江蘇省常州市部分學(xué)校2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

1、PAGE PAGE 22江蘇省常州市部分學(xué)校2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1已知z2+i，則z（i）（）A6+2iB42iC62iD4+2i2在等邊ABC中，AB1，D為AB邊的中點(diǎn)，則的值為（）ABCD3第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2021年8月在成都舉行，舉辦方將招募志愿者在賽事期間為運(yùn)動(dòng)會(huì)提供咨詢、交通引導(dǎo)、場館周邊秩序維護(hù)等服務(wù)招募的志愿者需接受專業(yè)培訓(xùn)，甲、乙兩名志愿者在培訓(xùn)過程中進(jìn)行了六次測試，其測試成績（單位：分）如折線圖所示，則下列說法正確的是（）A甲成績的中位數(shù)比乙成績的中位數(shù)大B甲成績的眾數(shù)比乙成

2、績的眾數(shù)小C甲成績的極差比乙成績的極差小D乙的成績比甲的成績穩(wěn)定4已知，則的值等于（）ABCD5如圖，已知平面，且l設(shè)梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD則下列結(jié)論一定正確的是（）AABCDB直線AB與CD可能為異面直線C直線AC與BD可能為異面直線D直線AB，CD，l相交于一點(diǎn)62021年江蘇進(jìn)入新高考模式，數(shù)學(xué)增加了多選題，已知在多項(xiàng)選擇題的四個(gè)選項(xiàng)A、B、C、D中，有多項(xiàng)符合題目要求規(guī)定：全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分若某題的正確答案是ABC，某考生隨機(jī)選了一些選項(xiàng)（選項(xiàng)個(gè)數(shù)大于或等于1），則其得分的概率為（）ABCD7在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若滿

3、足條件a3，A60的三角形有兩個(gè)，則b的取值范圍是（）A（2，3）BCD8如圖，點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中不一定正確的是（）ADP平面AB1D1B平面A1CP平面PBDC三棱錐APB1D1的體積不變DA1PBD1二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.9若復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z5+3i（其中i是虛數(shù)單位），則（）Az的虛部為iBz的模為Cz的共軛復(fù)數(shù)為4iDz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限10已知正四面體ABCD的棱長為a，則（）AABCDB四面體AB

4、CD的表面積為a2C四面體ABCD的體積為a3D四面體ABCD的外接球半徑為a11下列命題正確的有（）A+B若（1，1），把向右平移2個(gè)單位，得到的向量的坐標(biāo)為（3，1）C在ABC中，若O點(diǎn)滿足+，則O點(diǎn)是ABC的重心D在ABC中，若（），則P點(diǎn)的軌跡經(jīng)過ABC的內(nèi)心12在ABC中，滿足cos2A+cos2B1，則下列說法正確的是（）ABC若A，B為不同象限角，則的最大值為2D三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13從含有兩件正品a1，a2和一件次品b的3件產(chǎn)品中，按先后順序任意取出兩件產(chǎn)品，每次取出后不放回，取出的兩件產(chǎn)品都是正品的概率為 14已知一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x10，

5、且x12+x22+x1022020，平均數(shù)11，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 15已知向量、滿足為單位向量，且（+）（），|+|，則向量、的夾角是 16如圖，在棱長為的正方體ABCDABCD中，點(diǎn)E、F、G分別是棱AB、BC、CD的中點(diǎn)，則由點(diǎn)E、F、G確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于 四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（1）計(jì)算：（i為虛數(shù)單位）；（2）已知z是一個(gè)復(fù)數(shù)，求解關(guān)于z的方程z3i1+3i（i為虛數(shù)單位）18已知向量（cos，sin+2sin），（sin，cos2cos），且（1）求cos（+）的值；（2）若，（0，），且tan，

6、求2+的值19ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bsinAacos（B）（1）求B；（2）設(shè)a2，b，延長AC到點(diǎn)D使AC2CD，求BCD的面積20如圖，三棱錐PABC的底面是等腰直角三角形，其中ABAC2，PAPB，平面PAB平面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N分別是AB，AC，PC，BC的中點(diǎn)（1）證明：平面EMN平面PAB；（2）當(dāng)PF與平面ABC所成的角為時(shí)，求四棱錐APMNB的體積21習(xí)近平總書記指出：“要健全社會(huì)心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機(jī)制、危機(jī)干預(yù)機(jī)制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛的社會(huì)心態(tài)”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用某心理調(diào)

