第4章1-4 數(shù)字濾波器的原理和設(shè)計(jì)方法

1、第四章 數(shù)字濾波器的原理和設(shè)計(jì)方法Theory and Design Method of Digital Filter本章習(xí)題（課本P243）4.1，4.3，4.4(1)，4.6(1)，4.8，4.10(1)， 4.12，4.14，4.17，4.18選做：4.25內(nèi)容提要數(shù)字信號(hào)處理的目的之一是設(shè)計(jì)某種設(shè)備或建立某種算法用以處理序列，使序列具有某些確定的性質(zhì)，這種設(shè)備或算法結(jié)構(gòu)就稱為數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器通常是用有限精度算法實(shí)現(xiàn)的離散時(shí)間線性非移變系統(tǒng)，它本身既可以由硬件也可以由軟件來實(shí)現(xiàn)，還可以由專用DSP處理器配合相應(yīng)的軟件由軟硬件結(jié)合實(shí)現(xiàn)。數(shù)字濾波器可以分為有限沖激響應(yīng)(FIR)和無限沖

2、激響應(yīng)(IIR)兩種。 數(shù)宇濾波器和快速傅里葉變換一樣，是數(shù)字信號(hào)處理的重要組成部分。在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中廣泛使用著各種濾波器。模擬濾波器主要用來處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)，而數(shù)字濾波器用來處理離散時(shí)間信號(hào)和數(shù)字信號(hào)。 數(shù)字濾波器是在模擬濾波器的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，但它們之間存在著一些重要差別。與模擬濾波器比較，數(shù)字濾波器有以下優(yōu)點(diǎn)：精度和穩(wěn)定性高；改變系統(tǒng)函數(shù)比較容易，因而比較靈活；不存在阻抗匹配問題；便于大規(guī)模集成；可以實(shí)現(xiàn)多維濾波。本章內(nèi)容安排如下：4.1節(jié) 概述數(shù)字濾波器的表述方法。4.2節(jié) 討論無限沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。4.3節(jié) 討論有限沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)

3、絡(luò)結(jié)構(gòu)。4.4節(jié) 詳細(xì)介紹IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法。4.5節(jié) 討論IIR數(shù)字濾波器的頻率變換設(shè)計(jì)方法。4.6節(jié) 詳細(xì)介紹FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法。4.7節(jié) 對FIR和IIR數(shù)字濾波器進(jìn)行比較。4.1 概述在第二章講到，一個(gè)數(shù)字濾波器可以用差分方程表示，即對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為數(shù)字濾波器的功能是把輸入序列通過一定的運(yùn)算，變換成輸出序列。數(shù)字濾波器一般可用兩種方法實(shí)現(xiàn)：一種是根據(jù)描述數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)模型或信號(hào)流程圖，用數(shù)字硬件構(gòu)成專用的數(shù)字信號(hào)處理機(jī)；另一種是編寫濾波運(yùn)算程序，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行。由差分方程可看出，實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器需要3種基本運(yùn)算單元，即加法器、單位延遲器和常數(shù)乘法器。這些單元有方框圖法和

4、流程圖法兩種表示法，因此，數(shù)字濾波器的運(yùn)算結(jié)構(gòu)也有兩種表示法，如下圖所示。例如一個(gè)二階的IIR數(shù)字濾波器可用差分方程表示為其方框圖和信號(hào)流程圖如下圖所示。數(shù)字濾波器有無限沖激響應(yīng)(IIR)和有限沖激響應(yīng)(FIR)兩種。IIR數(shù)字濾波器常采用遞歸結(jié)構(gòu)，而FIR數(shù)字濾波器主要采用非遞歸結(jié)構(gòu)。數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)直接影響系統(tǒng)運(yùn)算的速度、精度和成本。4.2 無限沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)無限長單位沖激響應(yīng)濾波器有以下幾個(gè)特點(diǎn)：(1)單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長的；因此稱為IIR濾波器；(2)系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面(0|z|)上有極點(diǎn)存在；(3)結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋，也就是結(jié)構(gòu)

5、上是遞歸型的。但是，同一種系統(tǒng)函數(shù)H(z)，可以有多種不同的結(jié)構(gòu)，它的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有以下幾種：一、直接I型IIR濾波器的差分方程：對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：這就表示了一種計(jì)算方法。表示將輸入加以延時(shí)，組成M節(jié)的延時(shí)網(wǎng)絡(luò)，把每節(jié)延時(shí)抽頭后加權(quán)(加權(quán)系數(shù)是bk)，然后把結(jié)果相加，這就是一個(gè)橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。表示將輸出加以延時(shí)，組成N節(jié)的延時(shí)網(wǎng)絡(luò)，然后將每節(jié)延時(shí)抽頭后加權(quán)(加權(quán)系數(shù)是ak)，然后把結(jié)果相加，最后的輸出y(n)是把這兩個(gè)和式相加而構(gòu)成。由于包含了輸出的延時(shí)部分，故它是個(gè)有反饋的網(wǎng)絡(luò)。這種結(jié)構(gòu)稱為直接I型結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)流圖如下圖所示。由圖可看出，總的網(wǎng)絡(luò)是由上面討論的兩部分網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)組成，第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)

