青島理工大學(xué)概率論練習(xí)冊解讀 副本

1、青島理工大學(xué)概率論練習(xí)冊答案解讀-副本青島理工大學(xué)概率論練習(xí)冊答案解讀-副本青島理工大學(xué)概率論練習(xí)冊答案解讀-副本習(xí)題1-21.選擇題(1)設(shè)隨機(jī)事件A，B知足關(guān)系A(chǔ)B,則以下表述正確的選項(xiàng)是().(A)若A發(fā)生,則B必發(fā)生.(B)A,B同時發(fā)生.(C)若A發(fā)生,則B必不發(fā)生.(D)若A不發(fā)生，則B必定不發(fā)生.解依據(jù)事件的包含關(guān)系,考慮對峙事件,此題應(yīng)選(D).(2)設(shè)A表示“甲種商品熱銷,乙種商品滯銷”,其對峙事件A表示().甲種商品滯銷,乙種商品熱銷.(B)甲種商品熱銷,乙種商品熱銷.甲種商品滯銷,乙種商品滯銷.(D)甲種商品滯銷,或許乙種商品熱銷.解設(shè)B表示“甲種商品熱銷”，C表示“乙種

2、商品滯銷”，依據(jù)公式BCBC,此題應(yīng)選(D).寫出以下各題中隨機(jī)事件的樣本空間:一袋中有5只球,此中有3只白球和2只黑球,從袋中隨意取一球,察看其顏色;從(1)的袋中不放回隨意取兩次球,每次拿出一個,察看其顏色；從(1)的袋中不放回隨意取3只球,記錄取到的黑球個數(shù)；生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù).解(1)黑球,白球；(2)黑黑,黑白,白黑,白白；(3)0,1,2；(4)設(shè)在生產(chǎn)第10件正品前共生產(chǎn)了n件不合格品，則樣本空間為10n|n0,1,2,.設(shè)A,B,C是三個隨機(jī)事件,試以A,B,C的運(yùn)算關(guān)系來表示以下各事件：僅有A發(fā)生；A,B,C中起碼有一個發(fā)生;A,B,C中恰有一

3、個發(fā)生;A,B,C中最多有一個發(fā)生;A,B,C都不發(fā)生;A不發(fā)生,B,C中起碼有一個發(fā)生.解(1)ABC;(2)ABC;(3)ABCABCABC;(4)ABCABCABCABC;(5)ABC;(6)A(BC).事件Ai表示某射手第i次(i=1,2,3)擊中目標(biāo),試用文字表達(dá)以下事件：(1)A1A2;(2)A1A2A3;(3)A3;(4)A2A3;(5)A2A3；(6)A1A2.解(1)射手第一次或第二次擊中目標(biāo);(2)射手三次射擊中起碼擊中目標(biāo);(3)射手第三次沒有擊中目標(biāo);(4)射手第二次擊中目標(biāo),可是第三次沒有擊中目標(biāo);(5)射手第二次和第三次都沒有擊中目標(biāo);(6)射手第一次或第二次沒有擊

4、中目標(biāo).習(xí)題1-3選擇題(1)設(shè)A,B為任二事件,則以下關(guān)系正確的選項(xiàng)是().(A)P(AB)P(A)P(B).(B)P(AB)P(A)P(B).(C)P(AB)P(A)P(B).(D)P(A)P(AB)P(AB).解由文氏圖易知此題應(yīng)選(D).(2)若兩個事件A和B同時出現(xiàn)的概率P(AB)=0,則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是().(A)A和B互不相容.(B)AB是不行能事件.(C)AB未必是不行能事件.(D)P(A)=0或P(B)=0.解此題答案應(yīng)選(C).2.設(shè)P(AB)=P(AB),且P(A)p，求P(B).解因P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)P(AB),故P(A)P(B)1.

5、于是P(B)1p.3.已知P(A),P(B),P(AB)0.4,求P(AB).解由公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)知.于是P(AB)P(A)P(AB)0.1.4.設(shè)A,B為隨機(jī)事件,P(A)0.7,P(AB),求P(AB).解由公式P(AB)P(A)P(AB)可知,P(AB)0.4.于是P(AB)0.6.5.設(shè)A,B是兩個事件,且,P(B).問:在什么條件下P(AB)取到最大值,最大值是多少？在什么條件下P(AB)取到最小值,最小值是多少？解P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(AB).(1)假如ABB,即當(dāng)AB時,P(AB)P(B)=0.7,則P(AB)有最大值是0.6.假如P(A

6、B)=1，或許ABS時,(2)P(AB)有最小值是0.3.6.已知P(A)P(B)1,P(AB)0,P(AC)P(BC)1P(C),求A,B,C全不412發(fā)生的概率.解因?yàn)锳BCAB,所以0P(ABC)（PAB）=0,即有P(ABC)=0.由概率一般加法公式得P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)7.由12對峙事件的概任性質(zhì)知A,B,C全不發(fā)生的概率是P(ABC)P(ABC)51P(ABC).12習(xí)題1-4選擇題在5件產(chǎn)品中,有3件一等品和2件二等品.若從中任取2件,那么以0.7為概率的事件是()(A)都不是一等品.(B)恰有1件一等品.(C)起碼有1件

7、一等品.(D)至多有1件一等品.解至多有一件一等品包含恰有一件一等品和沒有一等品,此中只含有一件一等品的1102C3C2C3C2答案為（D）.概率為2,沒有一等品的概率為2,將二者加起即為0.7.C5C52.從由45件正品、5件次品構(gòu)成的產(chǎn)品中任取3件.求:(1)恰有1件次品的概率;(2)恰有2件次品的概率;(3)起碼有1件次品的概率;(4)至多有1件次品的概率;(5)起碼有2件次品的概率.解(1)恰有1件次品的概率是C51C452;(2)恰有2件次品的概率是C52C451;(3)起碼有C503C5031件次品的概率是1-C50C453;(4)至多有1件次品的概率是C50C453+C51C45