7、查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機(jī)抽取n位市民進(jìn)行心理健康問卷調(diào)查，按所得評(píng)分（滿分100分）從低到高將心理健康狀況分為四個(gè)等級(jí)：調(diào)查評(píng)分40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100心理等級(jí)有隱患一般良好優(yōu)秀并繪制如圖所示的頻率分布直方圖已知調(diào)查評(píng)分在70，80）的市民為400人（1）求n的值及頻率分布直方圖中t的值；（2）在抽取的心理等級(jí)為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評(píng)分分層抽取3人，進(jìn)行心理疏導(dǎo)據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在40，50）的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，調(diào)查評(píng)分在50，60）的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過心理疏

8、導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，試問在抽取的3人中，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少？（3）心理調(diào)查機(jī)構(gòu)與該市管理部門設(shè)定的預(yù)案是以抽取的樣本作為參考，若市民心理健康指數(shù)平均值不低于0.8，則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值代替，心理健康指數(shù)問卷調(diào)查評(píng)分/100）22如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD底面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，M是棱PC的中點(diǎn)，PAPD2，BCAD1，CD（1）若平面PBC與平面PAD的交線為l，求證

9、：lBC；（2）求直線BM與平面ABCD所成角的正切值；（3）求直線BM與CD所成角的余弦值參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1已知z2+i，則z（i）（）A6+2iB42iC62iD4+2i解：z2+i，（2+i）（22i）44i+2i+262i，故選：C2在等邊ABC中，AB1，D為AB邊的中點(diǎn)，則的值為（）ABCD解：等邊ABC中，AB1，D為AB邊的中點(diǎn)，則（）故選：C3第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2021年8月在成都舉行，舉辦方將招募志愿者在賽事期間為運(yùn)動(dòng)會(huì)提供咨詢、交通引導(dǎo)、場館周邊秩序維護(hù)等服務(wù)招募的志愿者需接受專業(yè)培訓(xùn)，甲、乙兩名志愿者在培訓(xùn)過程中進(jìn)行了

10、六次測試，其測試成績（單位：分）如折線圖所示，則下列說法正確的是（）A甲成績的中位數(shù)比乙成績的中位數(shù)大B甲成績的眾數(shù)比乙成績的眾數(shù)小C甲成績的極差比乙成績的極差小D乙的成績比甲的成績穩(wěn)定解：甲的成績分別為90，93，92，94，96，93，乙的成績分別為93，94，91，95，92，93，A：甲成績的中位數(shù)為93，乙成績的中位數(shù)為93，A錯(cuò)誤，B：甲成績的眾數(shù)為93，乙成績的眾數(shù)為93，B錯(cuò)誤，C：甲成績的極差為96906，乙成績的極差為95914，C錯(cuò)誤，D：甲成績的平均數(shù)為93，甲成績的方差為，乙成績的平均數(shù)為93，乙成績的方差為，乙成績比甲成績穩(wěn)定，D正確故選：D4已知，則的值等于（）A

11、BCD解：，sin（）cos（）cos（+），cos（+）故選：C5如圖，已知平面，且l設(shè)梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD則下列結(jié)論一定正確的是（）AABCDB直線AB與CD可能為異面直線C直線AC與BD可能為異面直線D直線AB，CD，l相交于一點(diǎn)解：梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD，則ABCD不一定成立；AB和CD不為異面直線；AC和BD不為異面直線；由AB、CD相交，設(shè)交點(diǎn)為P，可得P在AB上，又AB在平面內(nèi)，可得P在平面內(nèi)；同理可得P也在平面內(nèi)，則P在平面、的交線上，即直線AB，CD，l相交于一點(diǎn)故選：D62021年江蘇進(jìn)入新高考模式，數(shù)學(xué)增加了多選題，已知在多項(xiàng)選擇題的四個(gè)

12、選項(xiàng)A、B、C、D中，有多項(xiàng)符合題目要求規(guī)定：全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分若某題的正確答案是ABC，某考生隨機(jī)選了一些選項(xiàng)（選項(xiàng)個(gè)數(shù)大于或等于1），則其得分的概率為（）ABCD解：考生隨機(jī)地選了至少一個(gè)選項(xiàng)，共有：+15種，得分的選法有：7種，能得分的概率為P故選：C7在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若滿足條件a3，A60的三角形有兩個(gè)，則b的取值范圍是（）A（2，3）BCD解：由正弦定理得2，所以sinB，因?yàn)槿切斡袃山?，所以sinB1且ba，所以b，解得3故選：C8如圖，點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中不一定正確的是

