概率第一章課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計 10/5/20221概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門學科。2第一章 概率論的基本概念 1.1 隨機試驗 1.2 隨機事件的概率 1.3 條件概率與事件的獨立性 1.4 全概率公式和貝葉斯公式第二章 隨機變量及其分布 2.1 隨機變量 2.2 離散型隨機變量及其分布 2.3 隨機變量的分布函數(shù) 2.4 連續(xù)型隨機變量及其概率分布 2.5 隨機變量的函數(shù)的分布第三章 多維隨機變量及其分布 3.1 二維隨機變量的聯(lián)合分布 3.2 邊緣分布 3.3 二維變量的條件分布 3.4 隨機變量的獨立性 3.5 二維隨機變量的函數(shù)的分布 3第四章 隨機變量的數(shù)字特征4.1 數(shù)學期望

2、4.2 方差4.3 幾種常用分布的期望、方差4.4 協(xié)方差及相關系數(shù) 矩第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 5.1 大數(shù)定律 5.2 中心極限定理 第六章 參數(shù)估計 6.1 總體與樣本 6.2 統(tǒng)計量 6.3 常用統(tǒng)計量的分布 6.4 參數(shù)的點估計 6.5 區(qū)間估計4第七章 假設檢驗 7.1 假設檢驗的基本概念 7.2 正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗第八章 方差分析及回歸分析簡介 8.1 單因素方差分析 8.2 一元線性回歸5關鍵詞：樣本空間 隨機事件頻率和概率條件概率事件的獨立性第一章 概率論的基本概念71.1 隨機事件概率論的誕生及應用 1654年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局, 且誰先

3、贏 c 局便算贏家, 若在一賭徒勝 a 局 ( ac ),另一賭徒勝b局(bm或L0時，記 ）例12：有N件產(chǎn)品，其中D件是次品，從中不放回的取n件， 記Ak恰有k件次品，求P(Ak) 解：52例13：將n個不同的球，投入N個不同的盒中(nN)，設每一球落入各盒的概率相同，且各盒可放的球數(shù)不限，記A 恰有n個盒子各有一球 ，求P(A) 解：n 1 2 N 1 2 N 1 2 N 1 2 N即當n2時，共有N2個樣本點；一般地，n個球放入N個盒子中，總樣本點數(shù)為Nn，使A發(fā)生的樣本點數(shù) 可解析為一個64人的班上，至少有兩人在同一天過生日的概率為99.7%若取n64，N36553 例14：一單位有

4、5個員工，一星期共七天， 老板讓每位員工獨立地挑一天休息， 求不出現(xiàn)至少有2人在同一天休息的 概率。解：將5為員工看成5個不同的球， 7天看成7個不同的盒子， 記A= 無2人在同一天休息 ，則由上例知：54解：假設接待站的接待時間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來 訪者都是在周二、周四的概率為 212/712 =0.000 000 3.例15：某接待站在某一周曾接待12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的? 人們在長期的實踐中總結得到“概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發(fā)生的”(稱之為實際推斷原理)

5、。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有規(guī)定的。551.3.1條件概率定義：由上面討論知，P(B|A)應具有概率的所有性質(zhì)。 例如：1.3.2乘法公式當下面的條件概率都有意義時：1.3 條件概率與事件的獨立性56 例1：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為70%，余下的30%的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有80%的產(chǎn)品可以出廠，20%的產(chǎn)品要報廢。求該廠產(chǎn)品的報廢率。AB與不相容利用乘法公式 解：設 A=生產(chǎn)的產(chǎn)品要報廢 B=生產(chǎn)的產(chǎn)品要調(diào)試 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，57 例2：某行業(yè)進行

6、專業(yè)勞動技能考核，一個月安排一次，每人最多參加3次；某人第一次參加能通過的概率為60%；如果第一次未通過就去參加第二次，這時能通過的概率為80%；如果第二次再未通過，則去參加第三次，此時能通過的概率為90%。求這人能通過考核的概率。解： 設 Ai= 這人第i次通過考核 ，i=1,2,3 A= 這人通過考核 ，亦可： 58 例3：從52張牌中任取2張，采用(1)放回抽樣，（2）不放 回抽樣，求恰是“一紅一黑”的概率。利用乘法公式與不相容（1）若為放回抽樣：（2）若為不放回抽樣： 解：設 Ai=第i次取到紅牌，i=1,2 B=取2張恰是一紅一黑591.3.3 隨機事件的獨立性(一) 兩個事件的獨立

7、性由條件概率，知一般地，這意味著：事件B的發(fā)生對事件A發(fā)生的概率有影響.然而，在有些情形下又會出現(xiàn)：60則有1.引例612. 定義注. 1說明 事件 A 與 B 相互獨立,是指事件 A 的發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無關.622 獨立與互斥的關系這是兩個不同的概念.兩事件相互獨立兩事件互斥例如二者之間沒有必然聯(lián)系獨立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關系11由此可見兩事件相互獨立但兩事件不互斥.兩事件相互獨立兩事件互斥.63由此可見兩事件互斥但不獨立.又如：兩事件相互獨立.兩事件互斥64可以證明： 特殊地，A與B 獨立 A與B 相容( 不互斥) 或A與B 互斥 A與B 不獨立證若A與B 獨立,