8、2;(5)起碼有2件C503C503C503次品的概率是C52C451+C53C450.C503C503袋中有9個球,此中有4個白球和5個黑球.現(xiàn)從中任取兩個球.求：(1)兩個球均為白球的概率；(2)兩個球中一個是白的,另一個是黑的概率；(3）起碼有一個黑球的概率.解從9個球中拿出2個球的取法有C92種，兩個球都是白球的取法有C42種，一黑一白的取法有C51C41種，由古典概率的公式知道C2兩球都是白球的概率是42;C9(2)C51C41兩球中一黑一白的概率是;C92(3)起碼有一個黑球的概率是1C42.C924.在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個數(shù),求以下事件的概率:(1)兩數(shù)之和小于6;(2)

9、兩數(shù)之5積小于1;(3)以上兩個條件同時知足;(4)兩數(shù)之差的絕對值小于1的概率.42解設(shè)X,Y為所取的兩個數(shù),則樣本空間S=(X,Y)|0X,Y1.,61144172550.68;(1)PX+Y=12551=1111dx11ln40.6;(2)PXY14444x4461(3)PX+Y,XY54116116=1(x)dx4xdx(x)dx0.593.5555(4)解設(shè)x,y為所取的兩個數(shù),則樣本空間=(x,y)|0 x,y1,記A=(x,y)|(x,y)S,|x-y|0,P(B)0,則以下關(guān)系建立的是().(A)A,B互相獨(dú)立.(B)A,B不互相獨(dú)立.(C)A,B互為對峙事件.(D)A,B不互

10、為對峙事件.解用反證法,此題應(yīng)選(B).(2)設(shè)事件A與B獨(dú)立,則下邊的說法中錯誤的選項(xiàng)是().(A)A與B獨(dú)立.(B)A與B獨(dú)立.(C)P(AB)P(A)P(B).(D)A與B必定互斥.解因事件A與B獨(dú)立,故A與B,A與B及A與B也互相獨(dú)立.所以此題應(yīng)選(D).(3)設(shè)事件A與B互相獨(dú)立,且0P(B)1,則以下說法錯誤的選項(xiàng)是().(A)P(A|B)P(A).(B)P(AB)P(A)P(B).(C)A與B必定互斥.(D)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B).解因事件A與B獨(dú)立,故A與B也互相獨(dú)立,于是(B)是正確的.再由條件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正確的.從而此題應(yīng)

11、選(C).2設(shè)A,B是隨意兩個事件,此中A的概率不等于0和1,證明P(B|A)=P(BA)是事件A與B獨(dú)立的充分必需條件.證因?yàn)锳的概率不等于0和1,故題中兩個條件概率都存在充分性.因事件A與B獨(dú)立,知事件A與B也獨(dú)立,所以.P(BA)P(B),P(BA)P(B),從而P(BA)P(BA).必需性.已知P(BA)P(BA),由條件概率公式和對峙事件概率公式獲得P(AB)P(AB)P(B)P(AB)P(A)P(A)1,P(A)移項(xiàng)得P(AB)1P(A)P(A)P(B)P(A)P(AB),化簡得P(AB)=P(A)P(B),所以A和B獨(dú)立.設(shè)三事件A,B和C兩兩獨(dú)立,知足條件：ABC,P(A)P(

12、B)P(C)19,且P(ABC),216求P(A).解依據(jù)一般加法公式有P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AC)P(AB)P(BC)P(ABC).由題設(shè)可知A,B和C兩兩互相獨(dú)立,ABC,P(A)P(B)1,所以有P(C)2P(AB)P(AC)P(BC)2A),P(ABC)P()0,P(從而P(ABC)3P(A)3P(A)29,16于是P(A)3或P(A)1114,再依據(jù)題設(shè)P(A),故P(A).4244某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0p1),求這人第4次射擊時恰巧第2次命中目標(biāo)的概率.解“第4次射擊恰巧第2次命中”表示4次射擊中第4次命中目標(biāo),前3次射擊中有一

13、次命中目標(biāo).由獨(dú)立重復(fù)性知所求概率為C31p2(1p)2.5.甲、乙兩人各自向同一目標(biāo)射擊,已知甲命中目標(biāo)的概率為0.7,乙命中目標(biāo)的概率為0.8.求：甲、乙兩人同時命中目標(biāo)的概率；恰有一人命中目標(biāo)的概率；目標(biāo)被命中的概率.解甲、乙兩人各自向同一目標(biāo)射擊應(yīng)看作互相獨(dú)立事件.于是(1)P(AB)P(A)P(B)0.56;(2)P(AB)P(AB)0.38;(3)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.94.總習(xí)題一1.選擇題：設(shè)A,B,C是三個互相獨(dú)立的隨機(jī)事件,且0P(C)1,則在以下給定的四對事件中不互相獨(dú)立的是().(A)AB與C.(B)AC與C.(C)AB與C.(D)AB與C.解因

14、為A,B,C是三個互相獨(dú)立的隨機(jī)事件,故此中隨意兩個事件的和、差、交、并與另一個事件或其逆是互相獨(dú)立的,依據(jù)這一性質(zhì)知(A),(C),(D)三項(xiàng)中的兩事件是互相獨(dú)立的,因此均為擾亂項(xiàng),只有選項(xiàng)(B)正確.一批產(chǎn)品由95件正品和5件次品構(gòu)成,先后從中抽取兩件,第一次拿出后不再放回.求:(1)第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率;(2)抽得一件為正品,一件為次品的概率.解(1)第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率為9551910099.396(1)95559519抽得一件為正品，一件為次品的概率為.100991983.設(shè)有一箱同種類的產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的.已知此中有1的產(chǎn)品是第一家工廠2生產(chǎn)的,

15、其他二廠各生產(chǎn)1.又知第一、第二家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中有2%是次品,第三家工廠4生產(chǎn)的產(chǎn)品中有4%是次品.現(xiàn)此后箱中任取一件產(chǎn)品,求取到的是次品的概率.解此后箱中任取一件產(chǎn)品,必定是這三個廠中某一家工廠的產(chǎn)品.設(shè)A=取到的產(chǎn)品是次品,Bi=取到的產(chǎn)品屬于第i家工廠生產(chǎn),i=1,2,3.因?yàn)锽iBj=(ij,i,j=1,2,3)且B1B2B3=S,所以B1,B2,B3是S的一個區(qū)分.又111P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,244224,P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=100100100由全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)