13、（）ADP平面AB1D1B平面A1CP平面PBDC三棱錐APB1D1的體積不變DA1PBD1解：對(duì)于A，當(dāng)P在C1處時(shí)，易知，DC1AB1，而DC1平面AB1D1，AB1平面AB1D1，故DC1平面AB1D1，故選項(xiàng)A可能正確；對(duì)于B，在正方體ABCDA1B1C1D1中，由三垂線定理可得，A1CBP，A1CBD，而BPBDB，且BP平面PBD，BD平面PBD，故A1C平面PBD，又A1C平面A1CP，故平面A1CP平面PBD，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，而BC1AD1，則易知BC1平面AB1D1，點(diǎn)P在BC1上，則點(diǎn)P到平面AB1D1的距離為定值，故三棱錐APB1D1的體積為定值，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于

14、D，由三垂線定理可知，BD1B1D1，若BD1A1P，則易知BD1平面A1PC1，則BD1BC1，而這顯然不成立，故選項(xiàng)D一定不正確故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.9若復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z5+3i（其中i是虛數(shù)單位），則（）Az的虛部為iBz的模為Cz的共軛復(fù)數(shù)為4iDz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限解：由（1+i）z5+3i，得z4i，所以z的虛部為1，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；|z|，選項(xiàng)B正確；z的共軛復(fù)數(shù)為4+i，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（4，1）位于第四象限，選項(xiàng)D正確故選

15、：BD10已知正四面體ABCD的棱長為a，則（）AABCDB四面體ABCD的表面積為a2C四面體ABCD的體積為a3D四面體ABCD的外接球半徑為a解：A，如圖，取CD中點(diǎn)M，連接BM，AM，可得CDBM，CDAM，即可得CD面ABM，即有CDAB，故正確；B、正四面體ABCD的各棱長為a，正四面體ABCD的表面積4a2故正確；C、如圖，設(shè)A在底面BCF的投影為H，則BH，AH，四面體ABCD的體積為，故錯(cuò)；D、將正四面體ABCD，補(bǔ)成正方體，則正四面體ABCD的棱為正方體的面上對(duì)角線，正四面體ABCD的棱長為a，正方體的棱長為，正四面體的外接球，就是以正四面體的棱為面對(duì)角線的正方體的外接球，

16、球的直徑就是正方體的對(duì)角線的長，所以正方體的對(duì)角線為2R，2R，Ra故正確故選：ABD11下列命題正確的有（）A+B若（1，1），把向右平移2個(gè)單位，得到的向量的坐標(biāo)為（3，1）C在ABC中，若O點(diǎn)滿足+，則O點(diǎn)是ABC的重心D在ABC中，若（），則P點(diǎn)的軌跡經(jīng)過ABC的內(nèi)心解：對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：若（1，1），把向右平移2個(gè)單位，得到的向量的坐標(biāo)為（1，1），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在ABC中，若O點(diǎn)滿足+，如圖所示：整理得：以O(shè)A和OB為鄰邊作平行四邊形，所以，則OC2OE，則O點(diǎn)是ABC的重心，故C正確；對(duì)于D：由于為單位向量，由于（），則P點(diǎn)的軌跡在角平分線上，即經(jīng)過ABC的內(nèi)心，故

17、D正確故選：ACD12在ABC中，滿足cos2A+cos2B1，則下列說法正確的是（）ABC若A，B為不同象限角，則的最大值為2D解：因?yàn)閏os2A+cos2B1，可得+1，所以tanAtanB1，對(duì)于A，由題意可得sinAsinBcosAcosB，可得cos（AB）0，可得A+B，或AB，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，cos2A+cos2B1|cosB|sinA|tanA|，故正確；對(duì)于C，因?yàn)锳，B為不同象限角，所以tanAtanB1，可得tanC+（tanC+）2，故正確；對(duì)于D，因?yàn)閟in2A+sin2B+sin2C2sin（A+B）cos（AB）+2sinCcosC2sinCcos（AB）2sin

18、Ccos（A+B）4sinAsinBsinC，所以4tanAtanB4，故錯(cuò)誤故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13從含有兩件正品a1，a2和一件次品b的3件產(chǎn)品中，按先后順序任意取出兩件產(chǎn)品，每次取出后不放回，取出的兩件產(chǎn)品都是正品的概率為解：從含有兩件正品a1，a2和一件次品b的3件產(chǎn)品中，按先后順序任意取出兩件產(chǎn)品，每次取出后不放回，基本事件總數(shù)n326，取出的兩件產(chǎn)品都是正品包含的基本事件個(gè)數(shù)m212，取出的兩件產(chǎn)品都是正品的概率為P故答案為：14已知一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x10，且x12+x22+x1022020，平均數(shù)11，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為9解：一組樣

