布，用切比雪夫不等式估計PX-24 1/8 。 基本計算題 (共54分)1(10分) 設, 是相互獨立且服從同一分布的隨機變量，已知的分布律為 P=i=1/3，i=1, 2, 3 又設X=max(, )，Y=min(, )，求 (1) 隨機變量X的數

21、學期望E(X)，(2) X與Y的相關系數XY。 答：E(X)=22/9，XY=8/19。提示：X與Y的聯合分布律為：YX1 2 3PX=i1231/9 0 02/9 1/9 02/9 2/9 1/91/93/95/9PY=j5/9 3/9 1/912(8分) 設隨機變量X, Y的相關系數XY=0.6，且X與Y的分布律分別為：X0 1P0.5 0.5Y-1 1P0.5 0.5 試求X與Y的聯合分布律。 答：YX-1 1010.10.1 0.4提示：由邊緣分布及相關系數確定聯合分布，設X與Y的聯合分布律為YX-1 1PX=i01a bc d0.50.5PY=j0.5 0.51 3(8分) 設(X,

22、 Y)的概率密度為 判別X與Y是否相互獨立？是否相關？(2) 求 D(X+Y)。 答：(1) 不獨立，相關。(2) D(X+Y)=5/36。解 ，同理在0 x1, 0y2)為獨立同分布的隨機變量，且均服從N(0, 1)，記 ， Yi=Xi-，i=1, 2, , n求 (1) Yi的方差D(Yi)，i=1, 2, , n； (2) Y1與Yn的協方差Cov(Y1, Yn)； (3) PY1+Yn0。 答：D(Yi)=(n-1)/n，Cov(Y1, Yn)=-1/n，PY1+Yn0=1/2。提示：Cov(Y1, Yn)=E(Y1Yn)-E(Y1)E(Yn)=E（(X1-)(Xn-)）。第五章 自測

23、題時間：90分鐘單項選擇題 (每題5分，共10分)1設X1, X2, , Xn，相互獨立，且都服從參數為(0)的泊松分布,則下列選項正確的是( ) (A)；(B) 當n充分大時, 近似服從標準正態(tài)分布；(C) 當n充分大時, 近似服從正態(tài)分布N(n, n)；(D) 當n充分大時,。 2. 設X1, X2, , Xn，是獨立同分布的隨機變量序列，其分布函數為則辛欽大數定律對此序列( )(A) 適用; (B)當常數a,b取適當的數時適用; (C) 不適用; (D)無法判定.填空題 (每題5分，共15分)1 設X1, X2, , Xn相互獨立且都服從參數=2的指數分布,則當時,依概率收斂于( ).2

24、設隨機變量序列Xn相互獨立且都在-1,1上服從均勻分布,則( ) 3在天平上重復稱量一重為的物品，假設各次稱量結果互相獨立同服從正態(tài)分布。若以表示次稱量結果的算術平均值，則為使 的最小值應不小于自然數（ ）. 三、計算題 (共45分)(15分)一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設每箱平均重50千克，標準差為5千克，若用載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱才能保障不超載的概率大于0.977.其中是標準正態(tài)分布函數）。 (15分)某保險公司經多年的資料統(tǒng)計表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20%，在隨意抽查的100家索賠戶中被盜的索賠戶數為隨機變量。（1）

25、寫出的概率分布；（2）利用棣莫佛拉普拉斯定理，求被盜的索賠戶數不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值。 附表： (15分) 每顆炮彈命中飛機的概率為0.01, 求500發(fā)炮彈至少命中7發(fā)的概率. 證明題 (共30分)(10分)設X1, X2, , Xn，是獨立同分布的隨機變量序列，且證明:2. (20分)設X1, X2, , Xn，是獨立同分布的隨機變量序列，已知記,試證明: 當n充分大時, 近似服從正態(tài)分布,并給出其分布參數.參考答案選擇題 (C) (C)填空題1. 8; 2. ; 3. .計算題.1 解：設是裝運的第i箱的重量（單位：千克），可以將視為獨立同分布隨機變量，而n箱的總重量

