2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(山東卷)

1、2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)理科數(shù)學1.(2016山東,理1)若復數(shù)z滿足2z+z=3-2i,其中i為虛數(shù)單位,則z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案B設z=a+bi(a,bR),則2z+z=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,則z=1-2i,選B.注意共軛復數(shù)的概念.2.(2016山東,理2)設集合A=y|y=2x,xR,B=x|x2-10,B=x|-1x-1,選C.本題涉及求函數(shù)值域、解不等式以及集合的運算.3.(2016山東,理3)某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習時間的范圍

2、是17.5,30,樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根據(jù)直方圖,這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A.56B.60C.120D.140答案D自習時間不少于22.5小時為后三組,其頻率和為(0.16+0.08+0.04)2.5=0.7,故人數(shù)為2000.7=140,選D.4.(2016山東,理4)若變量x,y滿足x+y2,2x-3yA.4B.9C.10D.12答案C如圖,不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點的三角形區(qū)域,x2+y2表示點(x,y)到原點距離的平方,最

3、大值必在頂點處取到,經(jīng)驗證最大值|OC|2=10,故選C.5.(2016山東,理5)一個由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如下圖所示.則該幾何體的體積為()A.13C.13+26答案C由三視圖可知,上面是半徑為22的半球,體積為V1=1243223=26,下面是底面積為1,高為1的四棱錐,6.(2016山東,理6)已知直線a,b分別在兩個不同的平面,內(nèi).則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A若直線a與直線b相交,則,一定相交,若,相交,則a,b可能相交,也可能平行或異面,故選A.7.(2016山東,理7

4、)函數(shù)f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是()A.2B.C.3答案Bf(x)=2sinx+62cosx+6=2sin2x+8.(2016山東,理8)已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos=13.若n(tm+n),則實數(shù)t的值為(A.4B.-4C.94D.答案B由4|m|=3|n|,可設|m|=3k,|n|=4k(k0),又n(tm+n),所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos+|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故選9.(2016山東,理9)已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x12時,fx

5、+12=fx-12,A.-2B.-1C.0D.2答案D當x12時,fx+12=fx-12,所以當x12時,函數(shù)f(x)是周期為1的周期函數(shù),所以f(6)=f(1),又因為當-1x1時,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-(-1)本題考查了函數(shù)的周期性、奇偶性,利用函數(shù)性質(zhì)靈活變換是解題的關鍵.10.(2016山東,理10)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3答案A當y=sin x時,y=cos x,因為cos 0cos =-

6、1,所以在函數(shù)y=sin x圖象存在兩點x=0,x=使條件成立,故A正確;函數(shù)y=ln x,y=ex,y=x3的導數(shù)值均非負,不符合題意,故選A.本題實質(zhì)上是檢驗函數(shù)圖象上存在兩點的導數(shù)值乘積等于-1.11.(2016山東,理11)執(zhí)行下邊的程序框圖,若輸入的a,b的值分別為0和9,則輸出的i的值為.答案3解析第一次循環(huán):a=1,b=8;第二次循環(huán):a=3,b=6;第三次循環(huán):a=6,b=3;滿足條件,結(jié)束循環(huán),此時,i=3.循環(huán)結(jié)構(gòu)抓住結(jié)束點是關鍵.12.(2016山東,理12)若ax2+1x5的展開式中x5的系數(shù)是-答案-2解析因為Tr+1=C5r(ax2)5-r1xr=C5ra5-rx1

7、0-5r2,所以由10-5r2=5,解得13.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a0,b0),若矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點,且2|AB|=3答案2解析由雙曲線和矩形的對稱性可知ABx軸,不妨設A點的橫坐標為c,則由c2a2-y2b2=1,解得y=b2a.設Ac,b2a,Bc,-b2a,則|AB|=2b2a,|BC|=2c,由2把涉及的兩個線段的長度表示出來是做題的關鍵.14.(2016山東,理14)在-1,1上隨機地取一個數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為.答案3解析直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交,需要滿足圓

8、心到直線的距離小于半徑,即d=|5k|1+k23,解得-34km,其中m0.若存在實數(shù)答案(3,+)解析 x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.由題意畫出函數(shù)圖象為右圖時才符合,要滿足存在實數(shù)b,使得關于x的方程f(x)=b有三個不同的根,應4m-m23,即m的取值范圍為(3,+).能夠準確畫出函數(shù)的圖象是解決本題的關鍵.16.(2016山東,理16)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tan(1)證明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.解(1)由題意知2sinA化簡得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+s

9、in B,即2sin(A+B)=sin A+sin B,因為A+B+C=,所以sin(A+B)=sin(-C)=sin C.從而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=a+所以cos C=a=38當且僅當a=b時,等號成立.故cos C的最小值為117.(2016山東,理17)在如圖所示的圓臺中,AC是下底面圓O的直徑,EF是上底面圓O的直徑,FB是圓臺的一條母線.(1)已知G,H分別為EC,FB的中點.求證:GH平面ABC;(2)已知EF=FB=12AC=23,AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值(1)證明設FC中點為I,連接GI,HI.在CE