19、本數(shù)據(jù)x1，x2，x10，且x12+x22+x1022020，平均數(shù)11，則該組數(shù)據(jù)的方差為（x111）2+（x211）2+（x1011）2（x12+x22+x102）+1012122（x1+x2+x10）（2020+121022110）81，該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為9故答案為：915已知向量、滿足為單位向量，且（+）（），|+|，則向量、的夾角是 解：，又，且，的夾角是故答案為：16如圖，在棱長為的正方體ABCDABCD中，點(diǎn)E、F、G分別是棱AB、BC、CD的中點(diǎn)，則由點(diǎn)E、F、G確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于解：分別取AD中點(diǎn)P，CC1中點(diǎn)M，AA1中點(diǎn)N，可得出過E，F(xiàn)，G三點(diǎn)

20、的平面截正方體所得截面為正六邊形EFMGPN，則正六邊形的邊長MG，故截面多邊形的面積等于S四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（1）計(jì)算：（i為虛數(shù)單位）；（2）已知z是一個(gè)復(fù)數(shù)，求解關(guān)于z的方程z3i1+3i（i為虛數(shù)單位）解：（1）；（2）設(shè)za+bi（a，bR），則，代入z3i1+3i，得a2+b23i（abi）1+3i，即a2+b23b3ai1+3i，則，解得或則z1或z1+3i18已知向量（cos，sin+2sin），（sin，cos2cos），且（1）求cos（+）的值；（2）若，（0，），且tan，求2+的值解：（1）因?yàn)?，所以cos

21、（cos2cos）sin（sin+2sin）0，所以（coscossinsin）2（sin2+cos2）2，所以cos（+）2，即cos（+）（2）因?yàn)椋?，），所以0+，因?yàn)閏os（+），所以sin（+），所以tan（+），因?yàn)閠an，所以tan（2+）1，因?yàn)?+，且cos（+）0，所以0，因?yàn)?，所?2+因?yàn)閠an（2+）1，所以2+19ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bsinAacos（B）（1）求B；（2）設(shè)a2，b，延長AC到點(diǎn)D使AC2CD，求BCD的面積解：（1）bsinAacos（B）由正弦定理，可得bsinAasinB，可得：asinBacos（B），可

22、得：sinBcos（B），化簡可得：tanB，B（0，），B（2）由，可得sinA，可得cosA，sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，所以SABC2SBCDabsinC2，可得SBCD20如圖，三棱錐PABC的底面是等腰直角三角形，其中ABAC2，PAPB，平面PAB平面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N分別是AB，AC，PC，BC的中點(diǎn)（1）證明：平面EMN平面PAB；（2）當(dāng)PF與平面ABC所成的角為時(shí)，求四棱錐APMNB的體積【解答】（1）證明：由題意知，ABAC，E，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，ENAC，ENAB，又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，EN平面A

23、BC，EN平面PAB，EN平面EMN，平面EMN平面PAB（2）解：連接PE，PAPB，且E是AB的中點(diǎn)，PEAB，又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC，PE平面PAB，PE平面ABC，連接EF，則PFE為PF與平面ABC所成的角，即PFE，tanPFEtan，而EF，PEEF，即點(diǎn)P到平面ABC的距離為PE，點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)M到平面ABC的距離為dPE，四棱錐APMNB的體積VVPABCVMANCPESABCdSANC222121習(xí)近平總書記指出：“要健全社會(huì)心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機(jī)制、危機(jī)干預(yù)機(jī)制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛的社會(huì)心態(tài)”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心

24、理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用某心理調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機(jī)抽取n位市民進(jìn)行心理健康問卷調(diào)查，按所得評(píng)分（滿分100分）從低到高將心理健康狀況分為四個(gè)等級(jí)：調(diào)查評(píng)分40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100心理等級(jí)有隱患一般良好優(yōu)秀并繪制如圖所示的頻率分布直方圖已知調(diào)查評(píng)分在70，80）的市民為400人（1）求n的值及頻率分布直方圖中t的值；（2）在抽取的心理等級(jí)為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評(píng)分分層抽取3人，進(jìn)行心理疏導(dǎo)據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在40，50）的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，調(diào)查評(píng)分在50，60）的市民

25、心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，試問在抽取的3人中，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少？（3）心理調(diào)查機(jī)構(gòu)與該市管理部門設(shè)定的預(yù)案是以抽取的樣本作為參考，若市民心理健康指數(shù)平均值不低于0.8，則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值代替，心理健康指數(shù)問卷調(diào)查評(píng)分/100）解：（1）調(diào)查評(píng)分在70，80）的市民為400人，每組的縱坐標(biāo)的和乘以組距10為1，0.84+80t1，解得t0.002（2）調(diào)查評(píng)分在40，50）的頻率為0.002，調(diào)查評(píng)分在50，60）的頻率為0.