高級生物統(tǒng)計正交設計

1、高級生物統(tǒng)計正交設計第1頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 在實際工作中 ，常常需要同時考察 3個或3個以上的試驗因素 ，若進行全面試驗，則試驗的規(guī)模將很大 ，往往因試驗條件的限制而難于實施 。 正交設計就是安排多因素試驗 、尋求最優(yōu)水平組合的一種 高效率試驗設計方法。 第2頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四一、正交設計的概念及原理 (一) 正交設計的基本概念 正交設計是利用正交表來安排與分析多因素試驗的一種設計方法。它從試驗的全部水平組合中，挑選部分有代表性的水平組合進行試驗，通過對這部分試驗結(jié)果的分析了解全面試驗的情況，找出最優(yōu)水平組合。第3

2、頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 例如， 研究如下3個因素對某品種雞生產(chǎn)性能的影響： A因素是飼料配方，設A1、A2、A3 3個水平 ； B因素是光照 ，設 B1 、B2 、B3 3個水平 ； C因素是溫度，設C1、C2、C3 3個水平。 這是一個3因素3水平的試驗 ，各因素的水平之間全部可能的組合有27種 。 第4頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 如果試驗方案包含各因素的全部水平組合，即進行全面試驗 ，可以分析各因素的效應 ，交互作用，也可選出最優(yōu)水平組合。這是全面試驗的優(yōu)點 。但全面試驗包含的水平組合數(shù)較多，工作量大 ，由于受試驗場地、試

3、驗動物、經(jīng)費等限制而難于實施 。 如果試驗的主要目的是尋求最優(yōu)水平組合，則可利用正交設計來安排試驗。 第5頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 正交設計的基本特點是：用部分試驗來代替全面試驗，通過對部分試驗結(jié)果的分析，了解全面試驗的情況。 正交試驗是用部分試驗來代替全面試驗，它不可能像全面試驗那樣對各因素效應、交互作用一一分析；當交互作用存在時，有可能出現(xiàn)交互作用的混雜。第6頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 如對于上述3因素3水平試驗，若不考慮交互作用，可利用正交表L9(34)安排，試驗方案僅包含9個水平組合，就能反映試驗方案包含27個水平組合的

4、全面試驗的情況，找出最佳的生產(chǎn)條件。第7頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四(二) 正交設計的基本原理 上例中，全面試驗試驗方案如表1所示。 A1 A2 A3B3B2B1C1C2C3第8頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四表1 3因素3水平全面試驗方案第9頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 圖1 3因素3水平試驗的均衡分散立體圖A1 A2 A3B3B2B1C1C2C3123654789第10頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 正交設計就是從全面試驗點（水平組合）中挑選出有代表性的部分試驗點（水平組合）來

5、進行試驗。圖1中標有試驗號的九個“()”，就是利用正交表L9(34)從27個試驗點中挑選出來的9個試驗點。即：(1)A1B1C1 (4)A2B1C2 (7)A3B1C3(2)A1B2C2 (5)A2B2C3 (8)A3B2C1(3)A1B3C3 (6)A2B3C1 (9)A3B3C2第11頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 上述選擇 ，保證了A因素的每個水平與B因素 、 C 因 素的各個水平在試驗中各搭配一次。 從圖1中可以看到，9個試驗點分布是均衡的 ，在立方體的每個平面上 ，都恰是3個試驗點；在立方體的每條線上也恰有一個試驗點。 9個試驗點均衡地分布于整個立方體內(nèi)

6、，有很強的代表性，能夠比較全面地反映全面試驗的基本情況。 第12頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四二、正交表及其特性 (一) 正交表 表2 是一張正交表，記號為L8(27) ，其中“L”代表正交表 ；L 右下角的數(shù)字“8”表示有8行，用這張正交表安排試驗包含8個處理(水平組合) ；括號內(nèi)的底數(shù)“2” 表示因素的水平數(shù)，括號內(nèi)2的指數(shù)“7”表示有7列 ，用這張正交表最多可以安排7個2水平因素。 第13頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四表2 L8(27)正交表第14頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 常用的正交表已由數(shù)學工作者

