畢業(yè)設(shè)計(jì)-因子分析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)第八章 因子分析8.1 什么是因子分析及基本思想1904年Charles Spearman發(fā)表一篇著名論文對(duì)智力測(cè)驗(yàn)得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析視為因子分析的起點(diǎn)。因子分析的形成和發(fā)展有相當(dāng)長(zhǎng)的歷史，最早用以研究解決心理學(xué)和教育學(xué)方面的問(wèn)題，由于計(jì)算量大，又缺少高速計(jì)算的設(shè)備使因子分析的應(yīng)用和發(fā)展受到很大的限制，甚至停滯了很長(zhǎng)時(shí)間。后來(lái)由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，才使因子分析的理論研究和計(jì)算問(wèn)題，有了很大的進(jìn)展。目前這一方法的應(yīng)用范圍已十分廣泛，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、考古學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、地

2、質(zhì)學(xué)以及體育科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域都取得了顯著的成績(jī)。1 什么是因子分析因子分析是主成分分析的推廣和發(fā)展，它也是將具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的變量（或樣品）綜合為數(shù)量較少的幾個(gè)因子，以再現(xiàn)原始變量與因子之間的相互關(guān)系，同時(shí)根據(jù)不同因子還可以對(duì)變量進(jìn)行分類(lèi)，它也是屬于多元分析中處理降維的一種統(tǒng)計(jì)方法。例如，某公司對(duì)100名招聘人員的知識(shí)和能力進(jìn)行測(cè)試，出了50道題的試卷，其內(nèi)容包括的面較廣，但總的來(lái)講可歸納為六個(gè)方面：語(yǔ)言表達(dá)能力、邏輯思維能力、判斷事物的敏捷和果斷程度、思想修養(yǎng)、興趣愛(ài)好、生活常識(shí)等，我們將每一個(gè)方面稱(chēng)為因子，顯然這里所說(shuō)的因子不同于回歸分析中因素，因?yàn)榍罢呤潜容^抽象的一種概念，而后者有著極為明

3、確的實(shí)際意義，如人口密度、工業(yè)總產(chǎn)值、產(chǎn)量等。假設(shè)100人測(cè)試的分?jǐn)?shù)可以用上述六個(gè)因子表示成線(xiàn)性函數(shù)：其中表示六個(gè)因子，它對(duì)所有Xi是共有的因子，通常稱(chēng)為公共因子，它們的系數(shù)稱(chēng)為因子載荷，它表示第i個(gè)應(yīng)試人員在六個(gè)因子方面的能力。是第i個(gè)應(yīng)試人的能力和知識(shí)不能被前六個(gè)因子包括的部分，稱(chēng)為特殊因子，通常假定，仔細(xì)觀察這個(gè)模型與回歸模型在形式上有些相似，實(shí)質(zhì)很不同。這里的的值未知的，并且有關(guān)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義更不一樣。因子分析的任務(wù)，首先是估計(jì)出和方差，然后將這些抽象因子賦予有實(shí)際背景和因子之間的相互關(guān)系，以達(dá)到降維和對(duì)原始變量進(jìn)行分類(lèi)的目的。因子分析的內(nèi)容十分豐富，本章僅介紹因子分析常用的兩種類(lèi)型：

4、R型因子分析（對(duì)變量作因子分析）和Q型因子分析（對(duì)樣品作因子分析）。2 基本思想因子分析的基本思想是通過(guò)變量（或樣品）的相關(guān)系數(shù)矩陣（對(duì)樣品是相似系數(shù)矩陣）內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出能控制所有變量（或樣品）的少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)變量去描述多個(gè)變量（或樣品）之間的相關(guān)（相似）關(guān)系，但在這里，這少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)變量是不可觀測(cè)的，通常稱(chēng)為因子。然后根據(jù)相關(guān)性（或相似性）的大小把變量（或樣品）分組，使得同組內(nèi)的變量（或樣品）之間相關(guān)性（或相似性）較高，但不同組的變量相關(guān)性（或相似性）較低。從全部計(jì)算過(guò)程來(lái)看作R型因子分析與作Q型因子分析都是一樣的，只不過(guò)出發(fā)點(diǎn)不同，R型從相關(guān)系數(shù)矩陣出發(fā)，Q型從相似系數(shù)陣出發(fā)都是對(duì)同一