10、F中,因為點G是CE的中點,所以GIEF.又EFOB,所以GIOB.在CFB中,因為H是FB的中點,所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因為GH平面GHI,所以GH平面ABC.(2)解法一連接OO,則OO平面ABC.又AB=BC,且AC是圓O的直徑,所以BOAC.以O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.由題意得B(0,23,0),C(-23,0,0).過點F作FM垂直O(jiān)B于點M,所以FM=FB2可得F(0,3,3).故BC=(-23,-23,0),BF=(0,-3,3).設m=(x,y,z)是平面BCF的一個法向量.由m可得-可得平面BCF的一個法向量m=-

11、因為平面ABC的一個法向量n=(0,0,1),所以cos=m所以二面角F-BC-A的余弦值為7解法二連接OO.過點F作FM垂直O(jiān)B于點M,則有FMOO.又OO平面ABC,所以FM平面ABC.可得FM=FB2-過點M作MN垂直BC于點N,連接FN.可得FNBC,從而FNM為二面角F-BC-A的平面角.又AB=BC,AC是圓O的直徑,所以MN=BMsin 45=6從而FN=422,可得cosFNM=所以二面角F-BC-A的余弦值為718.(2016山東,理18)已知數(shù)列an的前n項和Sn=3n2+8n,bn是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1.(1)求數(shù)列bn的通項公式;(2)令cn=(an+1)n

12、+1(bn+2)n解(1)由題意知當n2時,an=Sn-Sn-1=6n+5,當n=1時,a1=S1=11,所以an=6n+5.設數(shù)列bn的公差為d.由a可解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1.(2)由(1)知cn=(6n+6)n+1(3n又Tn=c1+c2+cn,得Tn=3222+323+(n+1)2n+1,2Tn=3223+324+(n+1)2n+2,兩式作差,得-Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=3=-3n2n+2,所以Tn=3n2n+2.19.(2016山東,理19)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語,在一輪活動中,如果兩人都猜

13、對,則“星隊”得3分;如果只有一人猜對,則“星隊”得1分;如果兩人都沒猜對,則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是34,乙每輪猜對的概率是23;每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響,各輪結(jié)果亦互不影響.假設“星隊”參加兩輪活動,(1)“星隊”至少猜對3個成語的概率;(2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學期望EX.解(1)記事件A:“甲第一輪猜對”,記事件B:“乙第一輪猜對”,記事件C:“甲第二輪猜對”,記事件D:“乙第二輪猜對”,記事件E:“星隊至少猜對3個成語”.由題意,E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.由事件的獨立性與互斥性,P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+

14、P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)=342所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為2(2)由題意,隨機變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性,得P(X=0)=14P(X=1)=23P(X=2)=34P(X=3)=34P(X=4)=23P(X=6)=3可得隨機變量X的分布列為X012346P1525151所以數(shù)學期望EX=01144+1572+225144+320.(2016山東,理20)已知f

15、(x)=a(x-ln x)+2x-1x2(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當a=1時,證明f(x)f(x)+32對于任意的x1,2成立解(1)f(x)的定義域為(0,+).f(x)=a-a當a0時,x(0,1)時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增,x(1,+)時,f(x)0時,f(x)=a0a當x(0,1)或x2a,+時,f(x)0,f當x1,2a時,f(x)2時,02a0,f(當x2a,1時,f(x)0,f(綜上所述,當a0時,f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減;當0a2時,f(x)在0,2a內(nèi)單調(diào)遞增,在2a,1內(nèi)單調(diào)遞減,在(2)由(1)知,a=1時,f(x)-f(x)=

16、x-ln x+2=x-ln x+3x+1x2-設g(x)=x-ln x,h(x)=3x+1x2-則f(x)-f(x)=g(x)+h(x).由g(x)=x-可得g(x)g(1)=1,當且僅當x=1時取得等號.又h(x)=-3設(x)=-3x2-2x+6,則(x)在x1,2單調(diào)遞減,因為(1)=1,(2)=-10,所以x0(1,2),使得x(1,x0)時,(x)0,x(x0,2)時,(x)g(1)+h(2)=32即f(x)f(x)+32對于任意的x1,2成立21.(2016山東,理21)平面直角坐標系xOy中,橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率是32,拋物線E:x2(1)求橢圓C的方程;(2)設P是E上的動點,且位于第一象限,E在點P處的切線l與C交于不同的兩點A,B,線段AB的中點為D.直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.求證:點M在定直線上;直線l與y軸交于點G,記PFG的面積為S1,PDM的面積為S2,求S1S2的最大值及取得最大值時點解(1)由題意知a2-b2a=32,因為拋物線E的焦點F0,所以b=12,a=1所以橢圓C的方程為x2+4y2=1.(2)設Pm,m22由x2=2y,可得y=x,所以直線l的斜率為m.因此直線l方程為y-m22=m(x-m),即設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).聯(lián)立