連續(xù)介質(zhì)力學(xué)

1、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)課件第1頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三1. 梯度（gradient）若在數(shù)量場(chǎng)中的一點(diǎn)M處存在著矢量g，其方向?yàn)镸點(diǎn)處函數(shù)變化率最大的方向，其模為這個(gè)最大變化率的數(shù)值，則稱g為這個(gè)函數(shù)在M點(diǎn)處的梯度 第2頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三稱為Hamilton算符 若某個(gè)函數(shù)對(duì)坐標(biāo)xi取偏微分，則簡(jiǎn)記為(.),i 方向?qū)?shù) 第3頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三第4頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2. 散度（divergence）稱為矢量v在S上的通量 第5頁，共37頁，2022年，

2、5月20日，19點(diǎn)14分，星期三Gauss公式(奧高公式，或奧式公式)：通量散度第6頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三物理意義: 若div u 0 則表示在該點(diǎn)處有“源” 若div u = 0 則表示在該點(diǎn)處無“源”無“匯” 其大小表示“源”和“匯”的強(qiáng)度 與坐標(biāo)系無關(guān)第7頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三3. 旋度（rotation）Stokes公式： 設(shè)G為分段光滑的空間有向閉曲線,S是以G為邊界的分片光滑的有向曲面,G的正向與S法線符合右手規(guī)則,函數(shù)),(zyxP,),(zyxQ),(zyxR在包含曲面S在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)

3、數(shù), 則有公式 的第8頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三對(duì)于矢量場(chǎng)u，稱 為沿L的環(huán)量。若L為某一曲面S的邊界，曲面S的法線單位矢量為n，而且曲線L的走向與n滿足右手法則，則根據(jù)Stokes公式，有：第9頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三物理意義： 旋度是用來描述一個(gè)旋渦源 (vortex source)的旋渦流強(qiáng)度的，而所謂的旋渦源 (vortex source)就是一個(gè)能在其周圍造成一個(gè)“環(huán)”(即：環(huán)量u.tdL) 的流源。因此為了描述此旋渦源的強(qiáng)度，定義: 單位面積的最大環(huán)量稱作旋度, 其方向?yàn)榇谁h(huán)所為的面的法向量。令：第10頁，共37頁，

4、2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)一點(diǎn)的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量面密度的最大值。旋度的方向是與該點(diǎn)最大環(huán)量面密度對(duì)應(yīng)的法線方向。在矢量場(chǎng)中，若rot uJ0，稱之為旋度場(chǎng)(或渦旋場(chǎng))，J 稱為旋度源(或渦旋源)，若矢量場(chǎng)處處rotu0，稱之為無旋場(chǎng)。第11頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三小節(jié)：梯度：散度：旋度：并積數(shù)積矢積第12頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三矩陣：方陣：行數(shù)列數(shù)；矩陣的轉(zhuǎn)置：將mn的矩陣A的行列互換，得到nm的新矩陣，稱作A的轉(zhuǎn)置，記為AT；列矩陣：只有一列的矩陣；行矩陣：列矩陣的

5、轉(zhuǎn)置； 第13頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三對(duì)稱矩陣：對(duì)于方陣A，有A=AT；反對(duì)稱矩陣：若AT =A；對(duì)角陣：方陣A的主對(duì)角線上有非零元素，其余元素均為零，記為A=diag（ A11, A22, , Ann）；單位陣：對(duì)角線元素全為1的對(duì)角陣，記為I；矩陣的加法分解：任意方陣A都可以分解為一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣的和。令：第14頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三逆矩陣：對(duì)于方陣A，若存在方陣B，使AB = BA = I，則稱B是A的逆矩陣，記為B = A1 逆矩陣存在的充要條件是|A|0 克萊默法則： A-1=A*/|A|其中： 伴隨矩

6、陣 , 余子式： 代數(shù)余子式： =(-1)i+j余子式第15頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三關(guān)于轉(zhuǎn)置和逆的計(jì)算規(guī)則:轉(zhuǎn)置:逆:第16頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三正交矩陣： 對(duì)于方陣A，若有A1AT，則稱A是正交矩陣第17頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三例1.15 如圖1.12，平面直角坐標(biāo)系繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一角度形成新坐標(biāo)系，導(dǎo)出其坐標(biāo)變換矩陣M，并說明M是正交矩陣。 圖1.12 平面直角坐標(biāo)變換 解：由圖1.12易得，新坐標(biāo)系的單位矢量 即 上式可簡(jiǎn)記為 和 (1.59)易于證明，M滿足條件 ，故M是正交矩陣。M還

7、可表示為第18頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三在三維情況下 其中可以證明：第19頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三若反過來考慮，坐標(biāo)變換是則存在：比較可以看出，M*=MT而推導(dǎo)可以得到，M*=M-1MTM-1坐標(biāo)變化矩陣M是正交矩陣第20頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三同理，一個(gè)正交矩陣必對(duì)應(yīng)一個(gè)坐標(biāo)變換。（a）若繞過原點(diǎn)的某軸的一個(gè)旋轉(zhuǎn)（b）若(1)繞過原點(diǎn)的某軸的一個(gè)旋轉(zhuǎn);(2)對(duì)某個(gè)軸的反射,右手系的原坐標(biāo)系改換為左手系 ;(a) 右手系保持為右手系 (b) 右手系改換為左手系 第21頁，共37頁，2022年，5