5、批觀測(cè)數(shù)據(jù)，可以根據(jù)其所要求的目的決定哪一類(lèi)型的因子分析。8.2 因子分析的數(shù)學(xué)模型1 數(shù)學(xué)模型（正交因子模型）R型因子分析數(shù)學(xué)模型用矩陣表示：簡(jiǎn)記為且滿(mǎn)足：1）ii） 即F和是不相關(guān)的；iii）即F1Fm不相關(guān)且方差皆為1。即不相關(guān)，且方差不同。其中是可實(shí)測(cè)的p個(gè)指標(biāo)所構(gòu)成p維隨機(jī)向量，是不可觀測(cè)的向量，F(xiàn)稱(chēng)為X的公共因子或潛因子，即前面所說(shuō)的綜合變量，可以把它們理解為在高維空間中的互相垂直的m個(gè)坐標(biāo)軸；aij稱(chēng)為因子載荷是第i個(gè)變量在第j個(gè)公共因子上的負(fù)荷，如果把變量Xi看成m維因子空間中的一個(gè)向量，則表示Xi在坐標(biāo)軸Fj上的投影，矩陣A稱(chēng)為因子載荷矩陣；稱(chēng)為X的特殊因子，通常理論上要求的

6、協(xié)方差陣是對(duì)角陣，中包括了隨機(jī)誤差。由上述模型滿(mǎn)足的條件可知：是不相關(guān)的。若相關(guān)時(shí)，則D(F)就不是對(duì)角陣，這時(shí)的模型稱(chēng)為斜交因子模型，本章將不討論這種模型。類(lèi)似地，Q型因子分析數(shù)學(xué)模型為：此時(shí)X1, X2, , Xn表示n個(gè)樣品。因子分析的目的就是通過(guò)模型代替X，由于，從而達(dá)到簡(jiǎn)化變量維數(shù)的愿望。因子分析和主成分分析有很多相似之處，在求解過(guò)程中二者都是從一個(gè)協(xié)方差陣（或相似系數(shù)陣）出發(fā)，但這兩種模型是有區(qū)別的，主成分分析的數(shù)學(xué)模型實(shí)質(zhì)上是一種變換，而因子分析模型是描述原指標(biāo)X協(xié)方差陣結(jié)構(gòu)的一種模型，當(dāng)時(shí)，主不能考慮，此時(shí)因子分析也對(duì)應(yīng)于一種變量變換，但在實(shí)際應(yīng)用中，m都小于p，且為經(jīng)濟(jì)起見(jiàn)總

7、是越小越好。另外在主成分分析中每個(gè)主成分相應(yīng)的系數(shù)是唯一確定的，即因子戴荷陣不是唯一的，若為任一個(gè)階正交陣，則因子模型可寫(xiě)成：，仍滿(mǎn)足約束條件，即，所以也是公共因子，也是因子載荷陣。因子載荷這個(gè)不唯一性，從表面上看是不利的，但后面將會(huì)看到當(dāng)因子載荷陣A的結(jié)構(gòu)不夠簡(jiǎn)化時(shí)，可對(duì)A實(shí)行變換以達(dá)到簡(jiǎn)化目的，使新的因子更具有鮮明的實(shí)際意義。從因子分析的數(shù)學(xué)模型上看，它與多變量回歸分析也有類(lèi)似之處，但本質(zhì)的區(qū)別是因子分析模型作為“自變量”的F是不可觀測(cè)的。因子模型中公共因子、因子載荷和變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義為了便于對(duì)因子分析計(jì)算結(jié)果做解釋?zhuān)瑢⒁蜃臃治鰯?shù)學(xué)模型中各個(gè)量的統(tǒng)計(jì)意義加以說(shuō)明是十分必要的。假定因子模