6、于系統(tǒng)函數(shù)的分子，這意味著，它實(shí)現(xiàn)的是系統(tǒng)函數(shù)的各零點(diǎn)；第二個(gè)網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)于系統(tǒng)函數(shù)的分母，這意味著，它實(shí)現(xiàn)的是系統(tǒng)函數(shù)的各極點(diǎn)，從圖中又可看出，直接I型結(jié)構(gòu)需要(N+M)級(jí)延時(shí)單元。直接I型特點(diǎn)：直觀、速度慢、不經(jīng)濟(jì)(需要N+M個(gè)延遲器)二、直接II型我們知道，一個(gè)線性移不變系統(tǒng)，若交換其級(jí)聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)是不變的，也就是總的輸入輸出關(guān)系不改變。這洋我們就得到另一種結(jié)構(gòu)如圖4.5所示，它的兩個(gè)級(jí)聯(lián)子網(wǎng)絡(luò)，第一個(gè)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)，第二個(gè)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)?？梢钥闯鰞尚写醒訒r(shí)支路有相同的輸入，因而可以把它們合并，則得到圖4.6的結(jié)構(gòu)，稱為直接II型結(jié)構(gòu)，或典范型結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)，對于N階差

7、分方程只需N個(gè)延時(shí)單元(一般滿足NM)，因而比直接I型的延時(shí)單元要少，這也是實(shí)現(xiàn)N階濾波器所需的最少延時(shí)單元，因而又稱典范型。它可以節(jié)省存儲(chǔ)單元(軟件實(shí)現(xiàn))，或節(jié)省寄存器(硬件實(shí)現(xiàn))，比直接I型為好。但是，它們都是直接型的實(shí)現(xiàn)方法，其共同的缺點(diǎn)是系數(shù)ak，bk對濾波器的性能控制作用不明顯，這是因?yàn)樗鼈兣c系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)關(guān)系不明顯，因而調(diào)整困難；此外，這種結(jié)構(gòu)極點(diǎn)對系數(shù)的變化過于靈敏，從而使系統(tǒng)頻率響應(yīng)對系數(shù)的變化過于靈敏，也就是對有限精度(有限字長)運(yùn)算過于靈敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產(chǎn)生較大誤差。三、級(jí)聯(lián)型如果將N階IIR系統(tǒng)函數(shù)分解成二階因式連乘積，則可得到級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，即這樣，整個(gè)系統(tǒng)將由M個(gè)二

8、階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)構(gòu)成，如下圖所示。具體地，將系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式的分子和分母多項(xiàng)式都進(jìn)行因式分解，得到：由于H(z)的系數(shù)都為實(shí)數(shù)，所以H(z)的零點(diǎn)和極點(diǎn)或者是實(shí)數(shù)，或者是共軛復(fù)數(shù)。若將上式中每對共軛復(fù)數(shù)因子合并起來構(gòu)成一個(gè)實(shí)系數(shù)因子，則可寫成為了簡化級(jí)聯(lián)形式，特別是在時(shí)分多路復(fù)用時(shí)，采用相同形式的子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就更有意義，因而將實(shí)系數(shù)的兩個(gè)一階因子組合成二階因子，則整個(gè)H(z)就可以完全分解成實(shí)系數(shù)的二階因子的形式：其中稱為濾波器的二階基本節(jié)。級(jí)聯(lián)節(jié)數(shù)視具體情況而定，當(dāng)M=N時(shí)，共有 節(jié)。如果有奇數(shù)個(gè)實(shí)零點(diǎn)，則有一個(gè)2k等于零。同樣，如果有奇數(shù)個(gè)實(shí)極點(diǎn)，則有一個(gè)系數(shù)2k等于零。Hk(z)是用典范型結(jié)構(gòu)來實(shí)

9、現(xiàn)的。一個(gè)六階節(jié)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)如下圖所示。級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是調(diào)整系數(shù)1k、2k就能單獨(dú)調(diào)整濾波器第k對零點(diǎn)，而不影響其他零、極點(diǎn)，同樣，調(diào)整系數(shù)1k、2k就能單獨(dú)調(diào)整濾波器第k對極點(diǎn)，而不影響其他零、極點(diǎn)。所以這種結(jié)構(gòu)，便于準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)濾波器零、極點(diǎn)，因而便于調(diào)整濾波器頻率響應(yīng)性能。這種結(jié)構(gòu)的主要優(yōu)點(diǎn)是二階基本節(jié)搭配靈活，可以按實(shí)際需要調(diào)換二階節(jié)的次序，還可以直接控制系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。這種級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)是一種常用的結(jié)構(gòu)。四、并聯(lián)型將因式分解的H(z)展成部分分式的形式，就得到并聯(lián)型的IIR濾波器基本結(jié)構(gòu)這一公式是最一般的表達(dá)式，式中N=N1+2N2，由于式中系數(shù)ak，bk是實(shí)數(shù)，故Ak，Bk，gk，ck，

10、Gk都是實(shí)數(shù)，dk*是dk的共軛復(fù)數(shù)。當(dāng)MN時(shí)，則上式中不包含第三項(xiàng)，如果MN。則第三項(xiàng)變成G0一項(xiàng)。一般IIR濾波器皆滿足MN的條件。上式表示系統(tǒng)是由N1個(gè)一階系統(tǒng)、N2個(gè)二階系統(tǒng)和各延時(shí)加權(quán)單元并聯(lián)組合而構(gòu)成。為了結(jié)構(gòu)上的一致性，以便多路復(fù)用，一般將一階實(shí)極點(diǎn)也組合成實(shí)系數(shù)二階多項(xiàng)式，并且將共軛極點(diǎn)對也化成實(shí)系數(shù)二階多項(xiàng)式，當(dāng)MN時(shí)，則有：可表示成當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，包含有一個(gè)一階節(jié)。即有一節(jié)的2k=1k=0，當(dāng)然這里并聯(lián)的基本二階節(jié)仍用典范型結(jié)構(gòu)。下圖畫出了M=N=3時(shí)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)。并聯(lián)型可以用調(diào)整1k、2k的辦法來單獨(dú)調(diào)整一對極點(diǎn)的位置，但是不能像級(jí)聯(lián)型那樣單獨(dú)調(diào)整零點(diǎn)的位置。其運(yùn)算速度最快

