采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

1、采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第8章 采樣控制系統(tǒng)第1頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三1、自動控制原理：是關于自動控制系統(tǒng)建模、分析 與設計的一套完整的理論。相關知識及上次課內(nèi)容回顧：穩(wěn)：指控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 快：指控制系統(tǒng)的快速性。準：指控制系統(tǒng)的準確性。2、分析控制系統(tǒng)的性能指標：穩(wěn)、快、準。第2頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三前面幾次課中主要是針對采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學模型進行了討論。差分方程 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 建模第3頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三 穩(wěn)定的概念復習如果系統(tǒng)受到干擾（如電源、負載波動）

2、，偏離了平衡狀態(tài)，而當擾動消失后，系統(tǒng)仍能逐漸恢復到原平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的或具有穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)不能恢復到原平衡狀態(tài)甚至越偏越遠，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的或不具有穩(wěn)定性。第4頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三第5頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三第6頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三幾點注意：1、穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，是系統(tǒng)正常工作的首要條件。第7頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三2、穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的一種固有特性，只取決與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入無關。第8頁，共51頁，2022年，5月2

3、0日，21點14分，星期三線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)復習勞斯判據(jù)赫爾維茨判據(jù)根軌跡法Nyquist穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)第9頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三8.6 采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析8.6.1 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定條件8.6.2 勞斯穩(wěn)定判據(jù)8.6.3 朱利穩(wěn)定判據(jù)（以大家自學為主）8.6.4 采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響第10頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三8.6 采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析8.6.1 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定條件 問題的提出！ 在線性連續(xù)系統(tǒng)中，判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性是根據(jù)特征方程的根在s平面的位置。若系統(tǒng)特征方程的所有根都在s平面左半平面

4、，則系統(tǒng)穩(wěn)定。對線性離散系統(tǒng)進行了Z變換以后，對系統(tǒng)的分析要采用Z平面，因此需要弄清這兩個復平面的相互關系。第11頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三代入比較一z平面與s平面的映射關系第12頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三s平面z平面幾種情況討論（1）s平面的虛軸 ， z平面 ，即 。左半平面虛軸右半平面左向右移單位圓內(nèi)單位圓上單位圓外半徑擴大（2） 可見，S平面上的虛軸映射到Z平面上，為以原點為圓心的單位圓。第13頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三圖8-21：線性采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 二、線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件第14頁，共

5、51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三線性采樣系統(tǒng)如圖8-21所示。其特征方程為 顯然，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根1、2、n即是閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點。在z域中，離散系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件是： 當且僅當離散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的單位圓內(nèi)，或者所有特征根的模均小于1，相應的線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第15頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三 例1、一個采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：第16頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三問題的提出 用解特征方程根的方法來判別高階采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性是很不方便的。因此，需要采用一些比較實用的判別系統(tǒng)穩(wěn)定的方法

6、。其中比較常用的代數(shù)判據(jù)就是勞斯判據(jù)。第17頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三8.6.2 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 對于線性連續(xù)系統(tǒng)，可以直接應用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但是，對于線性采樣系統(tǒng)，直接應用勞斯判據(jù)是不行的，因為勞斯判據(jù)只能判別特征方程的根是否在復變量s平面虛軸的左半部。因此，必須采用一種新的變換，使z平面上的單位圓，在新的坐標系中的映象為虛軸。這種新的坐標變換，稱為雙線性變換，又稱為W變換。第18頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三根據(jù)復變函數(shù)雙線性變換公式，令或式中z和w均為復數(shù)，分別把它們表示成實部和虛部相加的形式，即第19頁，共51頁，2

7、022年，5月20日，21點14分，星期三 當動點z在Z平面的單位圓上和單位圓之內(nèi)時，應滿足： 左半W平面對應Z平面單位圓內(nèi)的部分，W平面的虛軸對應Z平面的單位圓上，可見圖8-22。因此經(jīng)過雙線性變換后，可以使用勞斯判據(jù)了。 第20頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三圖8-22：Z平面和W平面的對應關系 離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，由特征方程1+GH（z）=0的所有根嚴格位于z平面上的單位圓內(nèi)，轉(zhuǎn)換為特征方程1+GH（w）=0的所有根嚴格位于左半W平面。第21頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三例2 設閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖8-23所示，其中采樣周期T=0.1

8、(s)，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時k的變化范圍。圖8-23：例2閉環(huán)系統(tǒng)圖 第22頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三解：求出G(s)的z變換閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為故閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為代入上式，得第23頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三列出勞斯表 從勞斯表第一列系數(shù)可以看出，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使k0，2.736-0.632k0，即k4.33?；喓?，得W域特征方程第24頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三8.6.3 朱利穩(wěn)定判據(jù)(以大家自學為主) 朱利判據(jù)是直接在Z域內(nèi)應用的穩(wěn)定判據(jù)，類似于連續(xù)系統(tǒng)中的赫爾維茨判據(jù)，朱利判據(jù)是根據(jù)離散系

9、統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系數(shù)，判別其根是否位于Z平面上的單位圓內(nèi)，從而判斷該離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第25頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三8.6.4 采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的一種固有特性，只取決與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)即閉環(huán)傳遞函數(shù)，與系統(tǒng)的輸入無關。影響采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性的因素有哪些？1、開環(huán)增益K;2、系統(tǒng)的零極點分布；3、純滯后環(huán)節(jié)；4、采樣周期T的取值。第26頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三例3 設有零階保持器的離散系統(tǒng)如圖8-24所示，試求：（1）當采樣周期T分別為1s，0.5s時，系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益K

