概率第一章課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 10/5/20221概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門學(xué)科。2第一章 概率論的基本概念 1.1 隨機(jī)試驗(yàn) 1.2 隨機(jī)事件的概率 1.3 條件概率與事件的獨(dú)立性 1.4 全概率公式和貝葉斯公式第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.1 隨機(jī)變量 2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布 2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布 2.5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 3.1 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布 3.2 邊緣分布 3.3 二維變量的條件分布 3.4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 3.5 二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 3第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1 數(shù)學(xué)期望

2、4.2 方差4.3 幾種常用分布的期望、方差4.4 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 矩第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 5.1 大數(shù)定律 5.2 中心極限定理 第六章 參數(shù)估計(jì) 6.1 總體與樣本 6.2 統(tǒng)計(jì)量 6.3 常用統(tǒng)計(jì)量的分布 6.4 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 6.5 區(qū)間估計(jì)4第七章 假設(shè)檢驗(yàn) 7.1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念 7.2 正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)第八章 方差分析及回歸分析簡(jiǎn)介 8.1 單因素方差分析 8.2 一元線性回歸5關(guān)鍵詞：樣本空間 隨機(jī)事件頻率和概率條件概率事件的獨(dú)立性第一章 概率論的基本概念71.1 隨機(jī)事件概率論的誕生及應(yīng)用 1654年,一個(gè)名叫梅累的騎士就“兩個(gè)賭徒約定賭若干局, 且誰(shuí)先

3、贏 c 局便算贏家, 若在一賭徒勝 a 局 ( ac ),另一賭徒勝b局(bm或L0時(shí)，記 ）例12：有N件產(chǎn)品，其中D件是次品，從中不放回的取n件， 記Ak恰有k件次品，求P(Ak) 解：52例13：將n個(gè)不同的球，投入N個(gè)不同的盒中(nN)，設(shè)每一球落入各盒的概率相同，且各盒可放的球數(shù)不限，記A 恰有n個(gè)盒子各有一球 ，求P(A) 解：n 1 2 N 1 2 N 1 2 N 1 2 N即當(dāng)n2時(shí)，共有N2個(gè)樣本點(diǎn)；一般地，n個(gè)球放入N個(gè)盒子中，總樣本點(diǎn)數(shù)為Nn，使A發(fā)生的樣本點(diǎn)數(shù) 可解析為一個(gè)64人的班上，至少有兩人在同一天過(guò)生日的概率為99.7%若取n64，N36553 例14：一單位有

4、5個(gè)員工，一星期共七天， 老板讓每位員工獨(dú)立地挑一天休息， 求不出現(xiàn)至少有2人在同一天休息的 概率。解：將5為員工看成5個(gè)不同的球， 7天看成7個(gè)不同的盒子， 記A= 無(wú)2人在同一天休息 ，則由上例知：54解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定，而各來(lái)訪者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來(lái) 訪者都是在周二、周四的概率為 212/712 =0.000 000 3.例15：某接待站在某一周曾接待12次來(lái)訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的? 人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的”(稱之為實(shí)際推斷原理)

5、。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來(lái)訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。551.3.1條件概率定義：由上面討論知，P(B|A)應(yīng)具有概率的所有性質(zhì)。 例如：1.3.2乘法公式當(dāng)下面的條件概率都有意義時(shí)：1.3 條件概率與事件的獨(dú)立性56 例1：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為70%，余下的30%的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有80%的產(chǎn)品可以出廠，20%的產(chǎn)品要報(bào)廢。求該廠產(chǎn)品的報(bào)廢率。AB與不相容利用乘法公式 解：設(shè) A=生產(chǎn)的產(chǎn)品要報(bào)廢 B=生產(chǎn)的產(chǎn)品要調(diào)試 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，57 例2：某行業(yè)進(jìn)行