11、。此外，并聯(lián)結(jié)構(gòu)中，各并聯(lián)基本節(jié)的誤差互相沒有影響，所以比級(jí)聯(lián)型的誤差一般來說要稍小一些。在要求準(zhǔn)確的傳輸零點(diǎn)的場合下，宜采用級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。除了以上幾種基本結(jié)構(gòu)外，還有一些其他的結(jié)構(gòu)，這取決于線性信號(hào)流圖理論中的多種運(yùn)算處理方法。當(dāng)然各種流圖都保持輸入到輸出的傳輸關(guān)系不變，即H(z)不變。這其中有一種方法稱為流圖的轉(zhuǎn)置，它利用的是流圖的轉(zhuǎn)置定理。轉(zhuǎn)置定理如果將原網(wǎng)絡(luò)中所有支路方向加以倒轉(zhuǎn)，且將輸入x(n)和輸出y(n)相互交換，則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)仍不改變。這里我們不去證明它了。利用轉(zhuǎn)置定理，可將上面討論的各種結(jié)構(gòu)加以轉(zhuǎn)置而得到各種新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。例如，對典范型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)置后的網(wǎng)絡(luò)如圖4-9所示，畫成

12、輸入在左方，輸出在右方的習(xí)慣形式，則如圖4-10所示。例4.1 用級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)，每個(gè)2階節(jié)都采用直接II型結(jié)構(gòu)。P.153 4.5題 習(xí)題集P134 例3-44.3 有限沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有限長單位沖激響應(yīng)濾波器有以下幾個(gè)特點(diǎn)：(1)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)在有限個(gè)n值處不為零；因此稱為FIR濾波器。(2)系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|0處收斂，極點(diǎn)全部在z=0處（因果系統(tǒng)）；(3)結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)中(例如頻率抽樣結(jié)構(gòu))也包含有反饋的遞歸部分。設(shè)FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)為一個(gè)N點(diǎn)序列，0nN-1，則濾波

13、器的系統(tǒng)函數(shù)為就是說，它有(N-1)階極點(diǎn)在z=0處，有(N-1)個(gè)零點(diǎn)位于有限z平面的任何位置。FIR濾波器有以下幾種基本結(jié)構(gòu)：一、直接型FIR數(shù)字濾波器的差分方程為(4.7)由上式可畫出FIR數(shù)字濾波器的方框圖和流程圖，分別如圖4.12和圖4.13所示。因?yàn)樯鲜剿硎镜氖禽敵鰕(n)與輸入信號(hào)x(n)之間的線性卷積關(guān)系，所以直接型結(jié)構(gòu)也稱為卷積型結(jié)構(gòu)，有時(shí)還稱為橫向?yàn)V波器結(jié)構(gòu)。二、級(jí)聯(lián)型將H(z)分解成實(shí)系數(shù)二階因子的乘積形式，則得FIR系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)為：對應(yīng)于上式的流程圖如下圖所示。圖中每一基本節(jié)控制一對零點(diǎn)。在需要控制系統(tǒng)傳輸零點(diǎn)的場合可使用這種結(jié)構(gòu)。級(jí)聯(lián)型所用的系數(shù)乘法次數(shù)較直接型多

14、，運(yùn)算時(shí)間較直接型長。三、快速卷積型如第二章所述，兩個(gè)長度為N的序列的線性卷積，可以用2N-1點(diǎn)的循環(huán)卷積來代替。式(4.7)表示FIR濾波器的輸出y(n)是輸入x(n)和沖激響應(yīng)h(n)的線性卷積。因此，可以通過增添零取樣值的方法將序列x(n)和h(n)延長，然后計(jì)算它們的循環(huán)卷積，從而得到FIR系統(tǒng)的輸出y(n)。循環(huán)卷積的計(jì)算可以使用FFT，于是得到圖4.15所示的快速卷積型結(jié)構(gòu)。圖中輸出y(n)為四、線性相位FIR數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在很多場合下，要求設(shè)計(jì)的濾波器具有線性相位特性例如，對于線性相位的選頻濾波器來說，處于濾波器通帶內(nèi)的信號(hào)，在濾波器的輸出端除了有一延遲(延遲等于相位特性曲

15、線的斜率)外，應(yīng)和輸入端完全一樣。有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)的最重要的特點(diǎn)之一就是它們可以設(shè)計(jì)成嚴(yán)格線性相位的。具有線性相位的因果有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)具有如下偶對稱特性，即：（4.9）圖4.16表示的是線性相位FIR系統(tǒng)的典型沖激響應(yīng)h(n)。那么，為什么這個(gè)條件就意味著線性相位呢？我們下面來分析具有這樣的沖激響應(yīng)的FIR系統(tǒng)的幅度和相位特點(diǎn)。將FIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)重寫為：下面分兩種情況進(jìn)行討論：(1)N為偶數(shù)時(shí)，利用式(4.9)得(4.11)令z=ej，得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為令則可將上式寫成于是系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為(4.14)(4.15)從式(4.14)可以看出，系統(tǒng)的幅度響應(yīng)H()是

