直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體棱錐

1、第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體棱錐第 講10考點(diǎn)搜索棱錐及其底面、側(cè)面、側(cè)棱、高等概念，正棱錐的概念棱錐的基本性質(zhì)及平行于棱錐底面的截面性質(zhì)多面體的有關(guān)概念直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體棱錐高考猜想1. 通過(guò)判斷命題真假考查棱錐有關(guān)概念和性質(zhì).2. 有關(guān)棱錐的棱長(zhǎng)、高、面積等幾何量的計(jì)算.3. 以棱錐為背景，分析線面位置關(guān)系，以及空間角和距離的計(jì)算. 1.如果一個(gè)多面體的一個(gè)面是_,其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的_,那么這個(gè)多面體叫做棱錐.在棱錐中有_叫做棱錐的側(cè)面，余下的那個(gè)多邊形叫做棱錐的_,兩個(gè)相鄰側(cè)面的_ 叫做棱錐的側(cè)棱，各側(cè)面的_叫做棱錐的頂點(diǎn)，由頂點(diǎn)到底面所在平面的_叫做棱錐的高.底面是_，并

2、且頂點(diǎn)在底面的射影是_的棱錐，叫做正棱錐.多邊形三角形公共頂點(diǎn)的各三角形底面公共邊公共頂點(diǎn)垂線段正多邊形底面中心2. 如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面_，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐的高的_.3. 正棱錐各側(cè)棱_，各側(cè)面都是全等的 _，各等腰三角形底邊上的高_(dá)(它叫做正棱錐的斜高).4. 正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè) _ ,正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)_.相似平方比相等等腰三角形相等直角三角形直角三角形5. 設(shè)棱錐的底面積為S，高為h，則其體積V=_.6. 由若干個(gè) _圍成的空間圖形叫做多面體，圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多

3、面體的_，兩個(gè)面的 _叫做多面體的棱，棱和棱的_叫做多面體的頂點(diǎn)，連結(jié)_的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多面體的對(duì)角線.平面多邊形面公共邊公共點(diǎn)不在同一面上 8. 每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的 _,每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做_. 表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可變?yōu)開(kāi)的多面體，叫做簡(jiǎn)單多面體. 7. 把一個(gè)多面體的任一個(gè)面伸展成平面，如果其余的面都位于這個(gè)平面的_，這樣的多面體叫做凸多面體。同一側(cè)正多邊形正多面體球面1.正六棱錐P-ABCDEF中，G為PB的中點(diǎn)，則三棱錐D-GAC與三棱錐P-GAC體積之比為( )A. 11 B. 12 C. 21 D. 32解：由于G是PB的中點(diǎn),故P-GAC的體積等于B-

4、GAC的體積.如圖，在底面正六邊形ABCDEF中，BH=ABtan30= AB,而B(niǎo)D= AB,故DH=2BH,于是VD-GAC=2VB-GAC=2VP-GAC.C2.若正三棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為1，則側(cè)面和底面所成二面角的大小為( )A. arctan B. arctan2C. arctan3 D. arctan 解：如圖，取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)SD、AD，則SDBC，ADBC.所以SDA為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，設(shè)為.A在平面SAD中，作SOAD,與AD交于O，則SO為棱錐的高h(yuǎn).又AO=2DO，所以 .由VS-ABC= ABBCsin60h=1，得h= , 所以tan= 所以=ar

5、ctan 3.過(guò)棱錐高的三等分點(diǎn)作兩個(gè)平行于底面的截面，它們將棱錐的側(cè)面分成三部分的面積的比(自上而下)為 .解：由錐體平行于底面的截面性質(zhì)知，自上而下三錐體的側(cè)面積之比為 S側(cè)1S側(cè)2S側(cè)3=149，所以錐體被分成三部分的側(cè)面積之比為135.1353.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH的邊及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿足條件 時(shí)，就有MNAC.解：本題答案不唯一，當(dāng)點(diǎn)M在線段FH上時(shí)均有MNAC. 點(diǎn)M與F重合1. 正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為a，D為側(cè)棱PA上一點(diǎn)，且AD=2PD.若PA平面B

6、CD，求這個(gè)三棱錐的高.解：設(shè)PD=x，則AD=2x，PA=PB=PC=3x.因?yàn)镻A平面BCD，所以PABD.所以AB2-AD2=PB2-PD2，題型1 棱錐中有關(guān)量的計(jì)算即a2-4x2=9x2-x2，得 作PO底面ABC，垂足為O，則O為ABC的中心，連結(jié)OC，則 在RtPOC中， 故三棱錐P-ABC的高為 .點(diǎn)評(píng)：與棱錐有關(guān)量的計(jì)算問(wèn)題，一般先作出棱錐的高，根據(jù)需要可設(shè)所求量的大小為參數(shù)，然后利用方程思想，找到參數(shù)的方程，再求解方程以得出所求.這是方程思想在解題中的具體應(yīng)用. 已知E、F分別是棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1 B1 C1 D1的棱A1A、CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1-B1EDF