10、c。（2）當r(t)=1(t)，K=1，T分別為0.1，1，2，4s時，系統(tǒng)的輸出響應c(kT)。圖8-24 例3離散系統(tǒng)方框圖第27頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三由勞斯判據(jù)KC=2.4當T0.5s秒時解:(1)當T1秒時由勞斯判據(jù)KC=4.37討論！第28頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三且由 ，可求得C(z)表達式 。 取K=1，T=0.1,1,2,4s，可由C(z)求Z反變換得到c(kT)，見圖8-25。(2)第29頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三圖8-25 不同T時的響應 討論！第30頁，共51頁，2022年

11、，5月20日，21點14分，星期三 8.7 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差引 言8.7.1 單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差8.7.2 單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差8.7.3 單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差第31頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三 引 言穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)控制精度的，在控制系統(tǒng)設計中作為穩(wěn)態(tài)指標；實際控制系統(tǒng)由于本身結(jié)構(gòu)和輸入信號的不同，其穩(wěn)態(tài)輸出量不可能完全與輸入量一致，也不可能在任何擾動作用下都能準確地恢復到原有的平衡點；系統(tǒng)存在摩擦間隙和死區(qū)等非線性因素，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差總是不可避免的；8.7 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差第32頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期

12、三控制系統(tǒng)設計時應盡可能減小穩(wěn)態(tài)誤差；當穩(wěn)態(tài)誤差足夠小可以忽略不計的時候，可以認為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，這種系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)，而穩(wěn)態(tài)誤差不為零的系統(tǒng)則稱為有差系統(tǒng)；應當強調(diào)的是，只有當系統(tǒng)穩(wěn)定時，分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差才有意義！采用比較法來分析與學習采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差！第33頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三1、誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義 系統(tǒng)的誤差e(t)一般定義為被控量的希望值與實際值之差。即： 誤差e(t)=被控量的希望值被控量的實際值第34頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三設單位反饋采樣系統(tǒng)如圖8-26所示：圖8-26 單位反饋采樣系統(tǒng)誤差第35頁，

13、共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三 誤差響應e(t)與系統(tǒng)輸出響應c(t)一樣，也包含暫態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩部分，對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，暫態(tài)分量隨著時間的推移逐漸消失，而我們主要關心的是控制系統(tǒng)平穩(wěn)以后的誤差，即系統(tǒng)誤差響應的穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)誤差記為ess。第36頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三 2、穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 線性連續(xù)系統(tǒng)的計算穩(wěn)態(tài)誤差方法都可以推廣到采樣系統(tǒng)中來。（哪幾種方法？）設單位反饋采樣系統(tǒng)如圖8-26所示：圖8-26 單位反饋采樣系統(tǒng)第37頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三（1）應用Z變換的終值定理來計算第38頁，共

14、51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三利用z變換的終值定理求出采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差上式表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與G(z)及輸入信號的形式有關。（2）應用計算穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的方法來計算穩(wěn)態(tài)誤差第39頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三 1.系統(tǒng)的類型（型別） 與線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析類似引出離散系統(tǒng)型別的概念，由于 的關系，原線性連續(xù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)在s=0處極點的個數(shù)v作為劃分系統(tǒng)型別的標準，可推廣為將離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)在z=1處極點的數(shù)目v作為離散系統(tǒng)的型別,稱v=0,1,2,.的系統(tǒng)為0型、I型、II型離散系統(tǒng)。8.7.1 單位階躍輸入時

15、的穩(wěn)態(tài)誤差第40頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三2、連續(xù)系統(tǒng)中各種輸入下各種類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（溫故而知新！比較法?。?輸 入 形 式穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)單位階躍00單位斜坡0單位加速度第41頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三3、單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差式中 稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。 第42頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三 對0型離散系統(tǒng)（沒有z=1的極點），則Kp,從而e()0；對I型、II型以上的離散系統(tǒng)（有一個或一個以上 z=1的極點），則 Kp=，從而e()=0。 因此，在單位階躍函數(shù)作用下，0型離散系統(tǒng)

16、在采樣瞬時存在位置誤差；I型或II型以上的離散系統(tǒng)，在采樣瞬時沒有位置誤差。這與連續(xù)系統(tǒng)十分相似。第43頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三式中 稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。 因為0型系統(tǒng)的kv=0， I型系統(tǒng)的kv為有限值，II型和II型以上系統(tǒng)的 Kv= ，所以有如下結(jié)論：0型離散系統(tǒng)不能承受單位斜坡函數(shù)作用，I型離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下存在速度誤差，II型和II型以上離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差。8.7.2 單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差第44頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三8.7.3 單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 當然，上式也是系統(tǒng)的

17、穩(wěn)態(tài)位置誤差，并稱為加速度誤差。式中 稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。第45頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三 由于0型及I型系統(tǒng)的ka=0，II型系統(tǒng)的為常值，III型及III型以上系統(tǒng)的 ka=,因此有如下結(jié)論成立： 0型及I型離散系統(tǒng)不能承受單位加速度函數(shù)作用，II型離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用于下存在加速度誤差，只有III型及III型以上的離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用下，才不存在采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)位置誤差。第46頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三輸 入 形 式穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)單位階躍00單位斜坡0單位加速度第47頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三8.8 采樣系統(tǒng)的暫態(tài)響應與脈沖傳 遞函數(shù)零、極點分布的關系 本節(jié)以學生自學為主，在信號與系統(tǒng)分析課程中做了詳細的分析！ 第48頁，共51頁，2022年，5月20日，21點14分，星期三 在線性連續(xù)系統(tǒng)中，閉環(huán)傳