8、型中，各個(gè)變量以及公共因子、特殊因子都已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)化（均值為0，方差為1）的變量。（1）因子戴荷的統(tǒng)計(jì)意義已知模型：兩端后乘Fj得：于是由于在標(biāo)準(zhǔn)化下有：因此所以上式可寫(xiě)成：（因?yàn)楦饕蜃硬幌嚓P(guān)，所以相關(guān)系數(shù)為0）故因子載荷的統(tǒng)計(jì)意義就是第i個(gè)變量與第j個(gè)公共因子的相關(guān)系數(shù)即表示Xi依賴(lài)Fj的份量（比重）。因此用統(tǒng)計(jì)學(xué)的術(shù)語(yǔ)應(yīng)該叫作權(quán)，但由于歷史的原因，心理學(xué)家將它叫做載荷，即表示第i個(gè)變量在第j個(gè)公共因子上的負(fù)荷，它反映了第i個(gè)變量在第j個(gè)公共因子上的相對(duì)重要性。（2）變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義所謂變量Xi的共同度定義為因子載荷陣A中第i行元素的平方和，即為了說(shuō)明它的統(tǒng)計(jì)意義，將下式兩邊求方差，即V由

9、于Xi已標(biāo)準(zhǔn)化了，所以有此式說(shuō)明變量Xi的方差由兩部分組成：第一部分為共同度，它刻劃全部公共因子對(duì)變量Xi的總方差所作的貢獻(xiàn)，越接近1，說(shuō)明該變量的幾乎全部原始信息都被所選取的公共因子說(shuō)明了，如則說(shuō)明Xi的97%的信息被m個(gè)公共因子說(shuō)明了，也就是說(shuō)由原始變量空間轉(zhuǎn)為因子空間轉(zhuǎn)化的性質(zhì)越好，保留原來(lái)信息量多，因此是Xi方差的重要組成部分。當(dāng)時(shí)，說(shuō)明公共因子對(duì)Xi影響很小，主要由特殊因子來(lái)描述。第二部分是特定變量所產(chǎn)生的方差，稱(chēng)為特殊因子方差僅與變量Xi本身的變化有關(guān)，它是使Xi的方差為1的補(bǔ)充值。（3）公因子Fj的方差貢獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)意義將因子載荷矩陣中各列元素的平方和記為稱(chēng)Sj為公共因子Fj對(duì)X的貢

10、獻(xiàn)，即Sj表示同一公共因子Fj對(duì)諸變量所提供的方差貢獻(xiàn)之總和，它是衡量公共因子相對(duì)重要性指標(biāo)。8.3 因子載荷陣的估計(jì)方法要建立某實(shí)際問(wèn)題的因子模型，關(guān)鍵是要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)矩陣估計(jì)因子載荷矩陣A。對(duì)A的估計(jì)方法有很多，這里僅介紹使用較為普遍的主成分法。設(shè)隨機(jī)向量的協(xié)差陣為為的特征根，為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量（只要特征根不等，對(duì)應(yīng)的單位特征向量一定是正交的），則根據(jù)線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)可分解為：上面的分解式恰是公共因子與變量個(gè)數(shù)一樣多且特殊因子的方差為0時(shí)，因子模型中協(xié)差陣的結(jié)構(gòu)。因?yàn)檫@時(shí)因子模型為：其中所以即，對(duì)照的分解式，則因子載荷陣A的j列應(yīng)該是，也就是說(shuō)除常數(shù)外，第j列因子載荷恰是第j個(gè)主成分的

11、系數(shù)ej，故稱(chēng)為主成分法。上邊給出的表達(dá)式是精確的，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)總是希望公共因子個(gè)數(shù)小于變量的個(gè)數(shù)即mp，當(dāng)最后p-m個(gè)特征根較小時(shí)，通常是略去最后p-m項(xiàng)對(duì)的貢獻(xiàn)，于是得到上式是假定了因子模型中的特殊因子是不重要的，因而從的分解中忽略掉特殊因子的方差。如果考慮了特殊因子以后，協(xié)差陣為：當(dāng)未知，可用樣本協(xié)差陣S去代替，要經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化處理，則S與相關(guān)陣R相同，仍然可作上面類(lèi)似的表示。一般設(shè)為樣本相關(guān)陣R的特征根，相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量為，設(shè)，則因子載荷陣的估計(jì)即8.4 因子旋轉(zhuǎn)建立因子分析數(shù)學(xué)模型的目的不僅要找出公共因子以及對(duì)變量進(jìn)行分組，更重要的是要知道每個(gè)公共因子的意義，以便對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出科