16、一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，當(dāng)=時(shí)，H()=0，這說明H()在=處不依賴于a(n)或h(n)。因此，頻率響應(yīng)在=處不為零的濾波器(如高通濾波器)不能用這種類型的濾波器來逼近。此外，由于 對=呈奇對稱，所以H()對也呈奇對稱。從式4.15可以看出，濾波器的相位特性是嚴(yán)格線性的，且系統(tǒng)具有(N-1)/2個(gè)取樣周期，即h(n)長度的一半的時(shí)延。(2)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，利用式(4.9)得(4.16)將z=ej代入上式，得到令m=(N-1)/2-n，上式變成再令 ，b(n)=2h(N-1)/2-n, n=1,2,(N-1)/2，可以把上式寫成于是濾波器的幅度響應(yīng)H()和相位響應(yīng)()分別為H(n)為偶對稱的線性相位FIR數(shù)

17、字濾波器的幅度響應(yīng)H()和相位響應(yīng)()如下圖所示?？梢钥闯?，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，H()對呈奇對稱，相位特性是嚴(yán)格線性的。當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，H()對=0，2各點(diǎn)是偶對稱的；相位響應(yīng)是嚴(yán)格線性。根據(jù)式(4.11)和式(4.16)分別畫出N為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí)，線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu)流程圖，如圖4.18和圖4.19所示。從圖中可以看出，線性相位N階FIR濾波器只需要N/2次(N為偶數(shù))或(N+1)/2次(N為奇數(shù))乘法。用與上面相似的方法可以證明，當(dāng)FIR系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)為奇對稱，即h(n)=-h(N-1-n) 時(shí)，系統(tǒng)同樣具有線性相位特性(參看習(xí)題4.6)。由于線性相位FIR濾波器的沖激響應(yīng)h(n)

18、必須滿足對稱條件h(n)=h(N-1-n)，因此它的零點(diǎn)位置受到嚴(yán)格的限制。根據(jù)對稱條件，有令m=N-1-n，得到上式表明，H(z)和H(z-1)除相差(N-1)個(gè)樣本間隔外，沒有什么不同。因此，如果zk是H(z)的零點(diǎn)，那么zk-1也是H(z)的零點(diǎn)。這就是說，線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)必互為倒數(shù)出現(xiàn)，在h(n)為實(shí)數(shù)情況下，H(z)的零點(diǎn)必然互為共軛出現(xiàn)。因此，線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)必須是互為倒數(shù)的共軛對。具體來說，有圖4.20所示的幾種情況：(1)若H(z)的零點(diǎn)zk既不在實(shí)軸上，又不在單位圓上，則zk必是4個(gè)互為倒數(shù)的兩組共軛對，如z1、1/ z1、z1*和1/ z1*所示。(2)

19、如果零點(diǎn)zk在單位圓上，則零點(diǎn)以共軛對出現(xiàn)，如z2和z2*所示。(3)如果零點(diǎn)zk在實(shí)軸上，則零點(diǎn)互為倒數(shù)出現(xiàn)，如z3和1/z3所示。(4)若零點(diǎn)zk既在單位圓上，又在實(shí)軸上，則零點(diǎn)為1和-1。沖激響應(yīng)為偶對稱的線性相位FIR濾波器，它的系統(tǒng)函數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)是鏡像對稱的。例如，四階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的形式是 a+bz-1+cz-2+bz-3+az-4而五階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的形式是 a+bz-1+cz-2+cz-3+bz-4+az-5五、頻率取樣型在第三章P.77關(guān)于頻率取樣中我們已經(jīng)指出，一個(gè)有限時(shí)寬為N的序列其z變換可以用單位圓上的N個(gè)等間隔取樣來表示。根據(jù)式(3.50)所示的z變換的插值公式，(

20、3.50)FIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可以表示為：(4.24)其中H(k)是h(n)的Z變換H(z)在z=WN-k各點(diǎn)上的取樣值，即式(4.24)為實(shí)現(xiàn)FIR系統(tǒng)提供了另一種結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)由兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)構(gòu)成。具體來說，將式(4.24)表示成其中，H1(z)=1-z-N， ，如圖4.21所示。圖中所示的級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)H1(z)是由N節(jié)延遲線組成的梳狀濾波器，它的差分方程為 y1(n)=x(n)-x(n-N)H1(z)在單位圓上有N個(gè)等分零點(diǎn)zok，即H1(z)的頻率響應(yīng)呈梳狀特性，即H1(z)的流程圖和幅度特性如圖4.22所示。第二個(gè)網(wǎng)絡(luò)H2(z)是一組并聯(lián)的一階網(wǎng)絡(luò)其中，每個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)都

21、是一個(gè)諧振器，它們在單位圓上各有一個(gè)極點(diǎn)zpk，這些極點(diǎn)為因此，H2(z)是有N個(gè)極點(diǎn)的諧振網(wǎng)絡(luò)。這些極點(diǎn)正好與梳狀濾波器H1(z)的零點(diǎn)相抵消，從而使H(z)在這些頻率上的響應(yīng)等于H(k)。圖4.23所示的便是FIR濾波器的頻率取樣型結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)由一個(gè)簡單的FIR系統(tǒng)和一個(gè)IIR系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成。它的主要優(yōu)點(diǎn)是，并聯(lián)諧振網(wǎng)絡(luò)的系數(shù)H(k)，就是FIR濾波器在 處的響應(yīng)，因此，可以直接控制濾波器的響應(yīng)。它的主要缺點(diǎn)是：(1)所有的系數(shù)H(k)和WN-k都是復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)相乘運(yùn)算較麻煩；(2)所有諧振網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)都在單位圓上，如果濾波器的系數(shù)稍有誤差，極點(diǎn)就可能移到單位圓外，因此系統(tǒng)不容易穩(wěn)定?？朔鲜?/p>