7、的體積.解法1：連結(jié)A1C1、B1D1交于O1，過(guò)O1作O1HB1D于H.因?yàn)镋FA1C1，所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離.因?yàn)槠矫鍮1D1D平面B1EDF，所以O(shè)1H平面B1EDF，即O1H為棱錐的高.因?yàn)锽1O1HB1DD1，所以解法2：連結(jié)EF，設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則 ，所以解法3：2. 設(shè)正三棱錐P-ABC的底邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為2a，E、F分別為PB、PC上的動(dòng)點(diǎn)，求AEF的周長(zhǎng)的最小值.解：將三棱錐側(cè)面沿PA展開(kāi)到同一平面上，如圖.則AE+EF+FAAA.取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)PD

8、，題型2 棱錐表面展開(kāi)圖的應(yīng)用則PDBC.設(shè)CPD=，則sin= .設(shè)PD交AA于H，則H為AA的中點(diǎn)，且PHAA.所以AH=PAsin3= ，所以AA= .故AEF的周長(zhǎng)的最小值為 .點(diǎn)評(píng)：求與多面體有關(guān)的表面距離的最小值問(wèn)題，常常將其展開(kāi)成平面圖，然后在其平面展開(kāi)圖上求其最值. 如圖，課桌上放著一個(gè)正三棱錐S-ABC，SA=1，ASB=30，螞蟻從點(diǎn)A沿三棱錐的側(cè)面爬行(必須經(jīng)過(guò)三棱錐的三個(gè)側(cè)面)再回到A，它按怎樣的路線爬行，才使其行跡最短. 解：沿SA剪開(kāi)得展開(kāi)圖如右.在SAE中， ，則 ，所以 .利用尺規(guī)作圖可以找到E和F，從而確定螞蟻的最佳行跡AEFA.3. 如圖所示的多面體是由底面

9、為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離. 解：延長(zhǎng)C1E、CB相交于G，連結(jié)AG，則平面AEC1F平面ABCD=AG.過(guò)點(diǎn)C作CMAG，垂足題型3 多面體背景中的線面關(guān)系問(wèn)題為M，連結(jié)C1M.因?yàn)镃1C平面ABCD，所以C1CAG，于是AG平面C1 CM，所以平面AEC1F平面C1CM.過(guò)點(diǎn)C作CHC1M，則CH平面AEC1F.所以CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到平面AEC1F的距離.由 得 又BC=2，所以BG=1，從而 由ABGCMG，得 所以故點(diǎn)C到平面AEC1F的距離是 .點(diǎn)評(píng)：不規(guī)則多面體一般是先分割(或是補(bǔ)形)成

10、棱錐和棱柱的組合體，然后運(yùn)用棱錐或棱柱的性質(zhì)解決所求問(wèn)題. 右圖是一個(gè)直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC. 已知A1B1=B1C1=1，A1B1C1=90，AA1=4，BB1=2，CC1=3. (1)設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC平面A1B1C1； (2)求二面角BACA1的大?。?(3)求此幾何體的體積.解：(1)證明：作ODAA1交A1B1于D，連結(jié)C1D.則ODBB1CC1.因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，所以則四邊形ODC1C是平行四邊形，因此有OCC1D.又C1D平面C1B1A1且OC平面C1B1A1，所以O(shè)C平面A1B1C1(2)如圖，過(guò)B作截面BA2C2平

11、面A1 B1 C1，分別交AA1、CC1于A2、C2.作BHA2C2于H，連結(jié)CH.因?yàn)镃C1平面BA2C2，所以CC1 B H，則BH平面A1C1CA.又因?yàn)锳 B = ，BC= ，AC= ，所以AB2=BC2+AC2，所以BCAC.根據(jù)三垂線定理知，CHAC，所以BCH就是所求二面角B-AC-A1的平面角.因?yàn)锽H= ，所以 ，故BCH=30.所以所求二面角B-AC-A1的大小為30.(3)因?yàn)锽H= ，所以故所求幾何體的體積為1. 對(duì)于三棱錐，它的每一個(gè)面都可作為棱錐的底面，每一個(gè)頂點(diǎn)都可作棱錐的頂點(diǎn)，而體積總保持不變.因此，計(jì)算三棱錐的體積時(shí)，要注意頂點(diǎn)和底面的選擇.根據(jù)三棱錐的體積不變性，可得到處理問(wèn)題的一種重要方法等體積法.2. 棱錐的側(cè)棱