12、學(xué)的分析，如果每個(gè)公共因子的涵義不清，不便于進(jìn)行實(shí)際背景的解釋?zhuān)@時(shí)根據(jù)因子載荷陣的不唯一性，可知因子載荷實(shí)際旋轉(zhuǎn)即用一個(gè)正交陣右乘A（由線(xiàn)性代數(shù)知道一個(gè)正交變換，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系的一次旋轉(zhuǎn)）使旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，便于對(duì)公共因子進(jìn)行解釋。所謂結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化就是使每個(gè)變量?jī)H在一個(gè)公共因子上有較大的載荷，而在其余公共因子上的載荷比較小，至多是中等大小。這種變換因子載荷陣的方法稱(chēng)為因子軸的旋轉(zhuǎn)，而旋轉(zhuǎn)的方法有多種，如正交旋轉(zhuǎn)，斜交旋軸等，本節(jié)只介紹常用的方差最大正交旋轉(zhuǎn)法。首先考慮m=2的情形。設(shè)因子載荷陣對(duì)A按行計(jì)算共同度?？紤]到各個(gè)變量Xi的共同度之間的差異所造成的不平衡，需對(duì)A中的元素進(jìn)行規(guī)格化處

13、理，即每行的元素用每行的共同度除之。然后對(duì)規(guī)格化后的矩陣，為書(shū)寫(xiě)方便仍記為A，施行方差最大正交旋轉(zhuǎn)。設(shè)正交陣記B=AT這樣做的目的是使因子載荷陣A的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，換句話(huà)說(shuō)，使載荷陣的每一列元素的平方值向0或1兩極分化或者說(shuō)公共因子的貢獻(xiàn)越分散越好，這實(shí)際上希望將變量分成兩部分，一部分主要與第一公共因子有關(guān)，另一部分與第二公共因子有關(guān)，因此，要求兩組數(shù)據(jù)的方差V1和V2要盡可能地大。為此，正交旋的角度必須滿(mǎn)足使旋轉(zhuǎn)后所得到因子載荷陣的總方差達(dá)到最大值，即達(dá)到最大值（這里V的表達(dá)式形式類(lèi)似一元統(tǒng)計(jì)中樣本方差，可寫(xiě)成形式）根據(jù)求極值原理，先求V對(duì)的導(dǎo)數(shù)。令經(jīng)過(guò)計(jì)算，其旋轉(zhuǎn)角度可按下面公式求得：記則根據(jù)的

14、分式的分子和分母取值的正負(fù)號(hào)來(lái)確定角的取值范圍如下表：分子取值符號(hào)分母取值符號(hào)取值范圍取值范圍+00+- +-如果公共因子有m個(gè)，則需逐次對(duì)每?jī)蓚€(gè)公共因子進(jìn)行上述旋轉(zhuǎn)，也就是說(shuō)對(duì)每?jī)蓚€(gè)因子所決定的因子面正交旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，每次的轉(zhuǎn)角,必須滿(mǎn)足使旋轉(zhuǎn)后所得到的因子載荷陣的總方差達(dá)到最大值，即使達(dá)到最大，其中為如下的正交陣：沒(méi)有標(biāo)明的元素均為0。A經(jīng)過(guò)Tkj旋轉(zhuǎn)（變換）后，矩陣，其元素為其中旋轉(zhuǎn)角度仍按下面公式求得：m個(gè)因子，每次取兩個(gè)全部配對(duì)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，共需旋轉(zhuǎn)次，算做一個(gè)循環(huán)完畢，如果循環(huán)完畢得出的因子載荷陣還沒(méi)有達(dá)到目的，則可以繼續(xù)進(jìn)行第二槍次配對(duì)旋轉(zhuǎn)，具體地說(shuō)如果第一輪旋轉(zhuǎn)完畢的因子載荷陣記為