16、P(A|B3)121214=10041004=0.025.2100某廠自動生產(chǎn)設(shè)施在生產(chǎn)前須進(jìn)行調(diào)整.假定調(diào)整優(yōu)秀時,合格品為90%;假如調(diào)整不行功,則合格品有30%.若調(diào)整成功的概率為75%,某日調(diào)整后試生產(chǎn),發(fā)現(xiàn)第一個產(chǎn)品合格.問設(shè)施被調(diào)整好的概率是多少？解設(shè)A=設(shè)施調(diào)整成功,B=產(chǎn)品合格.則全概率公式獲得0.75.由貝葉斯公式可得P(AB)P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)P(B)0.9.將兩份信息分別編碼為A和B傳達(dá)出去.接收站收到時,A被誤收作B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為0.01,信息A與信息B傳遞的屢次程度為2:1.若接收站收到的信息是A,問原發(fā)信息是A的概率是

17、多少？解以D表示事件“將信息A傳達(dá)出去”，以D表示事件“將信息B傳達(dá)出去”，以R表示事件“接收到信息A”,以R表示事件“接收到信息B”.已知P(RD)0.02,P(RD)0.01,P(D)2,P(D)1.33由貝葉斯公式知P(DR)P(DR)P(RD)P(D)196P(R)P(RD)P(D)P(RD)P(D).197習(xí)題2-21.設(shè)A為任一隨機(jī)事件,且P(A)=p(0p1).定義隨機(jī)變量1,發(fā)生X不發(fā)生.0,A寫出隨機(jī)變量X的散布律.解PX=1=p,PX=0=1-p.或許X01P1-pp已知隨機(jī)變量X只好取-1,0,1,2四個值,且取這四個值的相應(yīng)概率挨次為1,3,5,7.試確立常數(shù)c,并計算

18、條件概率PX1|X0.2c4c8c16c解由失散型隨機(jī)變量的散布律的性質(zhì)知，13571,2c4c8c16c37所以c.161PX18所求概率為PX1|X2c0=0157.PX252c8c16c3.設(shè)隨機(jī)變量X聽從參數(shù)為2,p的二項(xiàng)散布,隨機(jī)變量Y聽從參數(shù)為3,p的二項(xiàng)散布,若PX15,求PY1.9kkqnk52解注意px=k=Cnp,PX11PX01q,由題設(shè)9故q1p2從而.3PY11PY01(2)319.3274.在三次獨(dú)立的重復(fù)試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)成功的概率同樣,已知起碼成功一次的概率為19,求每次試驗(yàn)成功的概率.27解設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p,由題意知起碼成功一次的概率是19，那么一次都沒

19、88127有成功的概率是.即(1p)3,故p=.272735.若X聽從參數(shù)為的泊松散布,且PX1PX3,求參數(shù).解由泊松散布的散布律可知6.一袋中裝有5只球,編號為1,2,3,4,5.在袋中同時取3只球,以X表示拿出的3只球中的最大號碼,寫出隨機(jī)變量X的散布律.解從1，2，3，4，5中隨機(jī)取3個，以X表示3個數(shù)中的最大值，X的可能取值是3，4，5，在5個數(shù)中取3個共有C5310種取法.X=3表示拿出的3個數(shù)以3C221為最大值，PX=3=3=;C510X=4表示拿出的3個數(shù)以4C323為最大值，PX=4=;C5310X=5表示拿出的3個數(shù)以5為最大值，PX=5=C423.C535X的散布律是X

20、345P13310105習(xí)題2-3設(shè)X的散布律為X-101P求散布函數(shù)F(x),并計算概率PX0,PX2,P-2X1.0,x1,0.15,x0,解(1)F(x)=10.35,1,0 x1,x1.PX0=PX=-1=0.15;PX2=PX=-1+PX=0+PX=1=1;P-2x1=PX=-1+PX=0=0.35.設(shè)隨機(jī)變量X的散布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx-x+.試求:(1)常數(shù)A與B;(2)X落在(-1,1內(nèi)的概率.解(1)因?yàn)镕(-)=0,F(+)=1,可知AB()0112A,B.AB()122于是F(x)11arctanx,x.2(2)P1X1F(1)F(1)11(11arcta

21、n(1)(arctan1)2211411()1.22423.設(shè)隨機(jī)變量X的散布函數(shù)為0,x0,F(x)=xx1,21,x1,求PX-1,P0.3X0.7,P0X2.解PX1F(1)0,P0.3X0.7=F(0.7)-F0.3-PX=0.7=0.2,P0X2=F(2)-F(0)=1.115.假定隨機(jī)變量X的絕對值不大于1;PX1,PX1;在事件841X1出現(xiàn)的條件下,X在(-1,1)內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該區(qū)間的長度成正比.(1)求X的散布函數(shù)F(x)PXx;(2)求X取負(fù)值的概率p.解(1)由條件可知,當(dāng)x1時,F(x)0;當(dāng)x1時,F(1)1;8當(dāng)x1時,F(1)=PX1=P(S)=

22、1.所以P1X1F(1)F(1)PX111514.88易見,在X的值屬于(1,1)的條件下,事件1Xx的條件概率為P1Xx|1X1kx(1),取x=1獲得1=k(1+1),所以k=1.2x1所以P1Xx|1X1.于是,對于1x1,2有P1XxP1Xx,1X1P1X1P1Xx|1X15x15x58216.對于x1,有F(x)1.從而0,x1,F(x)5x7,1x1,161,x1.X取負(fù)值的概率7pPX0F(0)PX0F(0)F(0)F(0)F(0).16習(xí)題2-4選擇題2x,x0,c,),則f(x)是某一隨機(jī)變量的概率密度函(1)設(shè)f(x)x假如c=(0,0,c.數(shù).(A)11(C)1.3.(B