8、 則 即 A與B 不互斥(相容).65若A與B互斥，則 AB = B發(fā)生時，A一定不發(fā)生.這表明: B的發(fā)生會影響 A發(fā)生的可能性(造成A不發(fā)生), 即B的發(fā)生造成 A發(fā)生的概率為零. 所以A與B不獨立.理解:SBA663.性質(zhì)(1) 必然事件S 及不可能事件與任何事件A相互獨立.證 SA=A, P(S)=1 P(SA) = P(A)=1 P(A)= P(S) P(A)即 S與A獨立. A=, P()=0 P(A) = P()=0= P() P(A)即 與A獨立.67(2) 若事件A與B相互獨立, 則以下三對事件也相互獨立.證注 稱此為二事件的獨立性 關于逆運算封閉.68又 A與B相互獨立69

9、70甲, 乙兩人同時向敵人炮擊,已知甲擊中敵機的概率為0.6, 乙擊中敵機的概率為0.5, 求敵機被擊中的概率.解設 A= 甲擊中敵機 B= 乙擊中敵機 C=敵機被擊中 依題設,例471由于 甲，乙同時射擊，甲擊中敵機并不影響乙擊中敵機的可能性，所以 A與B獨立,進而= 0.8721. 三事件兩兩相互獨立的概念(二) 多個事件的獨立性定義732. 三事件相互獨立的概念定義74 設 A1，A2 ， ，An為n 個事件，若對于任意k(1kn), 及 1i 1 i 2 i kn 3. n 個事件的獨立性定義若事件 A1，A2 ， ，An 中任意兩個事件相互獨立，即對于一切 1 i0，i=1,2,n；

10、則稱：為全概率公式B1B2BnSA證明： 定理：接上定理條件， 稱此式為Bayes公式。83* 全概率公式可由以下框圖表示：設 P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,n易知：SP1P2Pn.B2B1Bn.q2q1qnA84例1 盒中有5個白球3個黑球,連續(xù)不放回地從中取兩次球,每次取一個,求第二次取球取到白球的概率.解 設A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,則由全概率公式得85例2：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為80%，若甲出差，則乙出差的概率為20%；若甲不出差，則乙出差的概率為90%。(1)求近期乙出差的概率；(2)若已知乙近期出差在外

11、，求甲出差的概率。Bayes公式全概率公式解：設A=甲出差，B=乙出差86例3 設在n(n1)張彩票中有1張獎券,甲、乙兩人依次摸一張彩票,分別求甲、乙兩人摸到獎券的概率.解 設A表示“甲摸到獎券”,B表示“乙摸到獎券”.現(xiàn)在目的是求P(A),P(B),顯然P(A)=1/n.因為A是否發(fā)生直接關系到B的概率,即于是由全概率公式得 這個例題說明,購買彩票時,不論先買后買,中獎機會是均等的,這就是所謂的“抽簽公平性”. 87例4：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有5%的假陽性及5%的假陰性：若設A=試驗反應是陽性，C=被診斷患有癌癥 則有：已知某一群體P(C)=0.005，問這種方法能否用

12、于普查？若P(C)較大，不妨設P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987說明這種試驗方法可在醫(yī)院用解：考察P(C|A)的值若用于普查，100個陽性病人中被診斷患有癌癥的大約有8.7個，所以不宜用于普查。88例5 商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個次品的概率是多少？解:設A:從一箱中任取4只檢查,結果都是好的. B0, B1, B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1由Bayes公式:8

13、91.條件概率全概率公式貝葉斯公式小結乘法定理90總結：91復習思考題 11.“事件A不發(fā)生，則A=”,對嗎？試舉例證明之。2. “兩事件A和B為互不相容，即AB=,則A和B互逆”，對嗎？ 反之成立嗎？試舉例說明之。4. 甲、乙兩人同時猜一謎，設A=甲猜中，B=乙猜中， 則AB=甲、乙兩人至少有1人猜中。若P(A)=0.7,P(B)=0.8, 則“P(AB)=0.7+0.8=1.5”對嗎？5. 滿足什么條件的試驗問題稱為古典概型問題？927.如何理解樣本點是兩兩互不相容的？8.設A和B為兩隨機事件，試舉例說明P(AB)=P(B|A)表示不同的意義。10.什么條件下稱兩事件A和B相互獨立？什么條

