2023屆高三數(shù)學(xué)小題專練-三角恒等變換4（含解析）

1、試卷第 =page 5 5頁，共 =sectionpages 6 6頁試卷第 =page 6 6頁，共 =sectionpages 6 6頁一、單選題1在中，已知，其中（其中），若為定值，則實數(shù)的值是（）ABCD2已知的內(nèi)角所對的邊分別為若，且內(nèi)切圓面積為，則面積的最小值為（）ABCD3如圖，長方形中，點在線段（端點除外）上，現(xiàn)將沿折起為設(shè)，二面角的大小為，若，則四棱錐體積的最大值為（）ABCD4在中，的內(nèi)切圓的面積為，則邊長度的最小值為（）A16B24C25D365中，的對邊分別為，則（）A若，則B使得C都有D若，則是鈍角6已知為單位向量，且，若非零向量滿足，則的最大值是（）ABCD7已知點

2、，分別為橢圓的左、右焦點，點在直線上運動，若的最大值為，則橢圓的離心率是（）ABCD8已知函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則（）ABC2D9在銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（）ABCD10當函數(shù)取得最大值時，的值是（）ABCD11函數(shù)的最大值為（）ABCD312設(shè)銳角的三個內(nèi)角.的對邊分別為.，且，則周長的取值范圍為（）ABCD13已知把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小到原來一半，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若，若，則的最大值為（）ABCD14已知定義域為的函數(shù)，又當時，則關(guān)于的不等式的解集為（）ABCD15設(shè)的三邊長為，若，則是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或

3、直角三角形D等腰直角三角形16聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，我們聽到的聲音中包含著正弦函數(shù)若某聲音對應(yīng)的函數(shù)可近似為，則下列敘述正確的是（）A為的對稱軸B為的對稱中心C在區(qū)間上有3個零點D在區(qū)間上單調(diào)遞增17函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)若關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的解，則的值為（）ABCD18奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，若、的面積分別記為、，則“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則()ABCD19在銳角中，角，的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（）ABCD20若，則

4、k的取值范圍是（）ABCD二、填空題21已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是_22在銳角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，則的最小值為_23直線系，直線系A(chǔ)中能組成正三角形的面積等于_.24已知銳角三角形的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，若，則的取值范圍為_25設(shè)圓上兩點，滿足：，則的取值范圍是_.26英國數(shù)學(xué)家莫利提出：將三角形各內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交于一點，則這樣的三個交點構(gòu)成一個正三角形（如下圖所示）.若為等腰直角三角形，且，則的面積是_.27如圖，動點在以為直徑的半圓上（異于A，），且，若，則的取值范圍為_.2

5、8關(guān)于函數(shù)有下列結(jié)論：其表達式可寫成；直線是曲線的一條對稱軸；在區(qū)間上單調(diào)遞增；存在使恒成立.其中正確的是_（填寫正確的番號）.29在銳角中，若點為的外心，且，則的最大值為_.30已知函數(shù)，則下列說法正確的有_（將所有正確的序號填在答題卡橫線上）是函數(shù)的一個周期；的圖象關(guān)于點中心對稱；在區(qū)間上單調(diào)遞減的值域為答案第 = page 31 31頁，共 = sectionpages 31 31頁答案第 = page 30 30頁，共 = sectionpages 31 31頁參考答案：1A【分析】，化簡得，再由為定值，化簡得到恒成立，列出方程組，即可求解.【詳解】由，可得，因為，得，即，又由（定值）

6、，即，即恒成立，可得，解得，.故選：A【點睛】方法點撥：解答中把為定值，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式和題設(shè)條件，轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合多項式相等的條件，列出方程組是解答的關(guān)鍵.2D【分析】根據(jù)已知條件及正弦定理可得，由內(nèi)切圓的面積可得內(nèi)切圓半徑，最后根據(jù)及余弦定理，并結(jié)合基本不等式求的范圍，進而求面積的最小值.【詳解】由題設(shè)，而且，則，由題設(shè)內(nèi)切圓半徑，又，而，即，可得，當且僅當時等號成立.故選：D3A【分析】將棱錐的底面邊長及高用含有的三角函數(shù)來表示，根據(jù)體積公式寫出棱錐體積，整理化簡后利用三角函數(shù)求最值.【詳解】設(shè)過與垂直的線段長為，則，則四棱錐的高，則，四棱錐體積的最大值為.故選：A.【點睛】求