23、).(D).322f(x)dx1可得c1,故此題應(yīng)選解由概率密度函數(shù)的性質(zhì)2xdx1,于是c0(C).設(shè)XN(0,1),又常數(shù)c知足PXcPXc,則c等于(2).1(A)1.(B)0.(C).(D)-1.2解因?yàn)镻XcPXc,所以1PXcPXc,即2PXc1,從而PXc0.5,即(c)0.5,得c=0.所以此題應(yīng)選(B).(3)以下函數(shù)中能夠作為某一隨機(jī)變量的概率密度的是().cosx,x0,1x2,(A)(B)f(x),f(x)其他.20,0,其他.(x)21x22e,0,e,x0,(C)f(x)2x(D)f(x)0,x0.0,x0.解由概率密度函數(shù)的性質(zhì)f(x)dx1可知此題應(yīng)選(D).(

24、4)設(shè)隨機(jī)變量XN(,42),YN(,52),P1PX4,P2PY5,則().(A)對隨意的實(shí)數(shù),P1P2.(B)對隨意的實(shí)數(shù),P1P2.(C)只對實(shí)數(shù)的個別值,有P1P2.(D)對隨意的實(shí)數(shù),P1P2.解由正態(tài)散布函數(shù)的性質(zhì)可知對隨意的實(shí)數(shù),有P(1)1(1)P12.所以此題應(yīng)選(A).(5)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fx,且f(x)f(x),又F(x)為散布函數(shù),則對隨意實(shí)數(shù)a,有().aF(a)1F(a)(A)0f(x)dx.(B)(C)F(a)F(a).(D)Fa1af(x)dx.022F(a)1.解由散布函數(shù)的幾何意義及概率密度的性質(zhì)知答案為(B).(6)設(shè)隨機(jī)變量X聽從正態(tài)散布N(1

25、,12),Y聽從正態(tài)散布N(2,22),且PX11PY21,則下式中建立的是().(A)12.(C)12.解對12時,答案是(A).(7)設(shè)隨機(jī)變量X聽從正態(tài)散布N(0,1),對給定的正數(shù)(01),數(shù)u知足PXu,若PXx,則x等于().(A)u.(B)u.(C)u1-.(D)u1.2122解答案是(C).2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X聽從參數(shù)為的指數(shù)散布,要使PkX1建立,應(yīng)當(dāng)2k如何選擇數(shù)k?4解因?yàn)殡S機(jī)變量X聽從參數(shù)為的指數(shù)散布,其散布函數(shù)為1xx0,F(x)e,0,x0.由題意可知1PkX2kF(2k)F(k)(1e2k)(1ek)eke2k.4于是kln2.3.設(shè)隨機(jī)變量X有概率密度30 x

26、1,f(x)4x,0,其他,要使PXaPXa(此中a0)建立,應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù)a?解由條件變形,獲得1PXaPX,可知PXa,于是a0.5a1.4x3dx0.,5所以a0424.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的散布函數(shù)為0,x0,F(x)x2,0 x1,1,x1,求:(1)X的概率密度;(2)P0.3X0.7.解(1)依據(jù)散布函數(shù)與概率密度的關(guān)系F(x)f(x),2x,0 x1,可得f(x)其他.0,(2)X0.7F(0.7)F(0.3)220.4.5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為2x,0 x1,f(x)0,其他,求PX1與P1X2.24PX1111解22xdxx22;2004P1X212xdxx2115.14

27、4416設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X擁有概率密度函數(shù)x,0 x1,f(x)Ax,1x2,0,其他.求:(1)常數(shù)A；(2)X的散布函數(shù)F(x).解(1)由概率密度的性質(zhì)可得1211121x2Axx2A1,xdx(Ax)dx012021于是A2；x(2)由公式F(x)f(x)dx可得當(dāng)x0時,F(x)0;當(dāng)0 x1時,F(x)x1x2;xdx021xx2當(dāng)1x2時,F(x)(2x)dx2x1;xdx102當(dāng)x2時,F(x)1.0,x0,12,0 x,所以F(x)2x22x1,1x2,21,x2.7.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)1(x1),0 x2,40,其他,對X獨(dú)立察看3次,求起碼有2次的結(jié)果大于1

28、的概率.解依據(jù)概率密度與散布函數(shù)的關(guān)系式PaXbF(b)F(a)bf(x)dx,a可得PX121(x1)dx5.148所以,3次察看中起碼有2次的結(jié)果大于1的概率為C32(5)2(3)C33(5)3175.8882568.設(shè)XU(0,5),求對于x的方程4x24Xx20有實(shí)根的概率.解隨機(jī)變量X的概率密度為1x5,f(x)50,其他,若方程有實(shí)根,則16X2320,于是X22.故方程有實(shí)根的概率為PX22=1PX221P2X2121dx052.5設(shè)隨機(jī)變量XN(3,22).(1)計算P2X5,P4X10,P|X|2,PX3；(2)確立c使得PXcPXc;設(shè)d知足PXd,問d至多為多少？解a3X

29、3b3b3a3(1)由Paxb=P2()()公式,獲得2222P2X5=(1)(0.5),P-4X10=(3.5)(3.5)0.9996,P|X|2=PX2+PX2=1(223)+(23)=0.6977,2PX3=1PX31(323)1(0)=0.5.(2)若PXcPXc,得1PXcPxc,所以PXc由(0)=0推得c30,于是c=3.2(d3(3)PXd即1),也就是2(d23)(1.282),因散布函數(shù)是一個不減函數(shù),故(d3)1.282,d322(1.282)0.436.解得10.設(shè)隨機(jī)變量XN(2,2),若P0X4,求PX0.解因?yàn)閄N2,所以ZXN(0,1)由條件P0X4可知.P0X

