從勾股數(shù)到勾股定理

1、從勾股數(shù)到勾股定理 蒼天茫茫，深邃而遙遠(yuǎn)；大地遼闊，廠袤而無垠。從古時(shí)候起，人們就想知道，到底天有多高，地有多大？大約在公元前1100年，周武王的弟弟周公姬旦就曾向當(dāng)時(shí)的一位學(xué)者商高求教：“去天不可階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問數(shù)安從出？”意思是說，沒有臺(tái)階供你上天，又沒有一種尺子可以讓你用來大量大地，那么怎樣才能得到天高地大的數(shù)值呢？商高所提供的測(cè)量方法是“勾股術(shù)”：“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五?！币馑际钦f，在方尺上截取勾寬為三，股長(zhǎng)為四，則這端到那端的徑長(zhǎng)（后來也稱弦長(zhǎng)）便是五。據(jù)說，在大禹治水的時(shí)候，就已經(jīng)運(yùn)用“勾三股四弦五”的特殊情形進(jìn)行測(cè)量。周公與商高的這段有趣的對(duì)話載于我國(guó)

2、古代數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)（公元前1世紀(jì)）。經(jīng)過歷代數(shù)學(xué)家的完善，便形成了勾股定理（也稱商高定理）：直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊C的平方，a2b2c2滿足勾股定理的數(shù)組稱為勾股數(shù)（或商高數(shù)）。在西方，人們把這個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)與證明歸功于古希臘的畢達(dá)哥拉斯，因而稱之為畢達(dá)哥拉斯定理，滿足定理的數(shù)組也就稱為畢達(dá)哥拉斯數(shù)。但是1945年，人們?cè)趯?duì)古巴比倫人遺留下的一塊數(shù)學(xué)泥板的研究中，驚訝地發(fā)現(xiàn)上面竟然刻有15組勾股數(shù)，其年代遠(yuǎn)在商高和畢達(dá)哥拉斯之前，大約在公元前1900年到公元前l(fā)600年之間。這些勾股數(shù)組中有些是很大的數(shù)，即使在今天也往往是人們所熟悉的。這個(gè)數(shù)表使人們有理由相信，古巴倫人早已

3、掌握了勾股定理并很可能找到了一種求得勾股數(shù)的一般方法，只不過人們還不能從其他的泥板中找出更多的證據(jù)來證明這一點(diǎn)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派倒是明確地給出了勾股數(shù)的一組公式：后來，另一個(gè)古希臘學(xué)者柏拉圖（Plato,約前427前347）也給出了類似的式子。被譽(yù)為“代數(shù)學(xué)鼻祖”的古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus,約246330）也在研究二次不定方程的時(shí)候，對(duì)勾股數(shù)作了一番探討。他發(fā)現(xiàn)不論是畢達(dá)哥拉斯還是柏拉圖的式子，都沒能給出全部勾股數(shù)組，于是他找到了一個(gè)新方法：如果m、n是兩個(gè)正整數(shù)，且2mn是完全平方數(shù)，則是一級(jí)勾股數(shù)。丟番圖究竟是如何得到這組式子的，人們今天已經(jīng)無從知曉。重要的是，這組式子包含了

4、全部的勾股數(shù)組！值得一提的是，在早于丟氏三、四百年的我國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著九章算術(shù)中，也提出了一組求勾股數(shù)的式子，這組式子相當(dāng)于：與丟番圖同時(shí)代的中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽在對(duì)這部古算書的注釋本中用幾何的方法對(duì)這組公式進(jìn)行了嚴(yán)格的論證。這是迄今為止用于勾股數(shù)的最完美的表達(dá)形式之一。關(guān)于這個(gè)定理，雖然號(hào)稱畢達(dá)哥拉斯定理，但人們?cè)谶z留下來的古希臘手稿或譯文中并沒有找到畢達(dá)哥拉斯本人及其學(xué)派的有關(guān)證明，所以人們只能對(duì)他可能用的方法進(jìn)行一些揣測(cè)。有據(jù)可查的最早證明見于歐幾里得的幾何原本（公元前3世紀(jì)）之中。歐幾里得用幾何的方法，作出了一個(gè)巧妙的證明，如圖1所示。有人把這個(gè)圖形叫做“僧人的頭巾”，也有人把它稱為“新娘的轎

5、椅”。我們這里給出證明的概述：AC=2JAB=2CAD=ADKL，類似地BC2BEKL等等。有興趣的讀者不妨自己考慮一下，完成證明的細(xì)節(jié)。我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在周髀算經(jīng)注（公元3世紀(jì)初）中，給出了勾股定理的一般形式，并且給出了一個(gè)幾何證明（如圖2）：圖中有4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形，它們的面積之和應(yīng)該正好等于正方形ABCD的面積，即印度的數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家婆什迦羅，也給出了與趙爽相同的幾何圖形（如圖3）。但是婆什迦羅在畫出這個(gè)圖形之后，并沒有進(jìn)一步解釋和證明，只是說：“正好！”婆什迦羅還給出了這個(gè)定理的另外一個(gè)證明，即畫出斜邊上的高，由圖4中給出的兩個(gè)相似三角形，我們有c/b=b/m和c/a=a/n

6、即cm=b2和cn=n2相加便得：a2+b2=c(m+n)=c2勾股定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一。也許在數(shù)學(xué)中還找不到這樣一個(gè)定理，其證明方法之多能夠超過勾股定理。盧米斯（Loomis）在他的畢達(dá)哥拉斯定理一書的第二版中，收集了這個(gè)定理的37O種證明并對(duì)它們進(jìn)行了分類。勾股定理同時(shí)也是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的定理之一。至今在建筑工地上，還在用它來放線，進(jìn)行“歸方”，即放“成直角”的線。正因?yàn)檫@樣，人們對(duì)這個(gè)定理的備加推崇便不足為奇了。尼加拉瓜在1971年發(fā)行了一套十枚的紀(jì)念郵票，主題是世界上“十個(gè)最重要的數(shù)學(xué)公式”，其中之一便是勾股定理。甚至還有人提出過這樣的建議：在地球上建造一個(gè)大型裝置，以便向可能會(huì)來訪的“天外來客”表明地球上存在有智慧的