15、,則可寫(xiě)成：即對(duì)A施行正交變換C1而得B(1)，并計(jì)算載荷陣B(1)的方差記為V(1)，在第一輪循環(huán)完畢的基礎(chǔ)上，從B(1)出發(fā)進(jìn)行第二輪旋轉(zhuǎn)循環(huán)，旋轉(zhuǎn)完畢得B(2)，則B(2)可寫(xiě)：從B(2)算出V(2)。顯然（從算出。如此不斷重復(fù)旋轉(zhuǎn)循環(huán)可得V值的一個(gè)非降序列：因?yàn)橐蜃虞d荷的絕對(duì)值不大于1，故這個(gè)序列是有上界的，于是有極限記為，即為V的最大值。因此只要循環(huán)次數(shù)k充分大，就有為所要求的精度。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)過(guò)若干次旋轉(zhuǎn)之后，若相對(duì)方差改變不大，則停止旋轉(zhuǎn)，最后得即為旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣。8.5 因子得分因子分析的數(shù)學(xué)模型是將變量（或樣品）表示為公共因子的線(xiàn)性組合：由于公共因子能反映原始變量的

16、相關(guān)關(guān)系，用公共因子代表原始變量時(shí)，有時(shí)更有利于描述研究對(duì)象的特征，因而往往需要反過(guò)來(lái)將公共因子表示為變量（或樣品）的線(xiàn)性組合，即稱(chēng)上式為因子得分的函數(shù)。用它來(lái)計(jì)算每個(gè)樣品的公共因子得分。比如，則將每個(gè)樣品的p個(gè)變量值代入上式即可算出每個(gè)樣品的因子得分和，這樣就可以在二維平面上作出因子得分的散點(diǎn)圖，進(jìn)而對(duì)樣品進(jìn)行分類(lèi)或作為下一步分析原始數(shù)據(jù)時(shí)對(duì)問(wèn)題做更深入的研究。由于因子得分函數(shù)中方程的個(gè)數(shù)m小于變量的個(gè)數(shù)p，因此不能精確計(jì)算出因子得分，只能對(duì)因子得分進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)因子得分有很多方法如加權(quán)最小二乘法、回歸法等。下面僅介紹回歸法，它是1939年由Thomson提出來(lái)的，所以又稱(chēng)為湯姆森回歸法。T

17、homson假設(shè)公共因子可以對(duì)p個(gè)變量作回歸，對(duì)變量的回歸方程為由于假設(shè)變量及公共因子都已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化了，所以。下面先求這些回歸系數(shù)，然后給出因子得分的計(jì)算公式。由于因子得分的值是待估的，我們僅知道利用樣本值可得因子載荷陣。由因子載荷的意義知：即其中因此 記則于是其中這就是估計(jì)因子得分的計(jì)算公式。8.6 計(jì)算步驟及實(shí)例設(shè)原始數(shù)據(jù)資料如下表： 變量樣品X1X2Xp1x11x12x1p2x21x22x2pnxn1xn2xnp第一步 將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，為書(shū)寫(xiě)方便仍記為。第二步 建立變量的相關(guān)系數(shù)陣其中 若作Q型因子分析，則建立樣品的相似系數(shù)陣。其中以下步驟類(lèi)似，只是將相關(guān)陣R改變成相似陣Q即可。第三步

18、求R的特征根及相應(yīng)的單位特征向量，分別記為和記根據(jù)累計(jì)貢獻(xiàn)率的要求比如，取前m個(gè)特征根及相應(yīng)的特征向量寫(xiě)出因子載荷陣：第四步 對(duì)A放行方差最大正交旋轉(zhuǎn)。第五步 計(jì)算因子得分。例1 將上一章例子對(duì)全國(guó)30個(gè)省市自治區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展八項(xiàng)指標(biāo)作因子分析。首先對(duì)原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，以消除量綱的影響；第二步 建立指標(biāo)間的相關(guān)系數(shù)陣R。X1X2X3X4X5X6X7X8X11.0000.2670.9510.1910.617-0.274-0.2640.874X20.2671.0000.4260.718-0.151-0.234-0.5930.363X30.9510.4261.0000.4000.431-0.282-0.