30、4P02X242(2)(2),于是22,從而(2)0.65.()1所以X0X2022)12.習(xí)題2-5選擇題(1)設(shè)X的散布函數(shù)為F(x),則Y3X1的散布函數(shù)Gy為().(A)F(1y1).(B)F(3y1).33(C)3F(y)1.(D)11F(y).3解由隨機(jī)變量函數(shù)的散布可得,此題應(yīng)選(A).(2)設(shè)XN01,令YX2,則Y().(A)N(2,1).(B)N(0,1).(C)N(2,1).(D)N(2,1).解由正態(tài)散布函數(shù)的性質(zhì)可知此題應(yīng)選(C).2.設(shè)XN(1,2),Z2X3,求Z所聽從的散布及概率密度.解若隨機(jī)變量XN(,2),則X的線性函數(shù)YaXb也聽從正態(tài)散布,即YaXbN(

31、ab,(a)2).這里1,2,所以ZN(5,8).概率密度為1(x5)2f(z)e16,x.4已知隨機(jī)變量X的散布律為X-10137P(1)求Y2X的散布律；(2)求Y3X2散布律.解(1)2X-5-1123P(2)3X2341252P4.已知隨機(jī)變量X的概率密度為1，1x4，fX(x)2xln20，其他，且Y2X,試求Y的概率密度.解先求Y的散布函數(shù)FY(y):FY(y)=PYyP2XyPX2y2y1PX2y=1-fX(x)dx.于是可得Y的概率密度為1y4,fY(y)fX(2y)(2y)=,122(2y)ln20,其他.1,2y1,fY(y)即2(2y)ln20,其他.5.設(shè)隨機(jī)變量X聽從

32、區(qū)間(-2,2)上的均勻散布,求隨機(jī)變量YX2的概率密度.解由題意可知隨機(jī)變量X的概率密度為12x2,fX(x),40,其他.因?yàn)閷τ?y4,FY(y)PYyPX2yPyXyFX(y)FX(y).于是隨機(jī)變量YX2的概率密度函數(shù)為fY(y)fX(y)111fX(y),0y4.2y2y4y1y4,f(y),0即4y0,其他.總習(xí)題二一批產(chǎn)品中有20%的次品,現(xiàn)進(jìn)行有放回抽樣,共抽取5件樣品.分別計算這5件樣品中恰巧有3件次品及至多有3件次品的概率.解以X表示抽取的5件樣品中含有的次品數(shù).依題意知XB(5,0.2).(1)恰巧有3件次品的概率是PX=3=C5332.3(2)至多有3件次品的概率是C

33、5kk5k.0一辦公樓裝有5個同種類的供水設(shè)施.檢查表示,在任一時刻t每個設(shè)施被使用的概率為0.1.問在同一時刻恰有兩個設(shè)施被使用的概率是多少？起碼有1個設(shè)施被使用的概率是多少？至多有3個設(shè)施被使用的概率是多少？起碼有3個設(shè)施被使用的概率是多少？解以X表示同一時刻被使用的設(shè)施的個數(shù)，則XB(5,0.1),PX=k=C5kk5k,k=0,1,5.(1)所求的概率是PX=2=C52230.0729;(2)所求的概率是PX1=1(10.1)5;所求的概率是PX3=1-PX=4-PX=5=0.99954;所求的概率是PX3=PX=3+PX=4+PX=5=0.00856.3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為kx

34、e,0,f(x)x0，x0,且已知PX11,求常數(shù)2kx解由概率密度的性質(zhì)可知dx1獲得k=1.0e1x11由已知條件edx得.1,2ln24.某產(chǎn)品的某一質(zhì)量指標(biāo)XN(160,2),若要求P120X2000.8,問同意最大是多少?解由P120X200P120160X160200160=40(1(4040()2()10.8,獲得(40)0.9,查表得401.29,由此可得同意最大值為31.20.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為(x)=Ae-|x|,-x+.試求:(1)常數(shù)A;(2)P0X1;(3)X的散布函數(shù).解(1)因?yàn)?x)dxAe|x|dx1,即2Aexdx1故2A=1,獲得A=1.02所以1-

35、|x|(x)=e.2(2)P0X1=11xdxe02(3)x1e|x|dx,因?yàn)镕(x)21ex)11e1(00.316.22獲得當(dāng)x0時,1xxF(x)edx2當(dāng)x0時,10 xdxF(x)e2所以X的散布函數(shù)為F(x)ex,2xexdx20ex,1ex,2xe,20,x0.習(xí)題3-1已知隨機(jī)變量X1和X2的概率散布分別為X1-101P111424X201P1122并且PX1X201.求X1和X2的結(jié)合散布律.解由PX1X201知PX1X200.所以X1和X2的結(jié)合散布必形如X201piX1-1P110140P21P22121P31014pj11122于是依據(jù)邊沿概率密度和結(jié)合概率散布的關(guān)系

36、有X1和X2的結(jié)合散布律X201piX1-110144001122110144pj11122(2)注意到PX10,X200,而PX11和X2不獨(dú)立.0PX200,所以X14一盒子中有3只黑球、2只紅球和2只白球,在此中任取4只球.以X表示取到黑球的只數(shù),以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的結(jié)合散布律.解從7只球中取4球只有C7435種取法.在4只球中,黑球有i只,紅球有j只(余下為白球4ij只)的取法為C3iC2jC24ij,i0,1,2,3,j0,1,2,ij4.于是有PX0,Y2C30C22C221,PX1,YC31C21C21635351,3535PX1,YC31C22C2162,Y0C3

37、2C20C2232,PX35,353535PX2,YC32C21C21122,Y2C32C22C2031,PX35,353535PX3,YC33C20C212PX3,Y1C33C21C2020,35,353535PX0,Y0PX0Y,1PXY1,0PXY3,.散布律的表格形式為X0123Y00032353510612235353521630353535設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)k(6xy),0 x2,2y4,0,其他.求:(1)常數(shù)k;(2)PX1,Y3;(3)PX1.5;(4)PXY4.解(1)由f(x,y)dxdy1,得42412221dyk(6xy)dxk(6y)xxd

