仿射變換和保距變換教學(xué)課件

1、仿射變換和保距變換胡努春浙江師范大學(xué)數(shù)學(xué)系/hnc參考書尤承業(yè)解析幾何（北大）陳志杰 高等代數(shù)與解析幾何（第二版）（華師大）全等與相似全等相似透視圖法（建筑、繪畫）張順燕數(shù)學(xué)的美與理歐氏幾何, 仿射幾何，射影幾何平移，旋轉(zhuǎn) 鏡面反射（全等）保持共線性、平行性和簡比，但長度、角度改變保持共線性和交比，但平行性改變平行投影中心投影保持長度（距離），角度位置，只是位置發(fā)生變化（中心在無窮遠點）知識要點（5.1-5.4）（綜合法，解析法）平面的仿射（保距）變換仿射（保距）變換基本定理仿射（保距）變換的坐標(biāo)表示仿射（度量）性質(zhì)仿射（度量）分類射影變換?平面上的變換群（P:177）平移（P:176例5.1

2、.1），旋轉(zhuǎn)（P:176例5.1.2），反射（P:177例5.1.3）伸縮變換（P:177例5.1.4），位似（相似）變換（P:184例5.3.1）， 錯切變換（P:185例5.3.2）定義：一個集合G，如果它的元素都是平面上的可逆變換且滿足：（1）G中任何元素的逆也在G中，（2）G中任何兩個元素的復(fù)合也在G中，則稱G是平面上的一個變換群平移全體是變換群，但旋轉(zhuǎn)全體不是變換群（中心不同）保距變換（點變換）（P:178）定義：平面上的一個變換f如果滿足：對平面上的任意兩點A,B,總有： d(f(A),f(B)=d(A,B) 則稱f是平面上的一個保距變換。平移，旋轉(zhuǎn)（剛體運動），反射都是保距離變換

3、（反之保距變換即為平移，旋轉(zhuǎn)，反射的組合 P:182 Th5.2.3）保距變換是可逆變換，且其逆變換也是保距變換（P:179 Prop5.2.2）（保距變換群）保距變換把直線變?yōu)橹本€，并保持距離與角度（P:179 Prop5.2.1）（全等）注：彎曲空間的保距映射保持曲面的高斯曲率（絕妙定理，在微分幾何和廣義相對論中居于中心地位，內(nèi)蘊微分幾何）仿射變換（點變換）（P:184）定義：平面上的一個可逆變換，如果把共線點組變?yōu)楣簿€點組，則稱為平面的一個仿射變換。(幾何角度) （與書本定義等價（代數(shù)角度）伸縮變換（P:184例5.3.1），位似變換（P:184例5.3.1）， 錯切變換（P:185例5

4、.3.2）仿射變換可分解為保距變換和伸縮變換的組合 （P:192定理5.3.2）仿射變換把直線變?yōu)橹本€，并保持直線的平行性（P:185 Prop5.3.1）（仿射變換群）保距變換是仿射變換仿射變換（幾何）決定的向量變換（代數(shù)）（P:180，P:187）定義：設(shè)f是平面上的仿射變換，則對于任何平行與平面的向量 ，規(guī)定 這里A,B是平面上的點，使得 ，這樣得到一個變換稱為由f決定的仿射向量變換，仍記作f。仿射變換決定的向量變換保持向量的線性關(guān)系（P:187 Prop5.3.3）（非退化（滿秩）線性變換）保距變換決定的向量變換不僅保持向量的線性關(guān)系，而且保持向量的內(nèi)積（距離，角度，面積，垂直）（P:

5、180 Prop5.2.3）（正交變換）仿射變換基本定理（P:189Th5.3.1）（1）說的是唯一性，（2）說的是存在性，平面上不共線的三對對應(yīng)點可唯一確定一個仿射變換（P:190）保距變換基本定理（P:181Th5.2.1）（1）說的是唯一性，（2）說的是存在性保距變換的坐標(biāo)變換公式（P:181Th5.2.2）坐標(biāo)變換和保距（仿射）變換點的坐標(biāo)變換公式是同一點在不同坐標(biāo)系下的坐標(biāo)（針對的是圖形不變，而坐標(biāo)系在變）仿射變換的點變換公式是用點的坐標(biāo)求像點的坐標(biāo)（針對的是圖形在變， 而坐標(biāo)系不變）后者是通過前者得到的圖形的仿射分類和仿射性質(zhì)仿射性質(zhì)(不變量)（共線，平行，簡單比等）度量性質(zhì)(不變

6、量)（距離，角度，面積，垂直等）仿射幾何學(xué)（研究仿射性質(zhì)(不變量)的幾何學(xué)）歐氏幾何學(xué)（研究度量性質(zhì)(不變量)的幾何學(xué)）仿射等價，度量等價（等價關(guān)系）（P:194）仿射(度量)分類(二次曲線P:195 Th5.4.1，P:196 Th5.4.2,二次曲面P:201 Th5.5.6，P:201 Th5.5.7)邊長為1的等邊三角形但位置不同（全等，度量等價） -任意等邊三角形（相似） -任意三角形（仿射等價） -任意多邊形（拓撲等價）平面二次曲線的度量分類（P:195Th5.4.1）有無窮多等價類（系數(shù)不同）平面二次曲線的仿射分類（P:196Th5.4.2） 二次曲面的度量分類（P:201 Th5.5.6）有無窮多等價類（系數(shù)不同）二次曲面的仿射分類（P:201 Th5.5.7） 歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何、非歐幾何、拓撲學(xué)（綜合法，解析法）歐氏幾何（保距變換） （保持無窮遠直線上兩點的射影變換）仿射幾何（仿射變換） （保持無窮遠直線的射影變換）射影幾何（射影變換）（不區(qū)分無窮遠點和普通點）？ （參見：尤承業(yè)解析幾何P