7、制定出來，供進行正交設計時選用。2水平正交表除L8(27)外，還有L4(23)、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(313) 等。 第15頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四(二) 正交表的特性 1、任一列中，不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等 例如L8(27)中不同數(shù)字只有1和2，它們各出現(xiàn)4次；L9(34)中不同數(shù)字有1、2和3，它們各出現(xiàn)3次 。第16頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 2、任兩列中，同一橫行所組成的數(shù)字對出現(xiàn)的次數(shù)相等 例如 L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出現(xiàn)兩次；L9(

8、34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出現(xiàn)1次。即每個因素的一個水平與另一因素的各個水平互碰次數(shù)相等，表明任意兩列各個數(shù)字之間的搭配是均勻的。 第17頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 根據(jù)以上兩個特性，我們用正交表安排的試驗，具有均衡分散和整齊可比的特點。 所謂均衡分散，是指用正交表挑選出來的各因素水平組合在全部水平組合中的分布是均衡的 。 由 圖1可以看出，在立方體中 ，任一平面內(nèi)都包含 3 個“()”， 任一直線上都包含1個“()” 。第18頁，共6

9、3頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 整齊可比是指每一個因素的各水平間具有可比性。 因為正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含著另外因素的各個水平，當比較某因素不同水平時，其它因素的效應都彼此抵消。如在A、B、C 3個因素中，A因素的 3 個水平 A1、A2、A3 條件下各有 B、C 的 3 個不同水平，即： 第19頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 第20頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 在這9個水平組合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3個水平，雖然搭配方式不同，但B、C皆處于同等地位，當比較A因素不同水平時，B因素不同水

10、平的效應相互抵消，C因素不同水平的效應也相互抵消。所以A因素3個水平間具有可比性。同樣，B、C因素3個水平間亦具有可比性。第21頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四(三) 正交表的類別 1、相同水平正交表 各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字相同的正交表稱為相同水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大數(shù)字為2，稱為兩水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最大數(shù)字為3，稱為3水平正交表。 第22頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 2、混合水平正交表 各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字不完全相同的正交表稱為混合水平正交表。如L8(424)表

11、中有一列最大數(shù)字為4，有4列最大數(shù)字為2。也就是說該表可以安排一個4水平因素和4個2水平因素。再如L16(4423)，L16(4212)等都混合水平正交表。第23頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四三、正交設計方法 【例1】 在 進 行 礦 物質(zhì)元素對架子豬補飼試驗中，考察補飼配方、用量、食鹽3個因素，每個因素都有3個水平。試安排一個正交試驗方案。 第24頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四(一) 確定因素和水平 影響試驗結(jié)果的因素很多，我們不可能把所有影響因素通過一次試驗都予以研究，只能根據(jù)以往的經(jīng)驗，挑選和確定若干對試驗指標影響最大、有較大經(jīng)濟意

12、義而又了解不夠清楚的因素來研究。同時還應根據(jù)實際經(jīng)驗和專業(yè)知識，定出各因素適宜的水平，列出因素水平表?！纠?】的因素水平表如表3所示。 第25頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四水 平因 素礦物質(zhì)元素補飼配方(A) 用 量(g)(B) 食 鹽(g)(C)1配方I(A1)15(B1)0(C1)2配方II(A2)25(B2)4(C2)3配方III(A3)20(B3)8(C3)表3 因素水平表第26頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四(二) 選用合適的正交表 根據(jù)因素、水平及需要考察的交互作用的多少來選擇合適的正交表。 選用正交表的原則是：既要能安排下試驗

13、的全部因素，又要使部分水平組合數(shù)（處理數(shù)）盡可能地少。第27頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 一般情況下，試驗因素的水平數(shù)應恰好等于正交表記號中括號內(nèi)的底數(shù)；因素的個數(shù)（包括交互作用）應不大于正交表記號中括號內(nèi)的指數(shù)；各因素及交互作用的自由度之和要小于所選正交表的總自由度，以便估計試驗誤差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所選正交表總自由度，則可采用有重復正交試驗來估計試驗誤差。第28頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 此例有3個3水平因素，若不考察交互作用，則各因素自由度之和為 (水平數(shù)-1) 因素數(shù)個數(shù)= (3-1)3=6，小于L9(34