38、yk(10yy)202201所以k.8(2)PX1,Y3f(x,y)dxdy3dy11y)dx(6xx1,y3208131113113(6y)xx2dyy)dy828(.202281.51.5(3)PX1.5fX(x)dxxdfx(y,)yd41.51xy)dxdy(6208141x2(6y)xdy8220146338(8y)dy2227.32(4)作直線xy4,并記此直線下方地區(qū)與f(x,y)0的矩形地區(qū)交集為G.即G:0 x2,0y4x.見圖3-8.所以48k,2(0,2)(0,4)的PXY4P(X,Y)Gf(x,y)dxdy44x12dy(6xy)dx08G1414xy)x2dy8(6x

39、22014y)(4y)1y)2dy8(6(42214y)1282(4(4y)dy221142(423.8y)(4y)362圖3-8第4題積分地區(qū)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為kxy,x2f(x,y)y1,0 x1,0,其他.試確立k,并求P(X,Y)G,G:x2yx,0 x1.解由11k14k解得k61f(x,y)dxdy0dxx2kxydy20 x(1x)dx6,.1x1241因此P(X,Y)G0dxx26xydy30 x(xx)dx.4設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)概率密度為4.8y(2f(x,y)x),0 x1,0yx,0,其他.求對于X和Y邊沿概率密度.解的概率密度f(x,y)在地區(qū)G:

40、0 x1,0yx外取零值.因此,有(X,Y)xx)dy,0 x1,fX(x)f(x,y)dy4.8y(20其他.0,2.4(2x)x2,0 x1,0,其他.1x)dx,0y1,fY(y)f(x,y)dx4.8y(2y其他.0,2.4y(34yy2),0y1,0,其他.假定隨機(jī)變量U在區(qū)間-2,2上聽從均勻散布,隨機(jī)變量1,若U1,1,若U1,X若UY1,若U1.1,1,試求：(1)X和Y的結(jié)合概率散布；(2)PXY1.解(1)見本章第三節(jié)三(4).(2)PXY11PXY11PX1,Y1113.44習(xí)題3-21.設(shè)(X,Y)的散布律為Y1234X求:(1)在條件100X=2下Y的條件散布律;(2

41、)20PX2Y2.解(1)由3000于PX200.6,所以在條件X=2下Y的條件散布律為PY1|X2PX2,Y11PX2,2PY2|X2PX2,Y200,PX2PY3|X2PX2,Y31PX2,6PY4|X2PX2,Y41PX2,3或?qū)懗蒠k1234PYk|X21011263(2)注意到000.6.PY2PY1PY2而PX2,Y2PX2,Y1PX2,Y2PX3,Y1PX3,Y2000.5.所以PX2Y2PX2,Y25PY2.62.設(shè)平面地區(qū)D由曲線y1及直線y0,x1,xe2所圍成,二維隨機(jī)變量(X,Y)在x地區(qū)D上聽從均勻散布,求(X,Y)對于X的邊沿概率密度在x=2處的值.21e2由題設(shè)知

42、D的面積為SDe2.解dxlnx11x1(x,y)D,所以,(X,Y)的密度為f(x,y),20，其他.由此可得對于X的邊沿概率密度fX(x)f(x,y)dy.明顯,當(dāng)x12時,fX(x)0;當(dāng)1xe2fX1x11或xe時,(x)dy.故022xfX(2)1.4設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)1,0 x1,0y2x,0,其他.求：(1)(X,Y)的邊沿概率密度fX(x),fY(y)；(2)PY1X1.22解(1)當(dāng)0 x1時,fX(x)2xf(x,y)dydy2x;0當(dāng)x0時或x1時,fX()0.x故fX(x)2x,0 x1,0,其他.y當(dāng)0y2時,fY(y)1f(x,y)dx

43、ydx1;22當(dāng)y0時或y2時,fY(y)0.y,0y2,fY(y)1故20,其他.(2)當(dāng)z0時,FZ(z)0;當(dāng)z2時,FZ(z)1;當(dāng)0z0),試求隨機(jī)變量和Z=X+Y的概率密度.解已知X和Y的概率密度分別為1(x)21,y(a,a),.fX(x)2,x(,);fY(y)2ae220,y(a,a).因?yàn)閄和Y互相獨(dú)立,所以1a1(zy2)2fZ(z)fX(zy)fY(y)dye2dy2aa21zaza2a10.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的結(jié)合散布是正方形G=(x,y)|1x3,1y3上的均勻散布,試求隨機(jī)變量U=|X-Y|的概率密度f(u).解由題設(shè)知,X和Y的結(jié)合概率密度為11x3,1y3,f(

44、x,y),40,其他.記F(u)為U的散布函數(shù),拜見圖3-7,則有當(dāng)u0時,F(u)P|XY|u=0;當(dāng)u2時,F(u)1;當(dāng)0u2Y;(2)求Z=X+Y的概率密度fZ(z).117解(1)PX2Yf(x,y)dxdy2dyy)dx(2x.x2y02y24方法一:先求Z的散布函數(shù):FZ(z)P(XYZ)f(x,y)dxdy.xyz當(dāng)z0時,FZ(z)0;當(dāng)0z1時,FZ(z)zzyf(x,y)dxdydy0(2xy)dxD10=z2-1z3;3當(dāng)1z2時,FZ(z)1f(x,y)dxdy111dy(2xy)dxD2z1zy=1-1(2-z)3;3當(dāng)z2時,FZ(z)=1.故Z=X+Y的概率密度

45、為2zz2,0z1,fZ(z)FZ(z)(2z)2,1z2,0,其他.方法二:利用公式fZ()f(,zx)dx:zxf(x,zx)2x(zx),0 x1,0zx1,0,其他2z,0 x1,xz1x,0,其他.當(dāng)z0或z2時,fZ(z)=0;當(dāng)0z1時,fZ(z)z(2z)dxz(2z);0當(dāng)1z1,1|XX及PY.22解(1)當(dāng)x0或y0時,(x,y)=0,所以F(x,y)=0.當(dāng)0 x1,0y2時,(x,y)=x2+1xy,3xy(u,v)dudvxy21uv)dvdu所以F(x,y)(u0031x3y1x2y2.12當(dāng)02時,F(x,y)xyxyx2(u,v)dudv(u,v)dvdu(u