14、件下稱n個事件A1,A2,An相互獨立？11.設A和B為兩事件，且P(A)0,P(B)0,問A和B相互獨立、A和B互不相容能否同時成立？試舉例說明之。12.設A和B為兩事件，且P(A)=a,P(B)=b,問：(1) 當A和B獨立時,P(AB)為何值？(2) 當A和B互不相容時, P(AB)為何值？9313.當滿足什么條件時稱事件組A1,A2,An為樣為本空間 的一個劃分？14.設A,B,C為三隨機事件，當AB，且P(A)0, P(B)0時，P(C|A)+P(C|B)有意義嗎？試舉例說明。15.設A,B,C為三隨機事件,且P(C)0,問P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)是否

15、成立？若成立，與概率的加法公式比較之。94第二章 隨機變量及其分布關鍵詞：隨機變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量 隨機變量的函數(shù)951 隨機變量* 常見的兩類試驗結果：示數(shù)的降雨量；候車人數(shù)；發(fā)生交通事故的次數(shù)示性的明天天氣（晴，多云）；化驗結果（陽性，陰性）esx離散型的連續(xù)型的X=f(e)為S上的單值函數(shù)，X為實數(shù) * 中心問題：將試驗結果數(shù)量化* 定義：隨試驗結果而變的量X為隨機變量* 常見的兩類隨機變量962 離散型隨機變量及其分布 定義：取值可數(shù)的隨機變量為離散量離散量的概率分布(分布律)樣本空間S X=x1，X=x2，X=xn， 由于樣本點兩兩不相容1、寫出可能取值

16、即寫出了樣本點2、寫出相應的概率即寫出了每一個樣本點出現(xiàn)的概率# 概率分布97 例：某人騎自行車從學校到火車站，一路上要經(jīng) 過3個獨立的交通燈，設各燈工作獨立，且設 各燈為紅燈的概率為p，0p1，以X表示首次 停車時所通過的交通燈數(shù)，求X的概率分布律。pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3 解： 設Ai=第i個燈為紅燈，則P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互獨立。98 例：從生產(chǎn)線上隨機抽產(chǎn)品進行檢測，設產(chǎn)品 的次品率為p，0p1，若查到一只次品就 得停機檢修，設停機時已檢測到X只產(chǎn)品， 試寫出X的概率分布律。 解：設Ai=第i次抽到正品，i=1,2, 則A1,

17、A2,相互獨立。 亦稱X為服從參數(shù)p的幾何分布。99三個主要的離散型隨機變量 01(p) 分布二項分布Xpq01p樣本空間中只有兩個樣本點即每次試驗結果互不影響在相同條件下重復進行(p+q=1) * n重貝努利試驗：設試驗E只有兩個可能的結果： p(A)=p,0p1,將E獨立地重復進行n次，則稱這一串重復 的獨立試驗為n重貝努利試驗。100例：1. 獨立重復地拋n次硬幣，每次只有兩個可能的結果： 正面，反面，如果是不放回抽樣呢？ 2.將一顆骰子拋n次，設A=得到1點，則每次試驗 只有兩個結果： 3.從52張牌中有放回地取n次，設A=取到紅牌，則 每次只有兩個結果：101設A在n重貝努利試驗中發(fā)

18、生X次，則并稱X服從參數(shù)為p的二項分布，記推導：設Ai= 第i次A發(fā)生 ，先設n=3102例： 設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故障能有一個人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法， 其一是由4個人維護，每人負責20臺； 其二是由3個人共同維護80臺。 試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。103104 例：某人騎了自行車從學校到火車站，一路上 要經(jīng)過3個獨立的交通燈，設各燈工作獨 立，且設各燈為紅燈的概率為p，0p1， 以Y表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次紅燈的概率。 解：這是三重貝努利試

19、驗105 例：某人獨立射擊n次，設每次命中率為p， 0p0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。記為 X具有如下的無記憶性：117 118 正態(tài)分布定義：設X的概率密度為其中 為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布(Gauss分布)，記為可以驗算：119稱為位置參數(shù)(決定對稱軸位置) 為尺度參數(shù)(決定曲線分散性)120X的取值呈中間多，兩頭少，對稱的特性。 當固定時，越大，曲線的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散， 是反映X的取值分散性的一個指標。 在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，大量隨機變量服從或近似服從正態(tài)分布。121122 例：查書后附表123 例：一批鋼材(線材)長度(1)若=100，=2，求

20、這批鋼材長度小于97.8cm的概率；(2)若=100，要使這批鋼材的長度至少有90%落在區(qū)間(97,103)內(nèi)，問至多取何值？124 例：設某地區(qū)男子身高(1) 從該地區(qū)隨機找一男子測身高，求他的身高大于175cm的概率；(2) 若從中隨機找5個男子測身高,問至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率為多少？1255 隨機變量的函數(shù)分布問題：已知隨機變量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。Xpi0.2-1010.50.3例如，若要測量一個圓的面積，總是測量其半徑，半徑的測量值可看作隨機變量X，若 則Y服從什么分布？例：已知X具有概率分布 且設Y=X2，求Y的概率分布。解：Y的所有可能取值為0,1即找出(Y=0)的等價事件(