22、缺點(diǎn)的方法有：第一，使諧振網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)從單位圓上向內(nèi)收縮到半徑為r的圓上，這里r略小于1。在這種情況下的H(z)為(4.26)梳狀濾波器的零點(diǎn)也要同時(shí)移到半徑為r的圓上。第二，用實(shí)系數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)復(fù)系數(shù)的一階網(wǎng)絡(luò)，從而使系數(shù)的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算變成實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算。具體來說，就是利用實(shí)序列h(n)的離散傅里葉變換H(k)的對稱性質(zhì)(P.27)，即(4.27)把復(fù)系數(shù)的一階網(wǎng)絡(luò)按復(fù)共軛對來分組，在N為偶數(shù)的情況下，式(4.26)可表示為因?yàn)镠r(k)H(k)，所以考慮到 ，上式變成又根據(jù)4.27，得到從而，(4.30)其中描述方程(4.30)的流程圖如圖4.24所示。當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，k=N/2的頻率樣本不存

23、在，因此包含|H(N/2)|的項(xiàng)應(yīng)從式(4.30)和圖4.24中去掉。在一般情況下，圖4.24所示的頻率取樣結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，所用的存儲(chǔ)單元和乘法器比直接型要多。但它有如下優(yōu)點(diǎn)：第一，圖4.24中各二階系統(tǒng)輸出端的乘法器都與H(k)成比例。如果濾波器的多數(shù)取樣值H(k)為零(例如窄帶低通或窄帶帶通濾波器)，那么頻率取樣結(jié)構(gòu)比直接型少用一些乘法器。但存儲(chǔ)器還是要比直接型多用一些。第二，濾波器結(jié)構(gòu)的極點(diǎn)和零點(diǎn)數(shù)目僅取決于沖激響應(yīng)的長度。如果輸入用有限沖激響應(yīng)濾波器組(即長度為N的幾個(gè)不同的沖激響應(yīng))處理，則所有濾波器的一階因式(1-z-N)和二階環(huán)節(jié)各都可用同一種結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。因而，只要單位沖激響應(yīng)長度相

24、同，利用同一梳狀濾波器、同一結(jié)構(gòu)而只有加權(quán)系數(shù)不同的諧振器，就能得到各種不同的濾波器。因而，圖4.24的結(jié)構(gòu)是高度模件化的，適合于對二階系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)分復(fù)用。例4.2 設(shè)一個(gè)FIR數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)為畫出該濾波器的頻率取樣結(jié)構(gòu)的信號(hào)流程圖。例4.3 有一數(shù)字濾波器的流程圖如下所示。欲使其具有線性相位特性，a1, a2, b2, b3應(yīng)為何值？簡單說明理由。已知b0=1，b1=0.5?？疾炀€性相位的特點(diǎn)和偶對稱、奇對稱。4.4 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法就廣義而言，數(shù)字濾波器是一個(gè)用有限精度算法實(shí)現(xiàn)的線性非移變時(shí)域離散系統(tǒng)。設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器包括三個(gè)基本步驟：(1)根據(jù)實(shí)際需要確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)

25、，例如濾波器頻率響應(yīng)的幅度特性和截止頻率等。(2)用一個(gè)穩(wěn)定的因果系統(tǒng)逼近這些指標(biāo)，具體來說，就是由這些指標(biāo)計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)H(z)。(3)用有限精度的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)H(z)，包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)、進(jìn)行誤差分析和選擇存儲(chǔ)單元的字長。第一步與實(shí)際應(yīng)用有關(guān)。第三步關(guān)于濾波器的結(jié)構(gòu)問題已在上節(jié)討論了，而有關(guān)濾波器的誤差分析和存儲(chǔ)器字長的選擇等問題將在第六章中研究。本節(jié)和下一節(jié)主要討論第二步涉及的問題。一般來說，濾波器的性能要求，往往以頻率響應(yīng)的幅度特性的容許誤差來表征。以低通濾波器為例，如圖4.25所示，頻率響應(yīng)有通帶、過渡帶及阻帶三個(gè)范圍(而不是理想的陡截止的通帶、阻帶兩個(gè)范圍)。在通帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差1逼近

26、于1，即阻帶內(nèi)幅度以誤差2逼近于零，即p和T分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。為了能按照這種誤差要求逼近理想低通濾波器，必須有一個(gè)寬度不為零的過渡帶。過渡帶內(nèi)幅度響應(yīng)從通帶平滑地下降到阻帶。在給出濾波器的一組技術(shù)指標(biāo)之后，下一步就是尋找一個(gè)頻率響應(yīng)符合允許指標(biāo)的離散時(shí)間線性系統(tǒng)。這樣，濾波器的設(shè)計(jì)問題便歸結(jié)為數(shù)學(xué)逼近問題。顯然，對于IIR 系統(tǒng)，可以應(yīng)用有理函數(shù)去逼近所希望的頻率響應(yīng)；對于FIR系統(tǒng)，則可用多項(xiàng)式逼近所希望的頻率響應(yīng)。這是因?yàn)閷τ贗IR系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為z-1或z的有理分式：而FIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為z-1的多項(xiàng)式：設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器一般有以下兩種方法：(1)先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的

27、模擬濾波器，然后變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這種方法很方便，這是因?yàn)槟M濾波器已經(jīng)具有很多簡單而又現(xiàn)成的設(shè)計(jì)公式，并且設(shè)計(jì)參數(shù)已經(jīng)表格化了，設(shè)計(jì)起來既方便又準(zhǔn)確。(2)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法。這是一種最優(yōu)化設(shè)計(jì)法。先確定一種最佳準(zhǔn)則，例如設(shè)計(jì)出的實(shí)際頻率響應(yīng)幅度|H(ej)|與所要求的理想頻率響應(yīng)幅度|Hd(ej)|的均方誤差最小準(zhǔn)則，或它們的最大誤差最小準(zhǔn)則等，然后求在此最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。這種設(shè)計(jì)一般得不到濾波器系數(shù)作為所要求的理想頻率響應(yīng)的函數(shù)的閉合形式表達(dá)式，而是需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算、故離不開計(jì)算機(jī)。我們這里只研究第一種方法。利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是要把s平面映