7、解立體幾何體積的最值時，一般需要將體積寫為函數(shù)關(guān)系式或者是三角函數(shù)關(guān)系式，進而利用函數(shù)求最值或三角函數(shù)求最值的方法求解其最值.4A【分析】由條件可求內(nèi)切圓半徑，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和三角形的面積公式可得三邊關(guān)系，結(jié)合基本不等式可求邊長度的最小值.【詳解】因為的內(nèi)切圓的面積為，所以的內(nèi)切圓半徑為4設(shè)內(nèi)角，所對的邊分別為，因為，所以，所以因為，所以設(shè)內(nèi)切圓與邊切于點，由可求得，則又因為，所以所以又因為，所以，即，整理得因為，所以，當且僅當時，取得最小值故選：A5D【分析】特殊值法判斷A、C；B由題設(shè)有，進而有即可判斷；D由已知得，結(jié)合即可判斷.【詳解】A：由題設(shè)，若 ，此時，錯誤；B：若，則，而，所以

8、，又，故不存在這樣的，錯誤；C：當時不成立，錯誤；D：由，故，而，所以，即，正確.故選：D6D【解析】設(shè)，由，計算可得，設(shè)，由，計算可得，可推出時，等號成立，計算可得，結(jié)合，可求出，從而可求出的最大值.【詳解】由題意，可設(shè)，則，由，可得，整理得，設(shè)，由，可得，即，所以，當時，或，即或，因為，所以不符合題意，故時，.而，因為，所以，當時，等號成立，此時，因為，所以，即，所以.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量與三角函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出題中向量的坐標，利用平面向量的坐標運算及三角函數(shù)的運算性質(zhì)，將所求不等式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式，進而求出最大值.考查學(xué)生的運算求解能力，邏輯推

9、理能力屬于難題7C【分析】設(shè)直線，的傾斜角分別為，且，利用差角正切公式、基本不等式求關(guān)于橢圓參數(shù)的表達式，結(jié)合已知求橢圓參數(shù)的數(shù)量關(guān)系，進而求離心率.【詳解】由題意知，直線為，設(shè)直線，的傾斜角分別為，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)為第二象限的點，即，則，.，當且僅當，即時取等號，又得最大值為，即，整理得，故橢圓的的離心率是.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)點M坐標及，的傾斜角，由與直線，的傾斜角的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合差角正切公式及基本不等式求關(guān)于橢圓參數(shù)的表達式，進而確定橢圓參數(shù)的數(shù)量關(guān)系.8B【分析】法一：利用導(dǎo)函數(shù)研究出極值點，進而結(jié)合圖象及極值求出的值；法二：設(shè)函數(shù)值為，使用輔助角公式及三角函數(shù)的有界

10、性及極值列出方程，求出的值.【詳解】法一：當時，設(shè)，其中，則，另外，所以，故，解得：，又因為，所以，故選：B.法二：由，從而，由于，所以，解得：，又從圖象可以看出，即，從而，解得：，由于，故.故選：B.9C【分析】根據(jù)余弦定理以及正弦定理化簡條件得、關(guān)系，再根據(jù)二倍角正切公式以及函數(shù)單調(diào)性求范圍【詳解】，所以因此設(shè)，是銳角三角形，在上單調(diào)遞增，故選：C10C【分析】利用輔助角將函數(shù)利用兩角差的正弦公式進行化簡，求得函數(shù)取得最大值時的與的關(guān)系，從而求得，可得結(jié)果.【詳解】，其中，當時，函數(shù)取得最大值，此時，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了兩角差的正弦公式的逆用，解題的關(guān)鍵是輔助角公式的應(yīng)