8、月20日，19點(diǎn)14分，星期三對(duì)于方陣A，若存在著數(shù)和非零向量b，使 矩陣的特征值成立，則稱是方陣A的特征值，稱b是A的特征向量。 求解方法：特征方程：第22頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三對(duì)于三階方陣A，其特征方程為 展開得:特征方程可記為: 第23頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三在A的特征值求得后，將其代入特征方程，即得： 特征向量b就是上述齊次方程的非零解。 當(dāng)A是對(duì)稱矩陣時(shí)，有如下定理成立： A的特征值均為實(shí)數(shù)。對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量相互正交。 若是特征方程的m重根，則相應(yīng)的齊次方程一定存在著m個(gè)線性無關(guān)的非零解，并可由此而導(dǎo)出m

9、個(gè)相互正交的特征向量。 第24頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三例1.18 求A的特征值和特征方向。 解： 特征方程為 :故特征值 將特征值依次代入線性齊次方程組，對(duì)應(yīng)于 的方程為 第25頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三可取其解為:對(duì)應(yīng)于 ，齊次方程組為 可求得其基礎(chǔ)解系為 b(2) = p(2)p(3)b(3)b(1)圖1.15 特征向量注意這樣得到的特征方向，一定有b(1)與p(2)正交， b(1)與p(3)正交。雖然p(2)與p(3)不一定正交，但兩者構(gòu)成基礎(chǔ)解系的兩個(gè)基，因而線性無關(guān)。這兩個(gè)向量的線性組合的全體張成了與b(1)正交的平面

10、（如圖1.15），這個(gè)平面上的任意不重合的兩個(gè)方向都可構(gòu)成對(duì)應(yīng)于2和3的主方向。如果要取三個(gè)兩兩正交的方向，那么，可根據(jù)b(1)和p(2)的方向?qū)(3)正交化。 第26頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三Kronecker符號(hào)正交化：?jiǎn)挝换簩?duì)于正交且單位化了的特征向量： 第27頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三對(duì)于k階對(duì)稱方陣A 對(duì)于三階方陣A 對(duì)于三階對(duì)稱矩陣A，一定存在著一個(gè)坐標(biāo)變換，使得A在變換后的坐標(biāo)系下成為一個(gè)對(duì)角陣，其對(duì)角線元素就是A的特征值，新坐標(biāo)系的坐標(biāo)方向就是對(duì)應(yīng)的特征方向。 這個(gè)坐標(biāo)變換矩陣的列向量就是特征向量。第28頁，共

11、37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三在A的特征值是互不相等的情況下，三個(gè)特征方向是完全確定的，并兩兩正交。在A的特征值有一個(gè)二重根的情況下，例如 時(shí)，對(duì)應(yīng)于 的特征方向 是確定的。而在垂直于 平面內(nèi)的任意方向都是對(duì)應(yīng)于 或 的特征方向。當(dāng)然能夠在這個(gè)平面內(nèi)找到兩個(gè)方向 和 ，使 、 和 兩兩正交。當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A具有的 形式時(shí)，A的特征值只有一個(gè)，它就是三重根 。在這種情況下，對(duì)于任意的坐標(biāo)變換矩陣M， 其結(jié)果仍然具有 的形式。因此可以說，任何方向都是A的特征方向，當(dāng)然也存在著三個(gè)兩兩正交的特征方向。第29頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三正定矩陣：若對(duì)于

12、任意的非零向量b，恒有bTAb0，則稱A為正定矩陣?？梢宰C明，對(duì)稱矩陣A為正定矩陣的充要條件是A的所有特征值均為正數(shù)。第30頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三一種常用的計(jì)算技巧 Einstein求和約定：在式子中的一項(xiàng)內(nèi)，若出現(xiàn)了重復(fù)腳標(biāo)，則表示該項(xiàng)關(guān)于這一腳標(biāo)對(duì)1、2、3求和，而勿須再寫出求和記號(hào) 。 如果有時(shí)需要使用同一個(gè)腳標(biāo)但不表示求和，則在該腳標(biāo)下加一橫線，如 ，就只表示a和b的第m個(gè)分量的乘積。 求和約定中的重復(fù)腳標(biāo)稱為啞標(biāo)。由于啞標(biāo)并未限定用哪些字母，因此，啞標(biāo)可以用其它的字母代替，只要該字母在本項(xiàng)中沒有出現(xiàn)過就行。啞標(biāo)在同一項(xiàng)中只能重復(fù)一次 第31頁，共3

13、7頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三例：第32頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三不重復(fù)的腳標(biāo)稱為自由指標(biāo)。 第一，它指1，2，3中是i 的那一個(gè)。對(duì)于一個(gè)包含多項(xiàng)的式子而言，每項(xiàng)的自由指標(biāo)應(yīng)該相同。例如 就是允許出現(xiàn)的表達(dá)式，而 就是不正確的表達(dá)式。 第二，它指1，2，3中的每一個(gè)。對(duì)于方程而言，等號(hào)兩端的自由指標(biāo)應(yīng)該相同，例如，就是 允許出現(xiàn)的代數(shù)方程，而 就是不正確的。 若方程包含了一個(gè)自由指標(biāo)，那么這個(gè)方程就表示了三個(gè)方程，而不必在方程后再加注 i =1，2，3 的字樣。例如， 就表示了如下的三個(gè)方程： 第33頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三第一，a、b和e的腳標(biāo)一定是1、2、3的一個(gè)排列，也就是說，在同一項(xiàng)內(nèi)，不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)1、2、3中的任何一個(gè)數(shù)。第二，當(dāng)a、b和e的腳標(biāo)是123這個(gè)自然順序的一個(gè)偶排列（即123，231，312）時(shí)，該項(xiàng)取正號(hào)。第三，當(dāng)a、b和e的腳標(biāo)是123這個(gè)自然順序的一個(gè)奇排列（即132，213，321）時(shí)，該項(xiàng)取負(fù)號(hào)。置換符號(hào): 第34頁，共37頁，2022年，