28、射到z平面，使模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)變換成所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，這種由復(fù)變量s到復(fù)變量z之間的映射(變換)關(guān)系，必須滿足兩條基本要求：第一，H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，即s平面的虛軸j必須映射到z平面的單位圓ej上，也就是頻率軸要對應(yīng)。第二，因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z)。也就是s平面的左半平面Res0必須映射到z平面單位圓的內(nèi)部|z|1。我們知道，“模擬原型”濾波器有多種設(shè)計(jì)方法，例如巴特沃思型濾波器，切貝雪夫型濾波器，橢圓函數(shù)型(考爾型)濾波器等。從模擬濾波器映射成數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，主要的有以下幾種映射

29、方法：沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法。4.4.1 沖激響應(yīng)不變法一、變換原理沖激響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)。將模擬濾波器的沖激響應(yīng)加以等間隔的抽樣，使h(n)正好等于ha(t)的抽樣值，即滿足其中T是抽樣周期。實(shí)際上，由模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，就是要建立模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)與數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H(z)之間的關(guān)系。在第二章已經(jīng)討論了z變換與拉氏變換之間的關(guān)系，即(4.32)沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器的s平面變換成數(shù)字濾波器的z平面，如下圖所示。這種映射不是簡單的代數(shù)映射，而是s平面上每一條寬度為2/T的橫條都將重疊地映射到整

30、個(gè)z平面上，而每一橫條的左半邊映射到z平面單位圓以內(nèi)，右半邊映射到z平面單位圓以外，而s平面虛軸映射到z平面單位圓上一周。由于s平面每一橫條都要重疊地映射到z平面上，這正好反映了H(z) 是和Ha(s)的周期延拓序列之間有變換關(guān)系z=esT，故沖激響應(yīng)不變法并不相當(dāng)于從s平面到z平面的簡單代數(shù)映射關(guān)系。這正是用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)產(chǎn)生混疊失真的根本原因，關(guān)于這一點(diǎn)下面將詳加說明。二、混疊失真現(xiàn)在來討論用沖激響應(yīng)不變法得到的數(shù)字濾波器與所參照的模擬濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系。在式4.32中，令z=ej和s=j，得到上式表明，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。

31、由第二章2.5節(jié)抽樣定理可知，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)而不產(chǎn)生混疊失真，即但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，這就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生混疊失真，因而模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快，頻譜混疊失真就越小。這時(shí)采用沖激不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器就能得到良好的結(jié)果，有(4.34)上面討論用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器時(shí)，涉及到參數(shù)T。但是，如果用數(shù)字域頻率來規(guī)定數(shù)字濾波器的指標(biāo)，那么在沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)中T是一個(gè)無關(guān)緊要的參數(shù)，因此，為了方便常取

32、T等于1。沖激響應(yīng)不變法最適合于可以用部分分式表示的傳遞函數(shù)。這從后面的推導(dǎo)可以看出，部分分式表示的傳遞函數(shù)容易計(jì)算其反拉氏變換，從而得到相應(yīng)的沖激相應(yīng)h(n)。三、模擬濾波器的數(shù)字化方法由于沖激響應(yīng)不變法要由模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)求拉普拉斯反變換得到模擬的沖激響應(yīng)ha(t)，然后抽樣后得到h(h)=ha(nT)，再取z變換得H(z)，過程較復(fù)雜。而且由這一變換過程看出，它對部分分式表達(dá)的模擬系統(tǒng)函數(shù)更為方便。(主要是因?yàn)椴糠址质饺菀浊蠓蠢献儞Q)下面我們來討論沖激響應(yīng)不變法所造成的s平面和z平面的對應(yīng)關(guān)系。設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階次大于分子的階次(一般都滿

33、足這一要求，因?yàn)橹挥羞@樣才相當(dāng)于一個(gè)穩(wěn)定的模擬系統(tǒng))。因此可將Ha(s)展開成部分分式表示式:(4.35)其相應(yīng)的沖激響應(yīng)ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反變換(4.36)使用沖激響應(yīng)不變法求數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)h(n)，即令t=nT，并代入上式得：(4.37)對h(n)求z變換，即得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)(4.38)將(4.35)的Ha(s)和(4.38)的H(z)進(jìn)行比較，可以看出：(1) s平面的單極點(diǎn)s=sk變換到z平面上z=eskT處的單極點(diǎn)；(2) Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)是相同的，都是Ak；(3) 如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，即所有極點(diǎn)sk的實(shí)部小于零Resk0，則

34、|eskT|=eReskT1 ，即變換后的數(shù)字濾波器的全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，因此數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的；(4) 雖然沖激響應(yīng)不變法能保證s平面極點(diǎn)與z平面極點(diǎn)有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，但是并不等于整個(gè)s平面與z平面有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，特別是數(shù)字濾波器的零點(diǎn)位置就與模擬濾波器零點(diǎn)位置沒有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，而是隨Ha(s)的極點(diǎn)sk以及系數(shù)Ak兩者而變化。從(4.34)式看出，數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)還與抽樣間隔T成反比，如果抽樣頻率很高，即T很小，則濾波器增益會(huì)太高，這很不好，因而希望數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)不隨抽樣頻率而變化，故作以下修正，令則有(4.39)及這樣，數(shù)字濾波器的增益不隨T變化。例4.4 已知一模擬