14、)總自由度9-1=8，故可以選用L9(34)； 若要考察交互作用，則應選用L27(313)，此時所安排的試驗方案實際上是全面試驗方案。 第29頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四(三) 表頭設計 表頭設計就是把挑選出的因素和要考察的交互作用分別排入正交表的表頭適當?shù)牧猩稀?在不考察交互作用時，各因素可隨機安排在各列上；若考察交互作用，就應按該正交表的交互作用列表安排 各 因 素與交互作用。 此例不考察交互作用，可將礦物質(zhì)元素補飼配方(A)、用量(B)和食鹽 (C)依次安排在L9(34)的第1、2、3列上，第4 列 為空列，見表4。第30頁，共63頁，2022年，5月20日

15、，21點51分，星期四 表4 表頭設計第31頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四(四) 列出試驗方案 把正交表中安排各因素的每個列(不包含欲考察的交互作用列)中的每個數(shù)字依次換成該因素的實際水平，就得到一個正交試驗方案。表5就是例1 的正交試驗方案。第32頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 表5 例1 的正交試驗方案第33頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 根據(jù)表5， 1 號試驗處理是 A1B1C1 ，即配 方I、用量15g、食鹽為0；2號試驗處理是A1B2C2 ，即配方II 、 用量 25g 、食 鹽 為 4g ， ；9號

16、試驗處理為A3B3C2，即配方III、用量20g、食鹽4g。 第34頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四四、正交試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析 若各號試驗處理都只有一個觀測值，則稱之為單獨觀測值正交試驗；若各號試驗處理都有兩個或兩個以上觀測值，則稱之為有重復觀測值正交試驗。第35頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四(一) 單獨觀測值正交試驗結(jié)果的方差分析 對【例1】用L9(34)安排試驗方案后，各號試驗只進行一次，試驗結(jié)果(增重)列于表6。試對其進行方差分析。第36頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四表6 正交試驗結(jié)果計算表第37頁，共63

17、頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 該試驗的9個觀測值總變異由A因素、B因素、C因素及誤差變異四部分組成，因而進行方差分析時平方和與自由度的劃分式為： SST = SSA + SSB + SSC+SSe dfT = dfA + dfB + dfC + dfe (1) 用n表示試驗(處理)數(shù)；a、b、c表示A、B、C因素各水平重復數(shù)；ka、kb、kc表示A、B、C因素的水平數(shù)。本例，n=9、a=b=c=3、 ka=kb=kc=3。 第38頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四1、計算各項平方和與自由度矯正數(shù) C = T2/n = 612.12/9 = 41629

18、.6011總平方和 SST =y2-C =63.42+68.92+73.72 - 41629.6011 =101.2489 第39頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四A因素平方和 SSA= /a-C =(197.22+200.32+214.62)/3 41629.6011=57.4289 B因素平方和 SSB = /b-C =(199.12+208.62+204.42)/3 -41629.6011 =15.1089第40頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 C因素平方和 SSC=T2C/c-C =(198.72+206.92+206.52)/3 誤差

19、平方和 SSe=SST-SSA-SSB-SSC =101.2489-57.4289-15.1089 -41629.6011 =14.2489-14.2489 =14.4622第41頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 總自由度 dfT =n-1=9-1=8 A因素自由度 dfA =ka-1=3-1=2 B因素自由度 dfB =kb-1=3-1=2 C因素自由度 dfC =kc-1=3-1=2 誤差自由度 dfe = dfT-dfA-dfB-dfC = 8-2-2-2 = 2第42頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四2、列出方差分析表，進行F檢驗 表7

20、 方差分析表第43頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 F 檢驗結(jié)果表明，三個因素對增重的影響都不顯著。究其原因可能是本例試驗誤差大且誤差自由度小(僅為2)，使檢驗的靈敏度低，從而掩蓋了考察因素的顯著性。 由于各因素對增重影響都不顯著，不必再進行各因素水平間的多重比較。此時，可直觀地從表6中選擇平均數(shù)大的水平A3、B2、C2組合成最優(yōu)水平組合 A3B2C2。第44頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 上述無重復正交試驗結(jié)果的方差分析，其誤差是由“空列”來估計的。然而“空列”并不空，實際上是被未考察的交互作用所占據(jù)。這種誤差既包含試驗誤差，也包含交互作