19、3590.792X40.1910.7180.4001.000-0.356-0.134-0.5390.104X50.617-0.1510.431-0.3561.000-0.2550.0220.659X6-0.274-0.234-0.282-0.134-0.2551.0000.760-0.126X7-0.264-0.593-0.359-0.5390.0220.7601.000-0.192X80.8740.3630.7920.1040.659-0.126-0.1921.000第三步 求R的特征值和特征向量。序號(hào)特征值方差貢獻(xiàn)率%累積貢獻(xiàn)率%13.75546.94346.94322.19527.443

20、74.38631.21415.17889.56440.4035.03394.59650.2132.66097.25660.1391.73798.99376.594E-020.82499.81781.462E-020.183100.00由于前三個(gè)特征值的累計(jì)貢獻(xiàn)率已達(dá)89.564%。所以取前三個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量如下：第一特征向量u1第二特征向量u2第三特征向量u30.0.0.192410.0.0.0.0.0.19241-0.319440.0.0.0.404310.245050.0.-0.247770.-0.488680.-0.262670.0.第四步 建立因子載荷陣。 因子指標(biāo)Compon

21、ent123X10.8850.3830.121X20.606-0.5990.270X30.9120.1600.212X40.466-0.7240.366X50.4860.739-0.273X6-0.5090.2480.797X7-0.6190.5940.438X80.8230.4260.212第五步 對(duì)因子載荷陣實(shí)行方差最大旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩陣如下：正交因子表 因子指標(biāo)Component123X10.9550.125-0.132X20.2170.841-0.212X30.8170.352-0.138X45.102E-020.927-0.114X50.752-0.505-0.190X6-0.136

22、-8.325E-030.968X7-0.102-0.4960.820X80.9440.111-1.465E-02以上表可見(jiàn)，每個(gè)因子只有少數(shù)幾個(gè)指標(biāo)的因子載荷較大，因此可根據(jù)上表進(jìn)行分類(lèi)，將8個(gè)指標(biāo)按高載荷分成三類(lèi)，列于下表：高載荷指標(biāo)意 義1X1：GDPX3：固定資產(chǎn)投資X8：工業(yè)總產(chǎn)值總量因子2X2：居民消費(fèi)水平X4：職工平均工資X5：貨物周轉(zhuǎn)量消費(fèi)因子3X6：居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)X7：商品零售價(jià)格指數(shù)價(jià)格因子第一個(gè)因子在指標(biāo)X1、X2、有較大的載荷，這些是從GDP、固定資產(chǎn)投資、工業(yè)總產(chǎn)值三個(gè)方面反映經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的，因此命名為總量因子。第二個(gè)因子在指標(biāo)X2、X4、X5有較大的載荷，這些是從居

23、民消費(fèi)水平，職工平均工資、貨物周轉(zhuǎn)量這三方面反映經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的，因此命名為消費(fèi)因子。第三個(gè)因子在指標(biāo)X6、X7有較大的載荷，因此命名為價(jià)格因子。例2 利用1995年的數(shù)據(jù)對(duì)我國(guó)社會(huì)發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行綜合考察。原始數(shù)據(jù)如下：地 區(qū)人均GDP（元）X1新增固定資產(chǎn)（億元）X2城鎮(zhèn)居民人均年可支配收入（元）X3農(nóng)村居民家庭人均純收入（元）X4高等學(xué)校數(shù)（所）X5衛(wèi)生機(jī)構(gòu)數(shù)（個(gè)）X6北京1026530.8162353223654995天津816449.1349292406213182河北337677.76392116684710266山西281933.9733051206265922內(nèi)蒙301354.512

24、8631208194915遼寧6103124.0237061756616719吉林370328.6531741609433891黑龍江442748.5133751766387637上海15204128.9371914245455288江蘇5785101.09463424566712039浙江614941.8862212966378721安徽252155.7437951302356593福建538618.3545062048304537江西237626.2833761537315423山東4473102.54426417154810463河南247571.3632991231507661湖北33

25、4137.7540281511569744湖南270143.1046991425479137廣東638051.8274382699428848廣西277232.5247911446275571海南48205.354770151951653四川251680.97400211586418885貴州155322.0739311086223934云南249048.4840851010266395陜西234426.313309962466215甘肅192514.843152880174131青海29104.163319102971176寧夏26857.94338299871028新疆395326.654