35、濾波器的傳遞函數(shù)為使用沖激響應(yīng)不變法求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。解：將Ha(s)展開成部分分式得于是極點(diǎn)s1=-1，s2=-3。直接使用(4.39)，得設(shè)T=1，則模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(j)以及數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ej)分別為由圖看出，由于Ha(j)不是充分限帶的，所以H(ej)產(chǎn)生了很大的頻譜混疊失真，尤其在高頻部分。四、優(yōu)缺點(diǎn)從以上討論看出，沖激響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系，= T。因而一個(gè)線性相位的模擬濾波器可以映射成一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。但是，因?yàn)橛蓄l率混疊效應(yīng)，所以沖激響應(yīng)不變法只適用

36、于限帶的模擬濾波器，而高通和帶阻濾波器不宜采用沖激響應(yīng)不變法，否則要加保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率。對于帶通和低通濾波器，需充分限帶，若阻帶衰減越大，則混疊效應(yīng)越小。4.4.2 雙線性變換法為了消除頻譜的混迭效應(yīng)，可以考慮先將S平面壓縮到一個(gè)中介平面s1的-/T, /T橫帶內(nèi)，再映射到Z平面上，從而可以消除頻譜混迭。一、變換原理雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種變換方法，為了克服多值映射這一缺點(diǎn)，我們首先把整個(gè)s平面壓縮變換到某一中介的s1平面的一條橫帶里(寬度為2/T，即從-/T到/T)，其次再通過上面討論過的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系：z=es1T將此橫帶變換

37、到整個(gè)z平面上去，這樣就使s平面與z平面是一一對應(yīng)的關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。如下圖所示。將s平面整個(gè)j軸壓縮變換到s1平面j1軸上的-/T到/T一段，可以采用以下變換關(guān)系：這樣=變到1=/T，=0變到1=0，可將上式寫成：解析延拓到整個(gè)s平面和s1平面，令j=s，j1=s1，則得再將s1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z平面：這樣就得到s平面和z平面的單值映射關(guān)系為：一般來說，為了使模擬濾波器的某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應(yīng)的關(guān)系，可引入待定常數(shù)c，使、s變成：從而，(4.40)上面兩式是s平面和z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換就稱為雙線性變換。二、變換常數(shù)c的選

38、擇用不同的方法來選擇c就使模擬濾波器頻率特性與數(shù)字濾波器頻率特性在不同頻率點(diǎn)處有對應(yīng)的關(guān)系，也就是可以調(diào)節(jié)頻帶間的對應(yīng)關(guān)系。有兩種方法選擇常數(shù)c：(1)采用使模擬濾波器與數(shù)字濾波器在低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系，即在低頻處有1。當(dāng)1較小時(shí)有從而，因而可得，此時(shí)，模擬原型濾波器的低頻特性近似等于數(shù)字濾波器的低頻特性。(2)采用數(shù)字濾波器的某一特定頻率(例如截止頻率c=1cT)與模擬原型濾波器的一個(gè)特定頻率c嚴(yán)格相對應(yīng)。即(4.42)則有這一方法的主要優(yōu)點(diǎn)是在特定的模擬頻率和特定的數(shù)字頻率處，頻率響應(yīng)是嚴(yán)格相等的，因而可以較準(zhǔn)確的控制截止頻率的位置。三、逼近的情況由式4.40確定的雙線性變換，確實(shí)符合

39、我們提出的對變換關(guān)系應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求：(1)首先把z=ej代入(4.40)式，可得即s平面的虛軸確實(shí)與z平面的單位圓相對應(yīng)。(2)其次，將s=+j代入4.40式，得因此由此看出，當(dāng)0時(shí)，|z|1；0時(shí)，|z|1；0時(shí)，|z|1。也就是說，s的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)，而s的右半平面映射到z平面的單位圓外(同樣可得s的虛軸映射到z平面單位圓上)。因而穩(wěn)定的模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。四、優(yōu)缺點(diǎn)除了這兩點(diǎn)滿足要求外，雙線性變換最大的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)混疊現(xiàn)象，討論如下：(4.42)式表示了模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系，重寫如下：(4.42)它表明s平

40、面與z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系，s平面整個(gè)j軸單值對應(yīng)于z平面單位圓的一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。由圖看出，s平而的正、負(fù)虛軸分別映射成z平面單位圓的上半部分(輻角為正)及下半部分(輻角為負(fù))，頻率軸是單值變換關(guān)系，且時(shí)，=為折疊頻率，故不會(huì)有高于折疊頻率的分量，這就避免了沖激響應(yīng)不變法的頻率響應(yīng)混疊現(xiàn)象。但是又產(chǎn)生了新的問題，除了在零頻率附近，(4.42)式的頻率變換關(guān)系接近于線性關(guān)系外，當(dāng)增加時(shí)，變換關(guān)系就是非線性的了，也就是頻率與之間存在著嚴(yán)重的非線性關(guān)系。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了問題，首先，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后就得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持

41、原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系就要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)(這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性)，不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會(huì)有畸變。雙線性變換中數(shù)字域頻率和模擬頻率之間的非線性關(guān)系限制了它的應(yīng)用范圍，只有當(dāng)非線性失真是允許的或能被補(bǔ)償時(shí)，才能采用雙線性變換。通常，低通、高通、帶通和帶阻等濾波器具有分段恒定的頻率特性，可以采用預(yù)畸變的方法來補(bǔ)償頻率畸變，因此可以采用雙線性變換設(shè)計(jì)方法。但對于頻率響應(yīng)起伏較大的系統(tǒng)，如模擬微分器，就不能使用雙線性變換使之?dāng)?shù)字化。此外，若希望得