46、,v)dvdu0000 x221uv)dvdu1(2x1)x2(u.0033當(dāng)x1,01,y2時,F(x,y)121uv)dvdu1.(u2003綜上所述,散布函數(shù)為0,x0或y0,1x2y(xy),0 x1,0y2,34F(x,y)1x2(2x1),0 x1,y2,31y(4y),x1,0y2,121,x1,y2.(2)當(dāng)0 x1時,X(x)(x,y)dy2(x2xy)dy2x22x,0332x22x,3故X(x)0,其他.當(dāng)0y2時,Y(y)(x,y)dx1(x2xy)dx11y,0336112,Y(y)3故60,其他.當(dāng)0y2時,X對于Y=y的條件概率密度為(x|y)(x,y)6x22x

47、y.Y(y)2y當(dāng)0 x1時,Y對于X=x的條件概率密度為(y|x)(x,y)3xy.X(y)6x2(4)拜見圖3-10.圖3-10第9題積分地區(qū)圖3-11第9題積分地區(qū)PXY1(x,y)dxdydx(x21xy)dy65.1201x372xy1同理,拜見圖3-11.PYX(x,y)dxdy1dx(x21xy)dy17.2yx0 x32411PX1,Y1F(1,1)1x2y(xy)11)5PY222234|(2,2|X111.222X(x)dx32PXFX()022習(xí)題4-1設(shè)隨機(jī)變量X的散布律為X-202P求E(X)；E(23X);E(X2)；E(3X25).解由定義和數(shù)學(xué)希望的性質(zhì)知E(X

48、)(2)0.400.2;E(X2)(2)20.4020.3220.32.8;E(3X25)3E(X2)5513.4.2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)ex,x0,0,x0.求Y2X和Ze2X的數(shù)學(xué)希望.解exd,E(Y)E(2X)2E(X)2xx20E(Z)E(e2X)0e2xexdx1.35分鐘、第25分鐘和第553.旅客乘電梯從基層到電視塔頂參觀,電梯于每個整點(diǎn)的第分鐘從基層起行.假定一旅客在早八點(diǎn)的第X分鐘抵達(dá)基層侯梯處,且X在區(qū)間0,60上服從均勻散布.求該旅客等待電梯時間的數(shù)學(xué)希望.解已知X在0,60上聽從均勻散布,其概率密度為1,60,f(x)600 x0,其他.記Y為旅客等待電

49、梯的時間,則5X,0X5,Yg(X)25X,5X25,55X,25X55,65X,55X60.所以,E(Y)Eg(X)g(x)f(x)dx160g(x)dx60015x)dx25(25x)dx55x)dx6060(55(55(65x)dx02555=11.67(分鐘).14.某保險企業(yè)規(guī)定,假如在一年內(nèi)顧客的投保事件A發(fā)生,該企業(yè)就補(bǔ)償顧客a元.若一年內(nèi)事件A發(fā)生的概率為p,為使該企業(yè)得益的希望值等于a的10,該企業(yè)應(yīng)當(dāng)要求顧客交多少保險費(fèi)？解設(shè)保險企業(yè)要求顧客交保費(fèi)c元.引入隨機(jī)變量1，事件A發(fā)生,X0,事件A不發(fā)生.則PX1p,PX01p.保險企業(yè)的得益值c，X1,YX0.c,于是E(Y)

50、(ca)PX1cPX0apc.據(jù)題意有apca10%,所以應(yīng)要求顧客角保費(fèi)c(0.1p)a.習(xí)題4-2選擇題(1)已知E(X)1,D(X)3則E3(X2)2().(A)9.(B)6.(C)30.(D)36.解E3(X2)23E(X24X4)3E(X2)4E(X)43D(X)E(X)24E(X)43(3144)36.可見，應(yīng)選(D).(2)設(shè)XB(n,p),E(X)6,D(X),則有().(A)n10,p0.6.(B)n20,p0.3.(C)n15,p0.4.(D)n12,p0.5.解因?yàn)閄B(n,p),所以E(X)=np,D(X)=np(1-p),獲得np=6,np(1-p)=3.6.解之,n

51、=15,p=0.4.可見，應(yīng)選(C).(3)設(shè)X與Y互相獨(dú)立，且都聽從N(,2),則有().(A)E(XY)E(X)E(Y).(B)E(XY)2.(C)D(XY)D(X)D(Y).(D)D(XY)22.解注意到E(XY)E(X)E(Y)0.因?yàn)閄與Y互相獨(dú)立,所以D(XY)D(X)D(Y)22.選(D).在以下結(jié)論中,錯誤的選項(xiàng)是().(A)若XB(n,p),則E(X)np.(B)若XU1,1，則D(X)0.(C)若X聽從泊松散布,則D(X)E(X).(D)若XN(,2),則XN(0,1).解XU(1,1),(ba)2221則D(X).選(B).123已知X,Y獨(dú)立,E(X)=E(Y)=2,E

52、(X2)=E(Y2)=5,求E(3X-2Y),D(3X-2Y).解由數(shù)學(xué)希望和方差的性質(zhì)有E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)=32-22=2,D(3X2Y)9D(X)4D(Y)9E(X2)E(X)24E(Y2)E(Y)29(54)4(54)13.設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3互相獨(dú)立,此中X1聽從區(qū)間0,6上的均勻散布,X2N（0,22）,X3P（3）記YX12X23X3,求E(Y)和D(Y).,解由題設(shè)知E(X1)3,D(X1)(60)23,E(X2)0,D(X2)4,111112E(X3)3,D(X3)2.9由希望的性質(zhì)可得E(Y)E(1X2X3X)E(1X)2E2(X)3E3(X)23