21、用，稱為模型誤差。若交互作用不存在，用模型誤差估計試驗誤差是可行的；若因素間存在交互作用，則模型誤差會夸大試驗誤差，有可能掩蓋考察因素的顯著性。這時，試驗誤差應通過重復試驗值來估計。所以，進行正交試驗最好能有二次以上的重復。正交試驗的重復，可采用完全隨機或隨機單位組(即隨機區(qū)組)設計。第45頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四(二) 有重復觀測值正交試驗結(jié)果的方差分析 【例2】 【例1】的正交試驗重復兩次，隨機單位組設計，試驗結(jié)果列于表8。試對其進行方差分析。第46頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四表8 有重復觀測值正交試驗結(jié)果計算表第47頁，共6

22、3頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 用r表示試驗處理的重復數(shù)； n，a、b、c，ka、kb、kc的意義同【例1】。此例r=2； n=9，a=b=c=3，ka=kb=kc=3。第48頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 對于有重復、且重復采用隨機單位組設計的正交試驗，總變異可以劃分為處理間、單位組間和誤差變異三部分，而處理間變異可進一步劃分為A因素、B因素、C因素與模型誤差變異四部分。此時，平方和與自由度劃分式為： SST=SSt+SSr+SSe2 dfT = dft + dfr + dfe2 而 SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1 dft = dfA

23、 + dfB + dfC + dfe1第49頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四于是 SST= SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+ SSe2 dfT = dfA + dfB + dfC + dfr + dfe1 + dfe2 (2) 式中：SSr為單位組間平方和；SSe1為模型誤差平方和；SSe2為試驗誤差平方和；SSt為處理間平方和； dfr 、dfe1 、dfe2 、dft 為 相 應自由度。 注意 ，對于重復采用完全隨機設計的正交試驗，在平方和與自由度劃分式中無 SSr、dfr項。第50頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四1、計算各項平

24、方和與自由度矯正數(shù) C =T2/ (r n) = 1347.42/(29) =100860.3756第51頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 總平方和 SST=y2-C =63.42+68.92+92.82 - 100860.3756 =1978.5444 單位組間平方和 SSr=T2r /n-C =(612.12+735.32)/9 - 100860.3756 =843.2355第52頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 處理間平方和 SSt = T2t / r - C = (130.82+156.12+166.52)/2 -100860.375

25、6 = 819.6244 A因素平方和 SSA = T2A / (ar) - C = (418.12+441.72+487.62)/(32) -100860.3756 = 416.3344 第53頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四B因素平方和 SSB =T2B /(br) - C =(411.82+475.52+430.12)/(32) -100860.3756 =185.2077C因素平方和 SSC = T2C / (cr) - C = (423.92+473.22+450.32)/(32) -100860.3756 = 202.8811 第54頁，共63頁，2022

26、年，5月20日，21點51分，星期四模型誤差平方和 SSe1 = SSt SSA SSB - SSC =819.6244-416.3344-185.2077 -202.8811 =15.2012試驗誤差平方和 SSe2 =SST SSr - SSt =1978.5444-843.2355 - 819.6244 =315.6845第55頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四 總自由度 dfT=rn-1=29-1=17 單位組自由度 dfr=r-1=2-1=1 處理自由度 dft=n-1=9-1=8 A因素自由度 dfA=ka-1=3-1=2 B因素自由度 dfB=kb-1=3-1=2 C因素自由度 dfC=kc-1=3-1=2 模型誤差自由度 dfe1 = dft-dfA-dfB-dfC = 8-2-2-2-2 = 2 試驗誤差自由度 dfe2=dfT-dft =17-1-8 = 8第56頁，共63頁，2022年，5月20日，21點51分，星期四2、列出方差分析表，進行F檢驗表9 有重復觀測值正交試驗結(jié)果的方差分析表第57頁，共63頁，2022年，5月20日，21