42、到具有嚴(yán)格線性相位的數(shù)字濾波器，也不能使用雙線性變換設(shè)計(jì)方法。例4.5 已知一模擬濾波器的傳遞函數(shù)為使用雙線性變換法求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。解：按照常數(shù)c的選擇方法(1)選定常數(shù)c=2/T，設(shè)T=1，將代入Ha(s)，得到4.4.3 數(shù)字巴特沃斯濾波器巴特沃斯(Butterworth)濾波器是根據(jù)幅度響應(yīng)在通帶內(nèi)具有最平特性而定義的濾波器。對一個(gè)N 階低通濾波器來說，所謂最平特性是指平方幅度函數(shù)的前(2N-1)階導(dǎo)數(shù)在=0處為零。巴特沃斯濾波器的另一個(gè)特性是在通帶和阻帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)的。(4.46)模擬巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)為其中為角頻率，在c處幅度響應(yīng)的平方為1/2，N為濾波器的階數(shù)

43、。當(dāng)=0時(shí)，幅度響應(yīng)為1。從式(4.46)看出，隨著N的增大，幅度響應(yīng)曲線在截止頻率附近變得越來越陡峭，即在通帶內(nèi)有更大部分的幅度接近于1，在阻帶內(nèi)以更快的速度下降至零。巴特沃斯濾波器特性與參數(shù)N的關(guān)系如圖4.33所示。巴特沃斯濾波器存在極點(diǎn)，而零點(diǎn)在=處。根據(jù)(4.46)式的平方幅度函數(shù)，可知Ha(s)Ha(-s)必成如下形式：(4.47)由此得極點(diǎn)(4.48)從上式可看出巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布的特點(diǎn)：在s平面上共有2N個(gè)極點(diǎn)等角距地分布在半徑為c的圓周上，這些極點(diǎn)對稱于虛軸，而虛軸上無極點(diǎn)；N為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有兩個(gè)極點(diǎn)；N為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上無極點(diǎn)；各極點(diǎn)間的角度距為/N。圖4.34所示的是N

44、=3時(shí)各極點(diǎn)的分布情況。知道巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)分布后，便可以由s平面左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成傳遞函數(shù)Ha(s)。將式(4.47)寫成以下形式：上式中sk是s平面左半平面的極點(diǎn)，sr是右半平面的極點(diǎn)，A和B都為常數(shù)。因巴特沃斯濾波器有2N個(gè)極點(diǎn)，且對稱于虛軸，所以可將左半平面的極點(diǎn)分配給Ha(s)，以便得到一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)。把右半平面的極點(diǎn)分配給Ha(-s)，Ha(-s)不是所需要的，可以不管它。于是當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，有A由濾波器在=0處的單位響應(yīng)來確定，即由得到這樣，求模擬巴特沃斯濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)的公式可寫為(4.50)式中，sk為左半平面的極點(diǎn)，sk*為sk的共軛極點(diǎn)，N為偶數(shù)。當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，

45、應(yīng)使用公式(4.51)其中，sp為負(fù)實(shí)軸上的極點(diǎn)，其它參數(shù)與式(4.50)相同。得到模擬巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)后，下面就可以采用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。設(shè)計(jì)數(shù)字巴特沃斯濾波器的步驟如下：(1)根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定濾波器在數(shù)字截止頻率P和T處的衰減(單位為dB)。(2)由數(shù)字截止頻率P和T的衰減計(jì)算模擬巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和頻率c。(3)求模擬巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)，并由s平面左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成傳遞函數(shù)Ha(s)。左半平面極點(diǎn)：傳遞函數(shù)：(4)使用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。巴特沃斯低通濾波器的增益

46、定義為G()=-10 lg|Ha(j)|2=-20 lg|Ha(j)| (dB)在=0處增益為0 dB，在=c處增益為-3dB，因此c稱為3dB截止頻率。例4.6 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字巴特沃斯低通濾波器，在通帶截止頻率P=0.2處的衰減不大于1dB，在阻帶截止頻率T=0.3處衰減不小于15dB。解：(1) 根據(jù)濾波器的指標(biāo)，得：由巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)，可知從而解這兩個(gè)方程得N=5.8858，取整N=6，c=0.7032。按此值設(shè)計(jì)的濾波器滿足通帶指標(biāo)要求，阻帶指標(biāo)將超過給定值。(2) 把N=6, c=0.7032代入式4.48，得到s平面左半平面的3對極點(diǎn)分別為極點(diǎn)對1：-0.1820土j0.6792 極點(diǎn)對2：-0.4972土j0.4972極點(diǎn)對3：-0.67924土j0.1820 由這3對極點(diǎn)構(gòu)成的濾波器的傳遞函數(shù)為(3)將Ha(s)用部分分式展開，用式(4.39)求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為顯然，根據(jù)沖激不變法設(shè)計(jì)出來的系統(tǒng)函數(shù)可以直接用并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)。(4)驗(yàn)證所得到的數(shù)字濾波器是否達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)。將z=ej代入系統(tǒng)函數(shù)H(z)表示式，計(jì)算幅度響應(yīng)|H(ej)|和相位響應(yīng)argH(ej)，如圖4.35所示?？梢钥闯?，設(shè)計(jì)的濾波器完全滿足規(guī)定的技術(shù)指標(biāo)。因?yàn)楦唠A模擬巴特沃斯濾波器是充分帶限的，所以不會(huì)有很大的混疊失真。如果得到的濾波器不滿足技術(shù)指標(biāo)，可以試采用更高階的濾波器。