6、專業(yè)勞動(dòng)技能考核，一個(gè)月安排一次，每人最多參加3次；某人第一次參加能通過(guò)的概率為60%；如果第一次未通過(guò)就去參加第二次，這時(shí)能通過(guò)的概率為80%；如果第二次再未通過(guò)，則去參加第三次，此時(shí)能通過(guò)的概率為90%。求這人能通過(guò)考核的概率。解： 設(shè) Ai= 這人第i次通過(guò)考核 ，i=1,2,3 A= 這人通過(guò)考核 ，亦可： 58 例3：從52張牌中任取2張，采用(1)放回抽樣，（2）不放 回抽樣，求恰是“一紅一黑”的概率。利用乘法公式與不相容（1）若為放回抽樣：（2）若為不放回抽樣： 解：設(shè) Ai=第i次取到紅牌，i=1,2 B=取2張恰是一紅一黑591.3.3 隨機(jī)事件的獨(dú)立性(一) 兩個(gè)事件的獨(dú)立

7、性由條件概率，知一般地，這意味著：事件B的發(fā)生對(duì)事件A發(fā)生的概率有影響.然而，在有些情形下又會(huì)出現(xiàn)：60則有1.引例612. 定義注. 1說(shuō)明 事件 A 與 B 相互獨(dú)立,是指事件 A 的發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無(wú)關(guān).622 獨(dú)立與互斥的關(guān)系這是兩個(gè)不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如二者之間沒(méi)有必然聯(lián)系獨(dú)立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關(guān)系11由此可見兩事件相互獨(dú)立但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥.63由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立.又如：兩事件相互獨(dú)立.兩事件互斥64可以證明： 特殊地，A與B 獨(dú)立 A與B 相容( 不互斥) 或A與B 互斥 A與B 不獨(dú)立證若A與B 獨(dú)立,

8、 則 即 A與B 不互斥(相容).65若A與B互斥，則 AB = B發(fā)生時(shí)，A一定不發(fā)生.這表明: B的發(fā)生會(huì)影響 A發(fā)生的可能性(造成A不發(fā)生), 即B的發(fā)生造成 A發(fā)生的概率為零. 所以A與B不獨(dú)立.理解:SBA663.性質(zhì)(1) 必然事件S 及不可能事件與任何事件A相互獨(dú)立.證 SA=A, P(S)=1 P(SA) = P(A)=1 P(A)= P(S) P(A)即 S與A獨(dú)立. A=, P()=0 P(A) = P()=0= P() P(A)即 與A獨(dú)立.67(2) 若事件A與B相互獨(dú)立, 則以下三對(duì)事件也相互獨(dú)立.證注 稱此為二事件的獨(dú)立性 關(guān)于逆運(yùn)算封閉.68又 A與B相互獨(dú)立69

9、70甲, 乙兩人同時(shí)向敵人炮擊,已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.6, 乙擊中敵機(jī)的概率為0.5, 求敵機(jī)被擊中的概率.解設(shè) A= 甲擊中敵機(jī) B= 乙擊中敵機(jī) C=敵機(jī)被擊中 依題設(shè),例471由于 甲，乙同時(shí)射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以 A與B獨(dú)立,進(jìn)而= 0.8721. 三事件兩兩相互獨(dú)立的概念(二) 多個(gè)事件的獨(dú)立性定義732. 三事件相互獨(dú)立的概念定義74 設(shè) A1，A2 ， ，An為n 個(gè)事件，若對(duì)于任意k(1kn), 及 1i 1 i 2 i kn 3. n 個(gè)事件的獨(dú)立性定義若事件 A1，A2 ， ，An 中任意兩個(gè)事件相互獨(dú)立，即對(duì)于一切 1 i0，i=1,2,n；

10、則稱：為全概率公式B1B2BnSA證明： 定理：接上定理?xiàng)l件， 稱此式為Bayes公式。83* 全概率公式可由以下框圖表示：設(shè) P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,n易知：SP1P2Pn.B2B1Bn.q2q1qnA84例1 盒中有5個(gè)白球3個(gè)黑球,連續(xù)不放回地從中取兩次球,每次取一個(gè),求第二次取球取到白球的概率.解 設(shè)A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,則由全概率公式得85例2：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為80%，若甲出差，則乙出差的概率為20%；若甲不出差，則乙出差的概率為90%。(1)求近期乙出差的概率；(2)若已知乙近期出差在外

