2022年新教材高中數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1第1課時變化率問題導(dǎo)數(shù)的概念課件人教A版選擇性必修第二冊

1、內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí) 新知導(dǎo)學(xué)合作探究 釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解物理學(xué)和幾何學(xué)中兩類變化率問題,領(lǐng)會其中由“平均變化率”逼近“瞬時變化率”的思想方法.2.理解函數(shù)平均變化率的含義,會求函數(shù)在某一點附近的平均變化率.3.理解導(dǎo)數(shù)(瞬時變化率)的概念,會用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù).4.通過對平均變化率及導(dǎo)數(shù)的定義的理解與運用,提高運算求解、直觀想象與抽象概括的素養(yǎng).自主預(yù)習(xí) 新知導(dǎo)學(xué)一、平均速度與瞬時速度【問題思考】2.填空:(1)平均速度(2)瞬時速度我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.3.做一做:如果質(zhì)點A沿直線運動,位移s(單位:m)與時間t(單位:s)之間

2、的關(guān)系為s(t)=3t2,那么質(zhì)點A在t0=3時的瞬時速度為()A.6B.18C.54D.81解析:s(t)=3t2,t0=3,s(t0+t)-s(t0)=3(3+t)2-332=18t+3(t)2.答案:B 二、函數(shù)y=f(x)從x0到x0+x的平均變化率【問題思考】1.假設(shè)下圖是一座山的剖面圖,并建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A是出發(fā)點,H是山的頂點,爬山路線用函數(shù)y=f(x)表示.自變量x表示某游客的水平位置,函數(shù)值y=f(x)表示此時游客所在的高度,則點A的坐標(biāo)為(x1,y1),點B的坐標(biāo)為(x2,y2).(1)該游客從點A爬到點B,自變量x和函數(shù)值y的變化量分別是多少?提示:自變量

3、x的變化量為x2-x1,記作x;函數(shù)值的變化量為y2-y1,記作y.(2)由y的變化量的大小能否判斷山路的陡峭程度?提示:不能.山路的陡峭程度也與自變量x的變化量有關(guān).(3)怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度?2.填空:對于函數(shù)y=f(x),設(shè)自變量x從x0變化到x0+x,相應(yīng)地,函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0+x).這時,x的變化量為 x ,y的變化量為 y=f(x0+x)-f(x0) .(2)實質(zhì):函數(shù)值的變化量與自變量變化量的比值;(3)作用:刻畫函數(shù)值在區(qū)間x0,x0+x上變化的快慢.3.填空:函數(shù)平均變化率的幾何意義:4.想一想:平均變化率可以是零嗎?舉例說明.提示:可以為零,如

4、常數(shù)函數(shù)f(x)=a(a為常數(shù)).5.做一做:如圖,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間x1,x2,x2,x3,x3,x4上,平均變化率最大的一個區(qū)間是.解析:由平均變化率的定義可知,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間x1,x2,x2,x3,x3,x4上的平均變化率分別為 ,結(jié)合圖象可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=f(x)的平均變化率最大的一個區(qū)間是x3,x4.答案:x3,x4三、函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)【問題思考】1.(1)函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)是一個變量還是一個定值?提示:是一個定值,是函數(shù)在該點的函數(shù)值的變化量與自變量的變化量比值的極限,不是變量.(2)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)處處為0,是否說明函數(shù)y=f(x)為常數(shù)函數(shù)?提示:

5、是.3.做一做:已知f(x)=x2-3x,則f(0)=()A.x-3B.(x)2-3x C.-3D.0故選C.答案:C【思考辨析】 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號里畫“”,錯誤的畫“”.(2)若物體以10 m/s的速度勻速前進,則在t=10 s時的瞬時速度也是10 m/s. ( )(3)函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)與x0和x都有關(guān).( )(4)f(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率.( )合作探究 釋疑解惑探究一瞬時速度【例1】 以初速度v0(v00)垂直上拋的物體,t s時的高度為s(t)=v0t- gt2,求物體在t0時刻的瞬時速度.若把例題中的“v0”改為“v0

6、=20”,求物體在t=3 s時的瞬時速度.故物體在t=3 s時的瞬時速度為20-3g.反思感悟 求運動物體瞬時速度的三個步驟:第一步,求時間變化量t和位置變化量s=s(t0+t)-s(t0);第二步,求平均速度;第三步,求瞬時速度,當(dāng)t無限趨近于0時, 無限趨近于常數(shù)v,即為瞬時速度.求:(1)物體在3t5這段時間內(nèi)的平均速度;(2)物體的初速度v0;(3)物體在t=1時的瞬時速度.【變式訓(xùn)練1】 若一物體運動的位移s(單位:m)與時間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系是s=解:(1)因為物體在3t5這段時間內(nèi)的時間變化量為t=5-3=2,物體在3t5這段時間內(nèi)的位移變化量為s=352+2-(332

7、+2)=3(52-32)=48,(2)求物體的初速度v0,即求物體在t=0時的瞬時速度.因為物體在t=0附近的平均速度為即物體的初速度v0為-18 m/s. (3)物體在t=1時的瞬時速度即為函數(shù)在t=1處的瞬時變化率.因為物體在t=1附近的平均速度為探究二平均變化率【例2】 分別求函數(shù)f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均變化率,取x都為 ,判斷函數(shù)在哪一點附近的平均變化率最大.解:f(x)在x=1附近的平均變化率為 反思感悟 求函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率的三個步驟:(1)求自變量的變化量:x=x2-x1;(2)求函數(shù)值的變化量:y=f(x2)-f(x1);(3)作商求函數(shù)的

8、平均變化率:探究三函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)【例3】 已知函數(shù)y=f(x)=x2+3.求:(1)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù);(2)f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù).反思感悟 利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)的三個步驟:(1)求函數(shù)的變化量y=f(x0+x)-f(x0);簡記為:一差,二比,三趨近. 【變式訓(xùn)練3】 求函數(shù)y=f(x)=3x2+ax+b在x=1處的導(dǎo)數(shù).解:y=f(1+x)-f(1)=3(1+x)2+a(1+x)+b-(3+a+b)=3(x)2+(6+a)x,f(1)=6+a. 【易錯辨析】 對導(dǎo)數(shù)的概念理解不清而致錯以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:平均變化率 中的

9、y是在自變量x的變化量為x時的變化量,它們是相對應(yīng)的,若不一致,則會導(dǎo)致出錯,如本例中自變量的變化量是(x0+2x)-x0=2x.答案:C防范措施 1.整體意識,即注意分子與分母的整體形式,注意整體調(diào)配.2.注意培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).A.-2B.2C.-4D.4 答案:D 隨堂練習(xí)1.已知函數(shù)y=f(x)=x2+1,則在x=2,x=0.1時,y的值為()A.0.42B.0.41C.0.43D.0.44解析:y=f(2.1)-f(2)=0.41.故選B.答案:B2.函數(shù)f(x)=x2-1從x0到x0+x的平均變化率為()A.2x0-1B.2x0+xC.2x0 x+(x)2D.(x)2-x+1答案:B 3