剛體力學(xué)解析課件

1、一、剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在運(yùn)動(dòng)中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。 剛體:在外力作用下形狀和大小保持不變的物體.特點(diǎn)：各質(zhì)點(diǎn)間的相對位置永不發(fā)生變化的質(zhì)點(diǎn)系。第二章 剛體和流體力學(xué)2-1 剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)平動(dòng)：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)討論一、剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在運(yùn)動(dòng)中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持轉(zhuǎn)動(dòng)：對點(diǎn)、對軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心都在一條固定不動(dòng)的直線（轉(zhuǎn)軸）上。OO轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)：對點(diǎn)、對軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心都在一條剛體的一般運(yùn)動(dòng)既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)：質(zhì)心的平動(dòng)加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)：質(zhì)心的平動(dòng)加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸參考方向各質(zhì)元的線速度、加速度一般不同，但角量（角位

2、移、角速度、角加速度）都相同描述剛體整體的運(yùn)動(dòng)用角量最方便。二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述轉(zhuǎn)動(dòng)平面：垂直于轉(zhuǎn)軸的任一平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸參考方向各質(zhì)元的線速度、加速度一般不同，描述剛體角速度方向規(guī)定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定。加速轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致減速轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反角速度方向規(guī)定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定。加速轉(zhuǎn)動(dòng)方2-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)平面一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩力對點(diǎn)的力矩為：只影響轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)在 軸上的投影對 軸的力矩：（在 軸上的分量）2-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)平面一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力問題：？轉(zhuǎn)動(dòng)平面力對軸上任一點(diǎn)的力矩在軸上的投影即是力對該軸的力矩。問題：？轉(zhuǎn)動(dòng)平面力對軸

3、上任一點(diǎn)的力矩在軸上的投影即是力對該軸 將切向分量式兩邊同乘以 ,變換得二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 將切向分量式兩邊同乘以 ,變換得二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定大小相等，方向相反令：為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理物理意義：剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，所受到的合外力對軸的力矩等于剛體對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。大小相等，方向相反令：為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理物理意義：討論：瞬時(shí)式， ， 必須是對同一轉(zhuǎn)軸 與轉(zhuǎn)動(dòng)方向成右手系 矢量表達(dá)式為：三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(moment of inertia)1、定義質(zhì)量與該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離的平方的乘積。與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量質(zhì)量的分布轉(zhuǎn)軸的位置單位：討論：瞬時(shí)式， ， 必

4、須是對同一轉(zhuǎn)軸 與轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。注意只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、 分別為質(zhì)1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解：細(xì)圓環(huán)R又解:J是可加的，所以若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂2 、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為r 寬為dr 的薄圓環(huán),可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l 無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對其

5、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2/2。2 、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸3、 求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解： 一球繞 Z 軸旋轉(zhuǎn)，離球心Z高處切一厚為dz 的薄圓盤。其半徑為其體積：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：YXZORrdZZ3、 求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的 YXZORrdZZYXZORrdZZ4、求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)dm=dx4、求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。AB2、平行軸定理前例中JC 表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，JA表示相對通過棒端的軸

6、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相距L/2?？梢姡和茝V上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則有：JJCmd2。這個(gè)結(jié)論稱為平行軸定理。2、平行軸定理前例中JC 表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J 右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？(棒長為L、球半徑為R） 右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算四、轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用舉例例1 、一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落高度h時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。四、轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用舉例例1 、一個(gè)質(zhì)

7、量為M、半徑為R的定滑輪（解：解： 例2、一個(gè)飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)在要制動(dòng)飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。摩擦系數(shù)為0.2。求閘瓦對輪子的壓力N為多大？0解：飛輪制動(dòng)時(shí)有0Nfr外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。代入數(shù)據(jù)： 例2、一個(gè)飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O的力矩。 棒上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺角時(shí)，該質(zhì)量元的重力對軸的元力矩為Ogdmdm例3、一根長為 、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角

8、時(shí)的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O的力矩。 棒上取質(zhì)元d重力對整個(gè)棒的合力矩為Ogdmdm代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可得重力對整個(gè)棒的合力矩為Ogdmdm代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可得兩邊積分，兩邊積分，剛體力學(xué)解析課件 例4、一質(zhì)量為m、半徑為R的勻質(zhì)圓盤繞通過盤心且垂直于盤面的光滑軸正以o的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)將盤置于粗糙的水平桌面上，圓盤與桌面間的摩擦系數(shù)為,求圓盤經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來？ 解 摩擦力是分布在整個(gè)盤面上的，計(jì)算摩擦力的力矩時(shí)，應(yīng)將圓盤分為無限多個(gè)半徑為r、寬為dr的圓環(huán)積分。o水平桌面rdr故摩擦力矩為 例4、一質(zhì)量為m、半徑為R的勻質(zhì)圓盤繞通過盤心且垂直于是得由 = o