26、1631136213932資料來(lái)源：中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒。第一步 將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。第二步 建立指標(biāo)間相關(guān)系數(shù)陣R如下：X1X2X3X4X5X6X11.000.460.760.930.29-0.06X20.461.000.260.450.660.57X30.760.261.000.850.250.13X40.930.450.851.000.390.09X50.290.660.250.391.000.75X6-0.060.570.130.090.751.00第三步 求R的特征值和累計(jì)貢獻(xiàn)率。序號(hào)特征值方差貢獻(xiàn)率累計(jì)貢獻(xiàn)率13.55.4108355.410821.29.8446385.255530.8.209

27、7293.465240.4.3998597.865050.884651.4744299.339560.0.66054100.0000第四步 建立因子載荷陣。由于前三個(gè)特征值的累計(jì)貢獻(xiàn)率已達(dá)93.46%，故取前三個(gè)特征值建立因子載荷陣如下： 因子指標(biāo)FactorFactorFactor12310.-0.0.20.0.315040.30.0.-0.0078940.0.336650.50.0.0.6-0.307760.0.第五步 將因子載荷陣實(shí)行方差最大正交旋轉(zhuǎn)，得正交因子表如下： 因子指標(biāo)FactorFactorFactor123X10.-0.186840.X20.0.0.X30.0.-0.X40

28、.0.0.54662X50.0.0.86750X6-0.246890.0.第六步 將六個(gè)指標(biāo)按高載荷分成三類(lèi)，并結(jié)合專(zhuān)業(yè)知識(shí)對(duì)各因子給此命名如下：高載荷指標(biāo)因子命名1人均GDP城鎮(zhèn)居民人均年可支配收入農(nóng)村居民家庭人均純收入收入因子2高等學(xué)校數(shù)衛(wèi)生機(jī)構(gòu)數(shù)社會(huì)因子3新增固定資產(chǎn)投資因子例3 對(duì)我國(guó)30個(gè)省市自治區(qū)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)情況作因子分析。從農(nóng)業(yè)生產(chǎn)條件和生產(chǎn)結(jié)果及效益出發(fā)，選取六項(xiàng)指標(biāo)分別為：X1鄉(xiāng)村勞動(dòng)力人口（萬(wàn)人）、X2人均經(jīng)營(yíng)耕地面積（畝）、X3戶(hù)均生產(chǎn)性固定資產(chǎn)原值（元）、X4家庭基本純收入（元）、X5人均農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值（千元/人）、X6增加值占總產(chǎn)值比重（%），原始資料數(shù)據(jù)如下頁(yè)表。第一步

29、將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化如第194頁(yè)表。序號(hào)地 區(qū)X1X2X3X4X5X61北 京66.90.932972.413290.732.52549.72天 津80.21.644803.542871.621.77449.63河 北1621.82.034803.542871.810.8004544山 西635.42.762257.661499.140.55556.25內(nèi)蒙古514.110.175834.941550.150.905166.46遼 寧605.12.963108.862059.351.475253.17吉 林534.24.734767.511940.461.115463.18黑龍江494.88.24

30、5573.022075.421.628357.89上 海661.021660.034571.813.044835.610江 蘇1530.21.262826.862868.331.192150.611浙 江1123.10.945494.233289.070.856563.312安 徽1953.61.443573.621508.240.575659.213福 建775.80.822410.052295.191.149662.814江 西1103.21.32310.981804.930.664959.915山 東2475.11.443109.111989.530.88095516河 南2815.81

31、.53782.261508.360.582358.517湖 北1296.51.62291.61754.130.879962.818湖 南2089.31.422348.721719.180.58764.719廣 東1439.80.883249.612928.241.09659.720廣 西1579.91.433090.171590.90.569464.521海 南165.91.354454.771575.490.353565.222四 川3903.71.082870.451340.610.444364.123貴 州1376.61.182282.271206.250.289265.424云 南16

32、42.22.424025.061096.730.345664.225西 藏88.62.5111559.831257.710.434970.426陜 西1046.12.62228.551091.960.438359.727甘 肅6725.862879.361037.120.488357.228青 海137.12.626725.111133.060.409670.329寧 夏139.14.015607.971346.890.497362.530新 疆288.53.967438.131161.711.493957.8資料來(lái)源：中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒1997，其中家庭基本純收入是由兩部分組成即家庭經(jīng)營(yíng)收入和勞動(dòng)