11、，求甲出差的概率。Bayes公式全概率公式解：設(shè)A=甲出差，B=乙出差86例3 設(shè)在n(n1)張彩票中有1張獎(jiǎng)券,甲、乙兩人依次摸一張彩票,分別求甲、乙兩人摸到獎(jiǎng)券的概率.解 設(shè)A表示“甲摸到獎(jiǎng)券”,B表示“乙摸到獎(jiǎng)券”.現(xiàn)在目的是求P(A),P(B),顯然P(A)=1/n.因?yàn)锳是否發(fā)生直接關(guān)系到B的概率,即于是由全概率公式得 這個(gè)例題說(shuō)明,購(gòu)買彩票時(shí),不論先買后買,中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是均等的,這就是所謂的“抽簽公平性”. 87例4：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有5%的假陽(yáng)性及5%的假陰性：若設(shè)A=試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，C=被診斷患有癌癥 則有：已知某一群體P(C)=0.005，問(wèn)這種方法能否用

12、于普查？若P(C)較大，不妨設(shè)P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987說(shuō)明這種試驗(yàn)方法可在醫(yī)院用解：考察P(C|A)的值若用于普查，100個(gè)陽(yáng)性病人中被診斷患有癌癥的大約有8.7個(gè)，所以不宜用于普查。88例5 商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問(wèn)這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？解:設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的. B0, B1, B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1由Bayes公式:8

13、91.條件概率全概率公式貝葉斯公式小結(jié)乘法定理90總結(jié)：91復(fù)習(xí)思考題 11.“事件A不發(fā)生，則A=”,對(duì)嗎？試舉例證明之。2. “兩事件A和B為互不相容，即AB=,則A和B互逆”，對(duì)嗎？ 反之成立嗎？試舉例說(shuō)明之。4. 甲、乙兩人同時(shí)猜一謎，設(shè)A=甲猜中，B=乙猜中， 則AB=甲、乙兩人至少有1人猜中。若P(A)=0.7,P(B)=0.8, 則“P(AB)=0.7+0.8=1.5”對(duì)嗎？5. 滿足什么條件的試驗(yàn)問(wèn)題稱為古典概型問(wèn)題？927.如何理解樣本點(diǎn)是兩兩互不相容的？8.設(shè)A和B為兩隨機(jī)事件，試舉例說(shuō)明P(AB)=P(B|A)表示不同的意義。10.什么條件下稱兩事件A和B相互獨(dú)立？什么條

14、件下稱n個(gè)事件A1,A2,An相互獨(dú)立？11.設(shè)A和B為兩事件，且P(A)0,P(B)0,問(wèn)A和B相互獨(dú)立、A和B互不相容能否同時(shí)成立？試舉例說(shuō)明之。12.設(shè)A和B為兩事件，且P(A)=a,P(B)=b,問(wèn)：(1) 當(dāng)A和B獨(dú)立時(shí),P(AB)為何值？(2) 當(dāng)A和B互不相容時(shí), P(AB)為何值？9313.當(dāng)滿足什么條件時(shí)稱事件組A1,A2,An為樣為本空間 的一個(gè)劃分？14.設(shè)A,B,C為三隨機(jī)事件，當(dāng)AB，且P(A)0, P(B)0時(shí)，P(C|A)+P(C|B)有意義嗎？試舉例說(shuō)明。15.設(shè)A,B,C為三隨機(jī)事件,且P(C)0,問(wèn)P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)是否

15、成立？若成立，與概率的加法公式比較之。94第二章 隨機(jī)變量及其分布關(guān)鍵詞：隨機(jī)變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的函數(shù)951 隨機(jī)變量* 常見的兩類試驗(yàn)結(jié)果：示數(shù)的降雨量；候車人數(shù)；發(fā)生交通事故的次數(shù)示性的明天天氣（晴，多云）；化驗(yàn)結(jié)果（陽(yáng)性，陰性）esx離散型的連續(xù)型的X=f(e)為S上的單值函數(shù)，X為實(shí)數(shù) * 中心問(wèn)題：將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化* 定義：隨試驗(yàn)結(jié)果而變的量X為隨機(jī)變量* 常見的兩類隨機(jī)變量962 離散型隨機(jī)變量及其分布 定義：取值可數(shù)的隨機(jī)變量為離散量離散量的概率分布(分布律)樣本空間S X=x1，X=x2，X=xn， 由于樣本點(diǎn)兩兩不相容1、寫出可能取值