11、用與正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的運算求解能力，屬于中檔題.11B【解析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式可得，令，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最值，即可得解；【詳解】解：因為所以令則則令，得或當時，；時所以當時，取得最大值，此時所以故選：B【點睛】本題考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而求出函數(shù)的最值12C【解析】由銳角三角形求得，由正弦定理可得，求出，關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，可求得范圍【詳解】為銳角三角形，且，又，又，由，即，令，則，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值域為，故選：C【點睛】本題考查三角形的正弦定理和運用，考查三角函數(shù)

12、的恒等變換，以及余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查化簡變形能力，屬于難題13C【分析】先化簡函數(shù)，然后根據(jù)圖像的變換得函數(shù)的解析式，通過判斷得，同時令取得最大值或最小值時，再結(jié)合函數(shù)的圖像，即可求得的最大值.【詳解】將圖象向右平移至個單位長度，再把橫坐標縮小到原來一半，縱坐標不變，得到函數(shù)，可得，所以，同時令取得最大值或最小值時，當，時，根據(jù)函數(shù)的圖象可知的最大值為個周期的長度，即故選：C. 【點睛】關(guān)于三角函數(shù)解析式的化簡，一般先利用誘導(dǎo)公式或者和差公式展開將解析式化為同角，然后利用降冪公式對函數(shù)進行降次處理，最后利用輔助角公式代入化簡，最終將解析式化為的形式.14A【分析】由給定函數(shù)等式變形，構(gòu)造函數(shù)，

13、再探討函數(shù)的性質(zhì)，然后將不等式整理變形為求解即得.【詳解】，令，即有，是R上的偶函數(shù)，因當時，則，當且僅當時取“=”，于是得在上單調(diào)遞增，即，于是得，因此，解得，所以所求不等式的解集是.故選：A15B【分析】若三角形各邊長為a、b、c且內(nèi)切圓半徑為r，法一：由內(nèi)切圓的性質(zhì)有、，根據(jù)邊角關(guān)系可得或，注意討論所得關(guān)系驗證所得關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)討論所得關(guān)系判斷三角形的形狀.【詳解】設(shè)，的內(nèi)切圓半徑為r，如圖所示，法一： ；.，得：，即于是，從而得或，或故為等腰三角形或直角三角形，（1）當時，內(nèi)心I在等腰三角形的底邊上的高上， ，從而得又，代入式

14、，得，即，上式兩邊同時平方，得：，化簡，即即直角三角形，為等腰直角三角形（2）當時，易得代入式，得，此式恒成立，綜上，為直角三角形法二：利用，及正弦定理和題設(shè)條件，得，.；.由和得：，即，因為為三角形內(nèi)角，或，即或（1）若，代入得：又，將其代入，得：變形得，即，由知A為銳角，從而知由，得：，即，從而，因此，為等腰直角三角形（2）若，即，此時恒成立，綜上，為直角三角形故選：B16D【分析】利用知關(guān)于直線對稱的性質(zhì)驗證A；求得可判斷B；化簡，令，得，進而判斷C；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對于A，由已知得，即，故不關(guān)于對稱，故A錯誤；對于B，故B錯誤；對于C，利用二倍角公式知，令得或

15、，即，所以該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個零點，故C錯誤；對于D，求導(dǎo)，令，由，知，即，利用二次函數(shù)性質(zhì)知，即，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：D.17D【分析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，利用三角函數(shù)的圖象和三角恒等變形，可得，即，從而得到，進而得到的值.【詳解】函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后，可得的圖象.由條件為奇函數(shù)，則，即又，所以，即關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的解，即在內(nèi)有兩個不同的解，即在內(nèi)有兩個不同的解，即，其中(為銳角) 在內(nèi)有兩個不同的解，即方程即在內(nèi)有兩個不同的解，由，則，所以，所以則，即，所以，故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的