33、者報(bào)酬收入，人均農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值是用農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值/鄉(xiāng)村勞動(dòng)力人口。X1X2X3X4X5X6北 京-1.1238-0.7543-0.52641.73052.5341-1.4575天 津-1.1090-0.42090.39071.20491.3371-1.4285河 北0.6089-0.23780.56250.0688-0.2146-0.7893山 西-0.49030.1048-0.8844-0.5164-0.6057-0.4697內(nèi)蒙古-0.62543.58370.9074-0.425-0.04771.0120遼 寧-0.1987-0.45800.186120.8608-0.9200吉 林-0.6030

34、1.02970.37270.03700.58470.5326黑龍江-0.64692.67760.77620.20621.1048-0.2372上 海-1.1248-0.7120-1.18373.33733.3625-3.4623江 蘇0.5069-0.5993-0.59931.20070.4096-1.2832浙 江0.0532-0.74960.73671.7284-0.12520.5617安 徽-0.9787-0.5148-0.2252-0.5050-0.5729-0.0338福 建-0.3338-0.8059-0.80810.48190.34190.4890江 西0.0310-0.5805

35、-0.8577-0.1329-0.43060.0677山 東1.5599-0.5148-0.45790.0985-0.0863-0.6440河 南1.9396-0.4866-0.1207-0.5049-0.5622-0.1355湖 北0.2464-0.4397-0.8674-0.1966-0.08790.4890湖 南1.1299-0.5242-0.8388-0.2405-0.55470.7651廣 東0.4061-0.7777-0.38751.27590.25640.0387廣 西0.5622-0.4674-0.4014-0.58280.7360海 南-1.0135-0.51950.2160

36、-0.4207-0.92690.8377四 川3.1520-0.6838-0.5774-0.7153-0.78220.6779貴 州0.3557-0.6369-0.8721-0.8838-1.02940.8667云 南0.6317-0.05470.0008-1.0212-0.93950.6924西 藏-1.0996-0.01253.7750-0.8192-0.79721.5931陜 西-0.03260.0297-0.8990-1.0271-0.79170.0387甘 肅-0.44951.5602-0.5640-1.0959-0.7120-0.3244青 海-1.04560.03911.3532

37、-0.9756-0.83751.5786寧 夏-1.04340.69170.7937-0.7074-0.69770.4455新 疆-0.87690.66821.7104-0.93970.8906-0.2372第二步 建立指標(biāo)間的相關(guān)系數(shù)陣R：第三步 求R的特征值和特征向量。序 號(hào)特征值貢獻(xiàn)率累積貢獻(xiàn)率（%）12.776546.275646.275621.740929.016075.291730.711611.861287.152940.43347.224894.377850.23693.948498.326360.10041.6736100由于前三個(gè)特征值累積貢獻(xiàn)率已達(dá)87.15%，所以取前三

38、個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量如下：u1u2u30.1460-0.6242-0.18540.16310.52700.75470.24210.52720.5369-0.54630.01530.2325-0.54550.2317-0.04220.54530.02250.2276第四步 列出因子載荷矩陣表。 因子指標(biāo)a1a2a3X10.2433-0.8236-0.15640.7621X20.27180.69540.63660.9629X30.40350.69570.45290.8520X4-0.91030.02020.19610.8675X5-0.90890.3057-0.03560.9210X60.90

39、860.02960.1920.8634第五步 對(duì)因子載荷陣實(shí)行方差最大正交旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩陣如下：因子指標(biāo)F1F2F3X1-0.3793-0.7252-0.3036X2-0.10460.21780.9510X3-0.29570.86980.0890X40.88620.0265-0.2852X50.94990.12060.0645X6-0.89760.2402-0.0009由上表可見(jiàn)，每個(gè)因子只對(duì)應(yīng)少數(shù)幾個(gè)指標(biāo)的因子載荷較大，因此可根據(jù)上表對(duì)指標(biāo)進(jìn)行分類(lèi)。第六步 將六項(xiàng)指標(biāo)按高載荷分成三類(lèi)，并結(jié)合專(zhuān)業(yè)知識(shí)給出各因子的命名如下：高載荷指標(biāo)命 名因子一X4家庭基本純收入X5人均產(chǎn)值X6增加值占總產(chǎn)值比重產(chǎn)