線(xiàn)性代數(shù)解題方法和技巧

1、第一部分行列式一、行列式的概念（1）二階與三階行列式的對(duì)角線(xiàn)法則（2丿拆階行列式的定義（3）余子式、代數(shù)余子式的定義【測(cè)試題】四階行列式中含有衛(wèi)23的項(xiàng)是二、數(shù)字型行列式的計(jì)算計(jì)算數(shù)字型行列式的常見(jiàn)思路有：（1）如果在行列式的某一行（列）中，零的個(gè)數(shù)比較多，可按該行（列）展開(kāi)：（2丿利用行列式的性質(zhì)，將行列式某行（列）中盡可能多的元素化為零，然后再按該行（列）展開(kāi)（課本P.18例7的第二種解法）；（3）三角形法：利用行列式的性質(zhì)，將給定的行列式化為上（下）三角形行列式（課本P.12例7、例3、例9）：（4）遞推法或數(shù)學(xué)歸納法（課本P.15例11,P.18例12）；（5）利用范德蒙行列式；（6）

2、利用拉普拉斯定理（同濟(jì)第五版的線(xiàn)性代數(shù)沒(méi)有介紹該定理，不作為期末考試要求）.【測(cè)試題】計(jì)算下列各行列式（以為上階行列式）：TOC o 1-5 h za1（1）Dn=,其中對(duì)角線(xiàn)上的元素都是a,未寫(xiě)出的元素都是0；1axaaaxaD*=.：:;aa-x線(xiàn)性代數(shù)解題方法和技巧線(xiàn)性代數(shù)解題方法和技巧- -線(xiàn)性代數(shù)解題方法和技巧線(xiàn)性代數(shù)解題方法和技巧-L9-L9-(8)77階矩陣最多只有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量(因?yàn)橄蛄靠臻g尺”的維數(shù)等于H).(刃若2是力的特征值，則/是乂“的特征值：傾2)是如)的特征值(其中(p(A)=a0+al/l+-+am/T是乂的多項(xiàng)式，(p(A)=a0E+aA+a1是矩陣必的多

3、項(xiàng)式)(參閱課本P.120例8).力丁與乂有相同的特征值.n階零矩陣O的特征值只能等于0.特別地，若力是拆階對(duì)稱(chēng)陣，2是力的十重特征值，則R(A-AE)=n-k.從而對(duì)應(yīng)于特征值2恰有十個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量?jī)蓛烧?；n階對(duì)稱(chēng)陣恰有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.【測(cè)試題】(3-1矩陣乂=的特征值為(-13丿設(shè)n階矩陣力,滿(mǎn)足R(A)+R(B)n,證明有公共特征值，有公共特征向量.已知3階矩陣力的特征值為1,2,-3,求|才+3力+2&.設(shè)a=(al9a2,-,an)T厲工0,A=aaT證明兄=0是n階矩陣力的/?一1重特征值.三、方陣的相似對(duì)角化關(guān)于階方陣的相似對(duì)角化，有以

4、下結(jié)論：(1)拆階方陣&可以相似對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)力有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量：(2丿如果川階方陣力的拆個(gè)特征值各不相同，則力可以相似對(duì)角化；(3)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以相似對(duì)角化.n階方陣A相似對(duì)角化的一般步驟：(求出4的所有互不相等的特征值人,九,，人(SG),它們的重?cái)?shù)依次為也,，代(何+上2+代=n).丿如果s=n,則力可以相似對(duì)角化，轉(zhuǎn)入第(w)步；否則轉(zhuǎn)入第(血)步.丄)如果對(duì)每一個(gè)V重特征值尺(乂-4毋=卅-任都成立，則力可以相似對(duì)角化，轉(zhuǎn)入第(LV)步；否則力不能相似對(duì)角化，算法結(jié)束.(1V)對(duì)每一個(gè)重特征值人，求(A_&E)x=O的基礎(chǔ)解系，得瞌個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,轉(zhuǎn)入第(v丿步.因?yàn)?/p>

5、&+取+匕=“,所以一共可以得到n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.(v)這n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量構(gòu)成可逆矩陣P,滿(mǎn)足PlAP=A.注意A中對(duì)角元的排列次序應(yīng)與P中列向量的排列次序相對(duì)應(yīng).特別地，對(duì)稱(chēng)矩陣相似對(duì)角化的步驟參閱課本P.125.若方陣3相似，則(1)方陣4E有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值；方陣的多項(xiàng)式風(fēng)4)與03)也相似；(3)特別地，若有可逆矩陣P,使得PlAP=A為對(duì)角陣，則PlAkP=N,Pl(p(A)P=傾A),*入)、因?yàn)?，傾A)=傾入)1島、做人)丿所以可以通過(guò)傾A)計(jì)算方便地計(jì)算力的多項(xiàng)式0(力)；(4)特別地，若傾刃是力的特征多項(xiàng)式，則風(fēng)4)=0(零矩陣).【測(cè)試題】201、1.設(shè)矩陣=31x可相似對(duì)角化，求X.(405,2.25-12.25-1-1ab2、3的一個(gè)特征向量.一27(1)求參