16、定義域和值域，屬于中檔題18A【分析】由O是垂心，可得，結(jié)合可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和為，結(jié)合正切的和差角公式即可求解.【詳解】是的垂心，延長交與點，同理可得，：，又，又，不妨設(shè)，其中，解得或，當時，此時，則都是鈍角，則，矛盾.故，則，是銳角，于是，解得.故選：A.19D【分析】根據(jù)余弦定理和的面積公式，結(jié)合題意求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，即可求出的取值范圍【詳解】解：中，由余弦定理得，且的面積為，由，得，化簡得；又，所以，化簡得，解得或（不合題意，舍去）；因為所以，所以，由，且，解得，所以，所以，所以；設(shè)，其中，所以，又，所以時，取得最大值為，時，時，且，所以，即的取值范圍是故選：20

17、B【分析】將等式左邊用輔助角公式化簡得到左邊的取值范圍，則等式右邊也在這個范圍，最后解不等式即可.【詳解】，所以.故選：B.21【解析】化簡函數(shù)解析式，由f (x) =0，可得，解得，結(jié)合即可得出結(jié)論.【詳解】由，可得，解得，因為在區(qū)間內(nèi)沒有零點，所以，且，即且，因為，分別取，1,2,3，的取值范圍是，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：由三角函數(shù)化簡求出函數(shù)零點，分別取，可得不屬于的集合，結(jié)合，可判斷所在區(qū)間即可，屬于難題.22【分析】如圖，作BDAC于D，設(shè)ADx，CDy，BDh，由條件利用正弦定理及勾股定理可得x3y，再由幾何關(guān)系表示正切值得，從而得解.【詳解】由正弦定理，得：，如圖，作BDA

18、C于D，設(shè)ADx，CDy，BDh，因為，所以，化簡，得：，解得：x3y，當且僅當時取得最小值.故答案為：.【點睛】本題主要考查了三角形中的正弦定理及勾股定理，兩角和的正切公式，利用基本不等式求最值，著重考查了數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化與化歸的能力，屬于難題.23或【分析】應(yīng)用輔助角公式可得且，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)有，易知其幾何意義：直線系A(chǔ)是圓上所有點的切線集合，分析可知直線構(gòu)成正三角形有無數(shù)個，但面積值只有兩個；將圓心移至原點、取簡化模型，設(shè)為，應(yīng)用切線的性質(zhì)及點線距離公式求參數(shù)b，進而求出正三角形的兩個面積值.【詳解】直線系A(chǔ)：可變形為，而，即，其幾何意義為圓外的點的集合，直線系是圓的切線的包絡(luò)，

19、即圓上所有點的切線集合，如圖所示.把圓心平移到原點，由過圓上一點的切線方程為.而圓的參數(shù)形式為，令，則以為切點的切線方程為，即.由圓心到切線的距離等于半徑，有，即，故當時，直線系是圓上所有點的切線方程系，也是圓的包絡(luò)線.顯而易見，所有直線系中的直線構(gòu)成正三角形有無數(shù)個，但是面積的值只有兩個.如取，如圖所示，設(shè)直線的方程為.圓心到直線的距離等于半徑，則，則，當，則.當，則.將圓向右平移3個單位即為，不改變正三角形的面積，直線系A(chǔ)中組成正三角形的面積：或.故答案為：或24【分析】由題可得，將用含的式子表示，然后根據(jù)角的范圍，求的取值范圍.【詳解】，即，又，且都為銳角，故，因為銳角三角形，所以所以所

20、以所以，又因為所以所以，解得或(舍去)故.故答案為：.25【分析】首先由數(shù)量積公式可得，再根據(jù)絕對值的幾何意義得表示兩點，分別到直線的距離之和，再以直線為軸重新建立直角坐標系后，利用三角函數(shù)表示，根據(jù)角的范圍求值域.【詳解】由，得.設(shè)表示兩點，分別到直線的距離之和.取直線為軸重新建立直角坐標系后，則表示兩點，分別到軸的距離之和.在新的直角坐標系下，設(shè)，則有.由對稱性，不妨設(shè)點在軸上或上方，即.所以， 時，得，則，當時，此時 綜上得，從而得.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解的幾何意義，并正確轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，注意需討論角的范圍，寫出分段函數(shù)的形式.26【分析】若是中點，連接，且，根據(jù)題設(shè)角的關(guān)