16、即寫出了樣本點(diǎn)2、寫出相應(yīng)的概率即寫出了每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率# 概率分布97 例：某人騎自行車從學(xué)校到火車站，一路上要經(jīng) 過(guò)3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú)立，且設(shè) 各燈為紅燈的概率為p，0p1，以X表示首次 停車時(shí)所通過(guò)的交通燈數(shù)，求X的概率分布律。pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3 解： 設(shè)Ai=第i個(gè)燈為紅燈，則P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互獨(dú)立。98 例：從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)產(chǎn)品 的次品率為p，0p1，若查到一只次品就 得停機(jī)檢修，設(shè)停機(jī)時(shí)已檢測(cè)到X只產(chǎn)品， 試寫出X的概率分布律。 解：設(shè)Ai=第i次抽到正品，i=1,2, 則A1,

17、A2,相互獨(dú)立。 亦稱X為服從參數(shù)p的幾何分布。99三個(gè)主要的離散型隨機(jī)變量 01(p) 分布二項(xiàng)分布Xpq01p樣本空間中只有兩個(gè)樣本點(diǎn)即每次試驗(yàn)結(jié)果互不影響在相同條件下重復(fù)進(jìn)行(p+q=1) * n重貝努利試驗(yàn)：設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能的結(jié)果： p(A)=p,0p1,將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù) 的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)。100例：1. 獨(dú)立重復(fù)地拋n次硬幣，每次只有兩個(gè)可能的結(jié)果： 正面，反面，如果是不放回抽樣呢？ 2.將一顆骰子拋n次，設(shè)A=得到1點(diǎn)，則每次試驗(yàn) 只有兩個(gè)結(jié)果： 3.從52張牌中有放回地取n次，設(shè)A=取到紅牌，則 每次只有兩個(gè)結(jié)果：101設(shè)A在n重貝努利試驗(yàn)中發(fā)

18、生X次，則并稱X服從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布，記推導(dǎo)：設(shè)Ai= 第i次A發(fā)生 ，先設(shè)n=3102例： 設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能有一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法， 其一是由4個(gè)人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)； 其二是由3個(gè)人共同維護(hù)80臺(tái)。 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。103104 例：某人騎了自行車從學(xué)校到火車站，一路上 要經(jīng)過(guò)3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú) 立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為p，0p1， 以Y表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次紅燈的概率。 解：這是三重貝努利試

19、驗(yàn)105 例：某人獨(dú)立射擊n次，設(shè)每次命中率為p， 0p0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。記為 X具有如下的無(wú)記憶性：117 118 正態(tài)分布定義：設(shè)X的概率密度為其中 為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布(Gauss分布)，記為可以驗(yàn)算：119稱為位置參數(shù)(決定對(duì)稱軸位置) 為尺度參數(shù)(決定曲線分散性)120X的取值呈中間多，兩頭少，對(duì)稱的特性。 當(dāng)固定時(shí)，越大，曲線的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散， 是反映X的取值分散性的一個(gè)指標(biāo)。 在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。121122 例：查書后附表123 例：一批鋼材(線材)長(zhǎng)度(1)若=100，=2，求

20、這批鋼材長(zhǎng)度小于97.8cm的概率；(2)若=100，要使這批鋼材的長(zhǎng)度至少有90%落在區(qū)間(97,103)內(nèi)，問(wèn)至多取何值？124 例：設(shè)某地區(qū)男子身高(1) 從該地區(qū)隨機(jī)找一男子測(cè)身高，求他的身高大于175cm的概率；(2) 若從中隨機(jī)找5個(gè)男子測(cè)身高,問(wèn)至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率為多少？1255 隨機(jī)變量的函數(shù)分布問(wèn)題：已知隨機(jī)變量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。Xpi0.2-1010.50.3例如，若要測(cè)量一個(gè)圓的面積，總是測(cè)量其半徑，半徑的測(cè)量值可看作隨機(jī)變量X，若 則Y服從什么分布？例：已知X具有概率分布 且設(shè)Y=X2，求Y的概率分布。解：Y的所有可能取值為0,1即找出(Y=0)的等價(jià)事件(