9、+ t = 0得 又由2-o2 = 2，所以停下來前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為o水平桌面rdr于是得由 = o+ t = 0得 又由2-o比較：一 、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半。2-3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的動(dòng)能定理比較：一 、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體 設(shè)物體在力F作用下,繞定軸oz轉(zhuǎn)動(dòng)，力的作用點(diǎn)P位移大小為ds=rd , 則力F的元功是 dW=Fdscos(90o- )=Frsind=Md 即:力矩的元功等于力矩M和角位移d的乘積。 當(dāng)剛體由角1轉(zhuǎn)到2時(shí),力矩所作的功為 力矩的功率是二、力矩的功 即力矩的瞬時(shí)功率等于力矩和角速度的乘

10、積。ZFdsdopr 設(shè)物體在力F作用下,繞定軸oz轉(zhuǎn)動(dòng)，力的作用點(diǎn)P三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理比較三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 合外力矩對定軸轉(zhuǎn)四 、包括剛體的系統(tǒng)的場中機(jī)械能守恒定律剛體的重力勢能等于其重力與質(zhì)心高度之積. 剛體的重力勢能是組成它的各個(gè)質(zhì)元的重力勢能之和.四 、包括剛體的系統(tǒng)的場中機(jī)械能守恒定律剛體的重力勢能等于其若在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,只有重力做功,其他非保守內(nèi)力不做功,則剛體在重力場中機(jī)械能守恒.機(jī)械能守恒定律若在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,只有重力做功,其他非保守內(nèi)力不做功,則剛d 例1、如圖

11、所示，質(zhì)量為 的物體，放在光滑的斜面上，斜面與水平面傾角為 ，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為 ，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，半徑為 。先將物體托住，使彈簧維持原長，然后由靜止釋放。求物體沿斜面滑下距離為 時(shí)的速度。解：取物體、滑輪、大地、彈簧為一系統(tǒng)，重力、彈性力為內(nèi)力。系統(tǒng)機(jī)械能守恒初態(tài)：末態(tài)：d 例1、如圖所示，質(zhì)量為 的物體，放在光方向：沿斜面向下。方向：沿斜面向下。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),各質(zhì)元某一瞬時(shí)均以相同的角速度繞該定軸作圓周運(yùn)動(dòng).剛體對某定軸的角動(dòng)量等于剛體對此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積.一、 剛體的角動(dòng)量定理2-4 剛體角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),各質(zhì)元某一瞬時(shí)均

12、以相同的角速度繞該定軸作圓沖量矩,又叫角沖量.外力矩對系統(tǒng)的角沖量(沖量矩)等于角動(dòng)量的增量.若J 可以改變,則2、 剛體的角動(dòng)量定理沖量矩,又叫角沖量.外力矩對系統(tǒng)的角沖量(沖量矩)等于角動(dòng)量二 、 角動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律的兩種情況：1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體。當(dāng)物體所受的合外力矩為零時(shí),物體的角動(dòng)量保持不變.這一結(jié)論稱為角動(dòng)量守恒定律.二 、 角動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律的兩種情況：1、2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體。FF2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體。FF實(shí)際中的一些現(xiàn)象藝術(shù)美、人體美、物理美相互結(jié)合、芭蕾舞演員的高難動(dòng)作實(shí)際中的一些現(xiàn)象藝術(shù)美、人體美、物理美相互結(jié)合、芭蕾舞演

13、員 當(dāng)滑冰、跳水、體操運(yùn)動(dòng)員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)也總是曲體、減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、增加角速度。當(dāng)落地時(shí)則總是伸直身體、增大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、使身體平穩(wěn)地。 當(dāng)滑冰、跳水、體操運(yùn)動(dòng)員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)也總是曲體、減 花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員通過改變身體姿態(tài)即改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來改變轉(zhuǎn)速. 花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員通過改變身體姿態(tài)即改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來改變渦旋星系渦旋星系 例1、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度。已知棒長為l,質(zhì)量為M.v0vmM解:請問:1.子彈和棒的總動(dòng)量守恒嗎?2.總角動(dòng)量守恒嗎?為什么?聯(lián)立,得 例1、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜

14、止法二:以f 代表棒對子彈的阻力,對子彈有:子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為：因, 由兩式得v0vmM法二:以f 代表棒對子彈的阻力,對子彈有:子彈對棒的反作用力例2、如圖，已知：子彈射入并嵌在棒內(nèi)，求子彈的初速。解：過程分兩步1、子彈與棒發(fā)生完全非彈性碰撞 角動(dòng)量守恒2、子彈與棒擺動(dòng)，機(jī)械能守恒。例2、如圖，已知：子彈射入并嵌在棒內(nèi)，求子彈的初速。解：過程 例3、如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開始時(shí)直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高度h0，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下擺,于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達(dá)到的高度h。mlhol解: 單擺下落過程機(jī)械

15、能守恒；擺與桿的碰撞過程角動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒；桿上擺的過程機(jī)械能守恒；設(shè):碰撞前單擺擺錘的速度為v0令碰撞后直桿的角速度為，擺錘的速度為v。碰撞后桿下端達(dá)到的高度為h 例3、如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)聯(lián)立，得h聯(lián)立，得h例4、如圖所示，求：碰撞后瞬間盤的 轉(zhuǎn)到 軸時(shí)盤的解： 下落碰撞 t 極小，對 m +盤系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對O力矩可忽略，角動(dòng)量守恒：勻質(zhì)圓盤光滑軸水平粘土塊例4、如圖所示，求：碰撞后瞬間盤的 轉(zhuǎn)到 軸時(shí)盤的由（1）（2）（3）式得：取 ， ，地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，只有重力做功，故機(jī)械能守恒。勻質(zhì)圓盤光滑軸水平粘土塊由（1）（2）（3）式得：取 ， ，地

16、球?yàn)橐幌到y(tǒng)，只由（3）（4）（5）式得：由（3）（4）（5）式得： 解 (1)系統(tǒng)(圓盤+人)什么量守恒？ 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒： 上式正確嗎？ 例 5、勻質(zhì)園盤(m、R)與一人( ,視為質(zhì) 點(diǎn))一起以角速度o繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),如圖所示。如果此人相對于盤以速率、沿半徑為 的園周運(yùn)動(dòng)(方向與盤轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反), 求: (1)圓盤對地的角速度; (2)欲使園盤對地靜止，人相對園盤的速度大小和方向？o 解 (1)系統(tǒng)(圓盤+人)什么量守恒？上式 錯(cuò)！因?yàn)榻莿?dòng)量守恒定律只適用于慣性系。 所以應(yīng)代入人相對于慣性系(地面)的角動(dòng)量。人對地= 人對盤 + 盤對地人對地= o+ 正確的角動(dòng)量守恒式子是

17、： 錯(cuò)！因?yàn)榻莿?dòng)量守恒定律只適用于慣性系。人對解出：(2) 欲使盤靜止，可令得式中負(fù)號(hào)表示人的運(yùn)動(dòng)方向與盤的初始轉(zhuǎn)動(dòng)(o)方向不一致。o人對地= + 解出：(2) 欲使盤靜止，可令得式中負(fù)號(hào)表示人的運(yùn)動(dòng)方向與盤 解 系統(tǒng)(小球和環(huán)、地球)在運(yùn)動(dòng)過程中哪些量守恒？ 系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中，角動(dòng)量守恒, 機(jī)械能守恒:(1) 例6、 空心園環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jo ,半徑為R，初始角速度為o 。質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)的最高處A點(diǎn)，由于某種擾動(dòng)，小球沿環(huán)向下滑動(dòng)，求小球滑到與環(huán)心o在同一高度的B點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度及小球相對于環(huán)的速度各為多少。(設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，環(huán)截面很小)ABoRoC (2) 解 系統(tǒng)(小球和環(huán)、地球)在運(yùn)動(dòng)過程中哪些量守恒？ 由相對運(yùn)動(dòng)，對小球有 B表示小球在B點(diǎn)時(shí)相對于地面的豎直分速度(即相對于環(huán)的速度)。 由(2)得由(1)得環(huán)的角速度為ABoRoC(1) (2) 由相對運(yùn)動(dòng)，對小球有 B表示小球在B點(diǎn)時(shí)相對o例7、一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為 ，半徑為 ，放在一粗糙水平面上，圓盤可繞通過其中心 的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)圓盤靜止，一質(zhì)量為 的子彈以水平速度 垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并陷入盤邊上，求：子彈擊中圓盤后，圓盤所獲得的角速度；經(jīng)過多少時(shí)間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)。解：子彈擊中圓盤，角動(dòng)量