53、320314.3又X1,X2,X3互相獨(dú)立,所以D(Y)D(X12X23X3)D(X1)4D(X2)9D(X3)3449120.94.設(shè)兩個隨機(jī)變量X和Y互相獨(dú)立,且都聽從均值為0,方差為1的正態(tài)散布,求2|XY|的的希望和方差.解記UX11),所以Y.因?yàn)閄N(0,),YN(0,22E(U)E(X)E(Y)0,D(U)D(X)D(Y)1.由此UN(0,1).從而1x2x22x22E(|XY|)E(|U|)2xe2dxe|x|e2dx2;2200E(|U|2)E(U2)D(U)E(U)21021.2故而D(|XY|)D(|U|)E(|U|2)E(|U|)21212.設(shè)隨機(jī)變量XU1,2,隨機(jī)變

54、量1,X0,Y0,X0,1,X0.求希望E(Y)和方差D(Y).解因?yàn)閄的概率密度為1,2,fX(x)31x0,其他.于是Y的散布率為PY1PX00fX(x)dx011dx,-133PY0PX00,PY1PX0+fX(x)dx212dx.0033所以E(Y)10021,11333E(Y2)(1)210201221.33故有D(Y)E(Y2)E(Y)2118.996.設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間-2,2上聽從均勻散布,隨機(jī)變量1,若U1,1,若U1,X若U1.Y若U1.1,1,求E(X+Y),D(X+Y).解(1)隨機(jī)變量(X,Y)的可能取值為(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1).PX1

55、,Y1PU1,U1PU1-111dx,-244PX1,Y1PU1,U10,PX1,Y1PU1,U111dx1,142PX1,Y1PU1,U21114dx.于是得X和Y的結(jié)合密度散布為14YX-11-111421014XY和(XY)2的概率散布分別為X+Y-202PX+Y=k111424(X+Y)204P(X+Y)2=k1122因而可知E(XY)220;D(XY)E(XY)22.44習(xí)題4-3選擇題(1)在以下結(jié)論中,()不是隨機(jī)變量X與Y不有關(guān)的充分必需條件(A)E(XY)=E(X)E(Y).(B)D(X+Y)=D(X)+D(Y).(C)Cov(X,Y)=0.(D)X與Y互相獨(dú)立.解X與Y互相

56、獨(dú)立是隨機(jī)變量X與Y不有關(guān)的充分條件,而非必需條件.選(D).設(shè)隨機(jī)變量X和Y都聽從正態(tài)散布,且它們不有關(guān),則以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是().(A)X與Y必定獨(dú)立(C)X與Y未必獨(dú)立.(B)(X,Y)聽從二維正態(tài)散布(D)X+Y聽從一維正態(tài)散布.解對于正態(tài)散布不有關(guān)和獨(dú)立是等價的.選(A).設(shè)(X,Y)聽從二元正態(tài)散布,則以下說法中錯誤的選項(xiàng)是().(A)(X,Y)的邊沿散布仍舊是正態(tài)散布.(B)X與Y互相獨(dú)立等價于X與Y不有關(guān).(C)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量.(D)由(X,Y)的邊沿散布可完整確立(X,Y)的結(jié)合散布.解只是由(X,Y)的邊沿散布不可以完整確立(X,Y)的結(jié)合散布.選(D

57、)2設(shè)D(X)=4,D(Y)=6,XY=0.6,求D(3X-2Y).解D(3X2Y)9D(X)4D(Y)12Cov(X,Y)944612XYD(X)D(Y)3624122624.727.3.設(shè)隨機(jī)變量X,Y的有關(guān)系數(shù)為0.5,E(X)E(Y)0,E(X2)EY(2)2,求E(XY)2.解E(XY)2E(X2)2E(XY)E(Y2)42Cov(X,Y)E(X)E(Y)42XYD(X)D(Y)4226.4.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的散布律為X12Y0a1b若E(XY)=0.8,求常數(shù)a,b和協(xié)方差Cov(X,Y).解第一由pij1得.其次由i1j10.8E(XY)100.420a110.221b0.2

58、2b得b0.3.從而a.由此可得邊沿散布律X12Y01PXiPYj于是1.4,E(Y)00.5.故Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0.50.1.5.已知隨機(jī)變量(X,Y)N(0.5,4;0.1,9;0),Z=2X-Y,試求方差D(Z),協(xié)方差Cov(X,Z),有關(guān)系數(shù)XZ.解因?yàn)閄,Y的有關(guān)系數(shù)為零,所以X和Y互相獨(dú)立(因X和Y聽從正態(tài)散布).所以D(Z)D(2XY)4D(X)D(Y)44925,Cov(X,Z)Cov(X,2XY)2Cov(X,X)Cov(X,Y).2D(X)08所以XZCov(X,Z)80.8.D(X)D(Z)256.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)聽從二維正態(tài)散布:XN(1

59、,32),YN(0,42);X與Y的有關(guān)系數(shù)XY1XY(1)E(Z),D(Z)；(2)X與Z的有關(guān)系數(shù)XZ;(3)問X與Z,Z3.求:22能否互相獨(dú)立?為何?解(1)因?yàn)閄N(1,32),YN(0,42),所以E(X)1,D(X)9,E(Y)0,D(Y)16,而Cov(X,Y)XYD(X)D(Y)1346.2所以E(Z)E(XY)1E(X)1E(Y)11101,3232323XY1111)D(Z)D()DX()DY()2CXov(Y,329432191161CoXv(Y,1)41(6)3.9433因?yàn)閄Y1111Cov(X,Z)Cov(X,2)D(X)Cov(X,Y)9(6)0,33232所以

60、XZCov(X,Z)0.D(X)D(Z)(3)由XZ0知X與Z不有關(guān),又X與Z均聽從正態(tài)散布,故知X與Z互相獨(dú)立.7證明:對隨機(jī)變量(X,Y),E(XY)=E(X)E(Y)或許D(XY)=D(X)+D(Y)的充要條件是X與Y不有關(guān).證第一我們來證明E(XY)E(X)E(Y)和D(XY)D(X)D(Y)是等價的.事實(shí)上,注意到D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y).所以D(XY)D(X)D(Y)Cov(X,Y)0E(XY)E(X)E(Y).其次證明必需性.假定E(XY)=E(X)E(Y),則Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0.從而Cov(X,Y)0,即X與Y不有關(guān).XYD(X)D