26、是獨立同分布隨機變量之和。 由條件知 根據列維-林德伯格中心極限定理，近似服從N(50n,25n)分布，則每車的裝箱數n決定于條件： 由此可見，從而n0, 有證明題2 證明 因為X1, X2, , Xn，獨立同分布,所以也獨立同分布,由得, ,由獨立同分布中心極限定理, 當n充分大時有則 . 證畢.(另一思路)由獨立同分布中心極限定理, 對任意,當n充分大時有因此, 當n充分大時有. 證畢.第六章 自測題時間：120分鐘單項選擇題 (每題5分，共25分)1. 設總體, 其中已知,未知, X1, X2, , Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，則下列表達式中不是統(tǒng)計量的是( )(A) (B) (C)

27、 (D) 2. 設隨機變量X和Y都服從標準正態(tài)分布，則 ( ) (A) X+Y服從正態(tài)分布；(B) X2+Y2服從2分布；(C) X2和Y2都服從2分布；(D) X2/Y2服從F分布。設二維隨機變量(X, Y)服從二維正態(tài)分布N(1, 2, 12, 22, ) (0)，則( )(A) 2X+Y服從正態(tài)分布；(B) X2+Y2服從2分布；(C) X-Y不服從正態(tài)分布；(D) X2/Y2服從F分布.4設X1, X2, , X10是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，,則下列選項正確的是( ) (A)； (B) (C) (D) 5. 設總體X和Y相互獨立且都服從正態(tài)分布,分別是來自總體X和Y容量為n的樣本均

28、值, 則當n固定時, 概率的值隨著的增大而( )(A)單調增大; (B) 單調減小; (C)保持不變; (D) 增減不定.填空題 (每題5分，共15分)設隨機變量是取自X的樣本,為樣本均值, 已知，則a ,b的值為( ).2. 設總體X服從正態(tài)分布,而是來自總體的簡單隨機樣本，則隨機變量 服從（ ）分布，參數為（ ）.3. 設隨機變量X服從t(n), 則 服從的分布為( ). 三、計算題 (共60分)設容量為n的簡單隨機樣本取自總體N ( 3.4, 36 ),且樣本均值在區(qū)間(1.4,5.4)內的概率不小于0.95,問樣本容量n至少應取多大？2. 設X1, X2, , Xn是來自正態(tài)總體的簡單

29、隨機樣本， 試求 3設X1, X2, , X16是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，為樣本均值和樣本標準差，若試求參數a .（）設總體X服從正態(tài)分布，從中抽取簡單隨機樣本，（），其樣本均值為，求統(tǒng)計量的數學期望E(Y). 參考答案1.單項選擇題 (1) C (2)C (3)A (4) C (5) C選擇題4解析: 由此可知當n固定時,與無關. 故選擇C. 事實上與無關.2. 填空題: (1) a=5 , b=-5或者a=-5 , b=5.(2) F; (10,5).填空題2解析: 且顯然此二者相互獨立，則： (3) F(n,1).填空3解析: 由X服從t(n), 故存在使得, 則.3.計算題計算題1

30、解析：設是取自總體的簡單隨機樣本，則： 又由于： 則：，查表得, 即知n至少應取35.計算題2解析：總體故且相互獨立，故，則所以計算題3解析: , 相互獨立, 則由t分布的定義知,故則4a為t(15)的上0.95分位點, 即計算題4解析: 第七、八章 自測題 時間：90分鐘單項選擇題 (每題3分，共12分)1設總體XN (1, 2)，總體YN (2, 2)，X1, X2, , Xm和Y1, Y2, , Yn分別是來自總體X和總體Y的樣本，樣本方差分別為和，則 2的無偏估計量是( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 2設總體X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 其中(064，顯著性水平=0.05，利用統(tǒng)計量 求H0拒絕域為 。6設總體XN (, 2)，原假設H0：=0，若拒絕域為(t(n-1),+)，則備擇假設H1： ； 若拒絕域為（，t/2(n-1)）(t/2(n-1),+)，則備擇假設H1： 。 基本計算題 (共60分)1(10分) 設總體X 的概率密度為其中0為未知參數，從總體中抽取樣本X1, X2, , Xn，其觀察值為 x1, x2, , xn，求參數 的最大似然估計量； (2) 討論是否具