抽象函數(shù)問題的求解策略探究

1、PAGE PAGE 7抽象函數(shù)問題的求解策略探究湖南省 黃愛民 趙長春函數(shù)是每年高考的熱點(diǎn)，而抽象函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用又是函數(shù)的難點(diǎn)之一。抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則。此類函數(shù)試題既能全面地考查學(xué)生對函數(shù)概念的理解及性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，又能綜合考查學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力，以及對一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識(shí)。因此備受命題者的青睞，在近幾年的高考試題中不斷地出現(xiàn)。然而，由于這類問題本身的抽象性和其性質(zhì)的隱蔽性，大多數(shù)學(xué)生在解決這類問題時(shí)，感到束手無策。下面通過例題來探討這類問題的求解策略。一、具體模模型策略略例1已知知函數(shù)ff(x)對一切切

2、實(shí)數(shù)xx、y滿滿足f(0)0，ff(x+y)=f(xx)(yy),且且當(dāng)x0時(shí)，ff(x)1,則當(dāng)xx0時(shí)時(shí)f(xx)的取取值范圍圍是。解析：令ff(x)=axx(0a11)易得得0ff（x）1。評析：借助助特殊函函數(shù)直接接解抽象象函數(shù)客客觀題是是常用的的解題處處理方法法，可以以迅速得得到正確確答案。二、類比聯(lián)聯(lián)想策略略例2已知知f(xx)是定定義在實(shí)實(shí)數(shù)集上的函函數(shù)，且且f(xx2)1f(xx)=1ff(x)，f(2)=1,則ff(20006)=（ ）分析：由條條件知，ff(x+2)= （*），又又f(1)2 ，逐步步推出ff(20006)，顯然然比較繁繁鎖，若若將（*）式與與進(jìn)行類類比，則

3、則結(jié)構(gòu)形形式類似似，而yy=tanx的的周期為為=4.于是便便產(chǎn)生一一個(gè)念頭頭：f(x)也也有可能能是周期期函數(shù)，周周期為44288.于是猜想成成立。f(20006)ff(825006)ff(6)ff(228)從而應(yīng)應(yīng)選B。評析：由于于抽象函函數(shù)的結(jié)結(jié)論對任任何滿足足條件的的具體函函數(shù)都成成立，因因而可以以通過考考察一些些具體函函數(shù)，巧巧妙類比比聯(lián)想，以以找到解解題的突突破口，最最后利用用具體函函數(shù)的一一些性質(zhì)質(zhì)探索出抽抽象函數(shù)數(shù)的解題題思路。三、運(yùn)用函函數(shù)性質(zhì)質(zhì)策略例3定義義在上的的單調(diào)函函數(shù)滿足足，且對對任意的的、都有（1）求證證：為奇奇函數(shù)（22）若對對任意恒恒成立，求求實(shí)數(shù)的的取值范范

4、圍。解：令,代代入 得: 令代入入上式得得：，又即 對任任意成立立，是奇函數(shù)數(shù)(2),又又在R上單單調(diào)且， 故是上的增增函數(shù)，又又由（11）知為奇函函數(shù)恒成立，只只需評析：函數(shù)數(shù)的特征征是通過過其性質(zhì)質(zhì)（如奇奇偶性、單單調(diào)性、周周期性、特殊點(diǎn)點(diǎn)等）反反應(yīng)出來來的，抽抽象函數(shù)數(shù)也是如如此只只有充分分挖掘和和利用題題設(shè)條件件和隱含含的性質(zhì)質(zhì)，靈活活進(jìn)行等等價(jià)轉(zhuǎn)化化，抽象象函數(shù)問問題才能能峰回路路轉(zhuǎn)，化化難為易易，常用用的解題題考法有有：利用奇奇偶性整整體思考考；利用單單調(diào)性等等價(jià)轉(zhuǎn)化化；利用周周期性回回歸已知知，利用對對稱性數(shù)數(shù)形結(jié)合合；借助特特殊點(diǎn)，列列方程（組組）等四、賦值換換元策略 例4是是

5、否存在在函數(shù)同同時(shí)滿足足下列三三個(gè)條件件：（1）；（22）；（3）？若若存在，求求的表達(dá)達(dá)式；若若不存在在，請說說明理由由。分析：條件件(1)中、的任意意性，隱隱含著、既可“換元”，又可可“賦值”，結(jié)合合條件(2)和和(3)，可望望構(gòu)造出出函數(shù)方方程組，從從而求得得函數(shù)表表達(dá)式。令，得令， 得得令， 得將 = 1 * GB3 + = 2 * GB3 - = 3 * GB3 得，故存在在符合題題意。評析：對于于用常規(guī)規(guī)解法難難以解決決的數(shù)學(xué)學(xué)問題，若若利用一一些特殊殊的數(shù)學(xué)學(xué)思想方方法求解解，有時(shí)時(shí)會(huì)收到到事半功功倍的效效果。方方程觀點(diǎn)點(diǎn)是處理理數(shù)學(xué)問問題的一一個(gè)基本本觀點(diǎn)，挖挖掘隱含含條件，合

6、合理賦值值，構(gòu)造造方程（組組），化化函數(shù)問問題為方方程問題題，可使使這類抽抽象函數(shù)數(shù)問題迅迅速獲解解。如(1)在在求函數(shù)數(shù)解析式式或研究究函數(shù)性性質(zhì)時(shí)，一一般用“代換”的方法，將將x 換換成-xx或?qū)x 換成成等； (2)在求函函數(shù)值時(shí)時(shí)，可用用特殊值值（如00或1或或一1)代人人”； (3)研研究抽象象函數(shù)的的具體模模型，用用具體模模型解選選擇題、填填空題，或或由具體體模型函函數(shù)對綜合合題的解解答提供供思路和和考法，或或反證、逆逆推諸法法共用五、分類討討論策略略 例55設(shè)f（xx）是定定義在（-，+）上的的增函數(shù)數(shù)，問是是否存在在實(shí)數(shù)kk，使不不等式ff（k+sinn2x）f（k-4）（s

7、inx+cosx）對任意xR恒成立？并說明理由。 分析：令令sinnx+ccosxx =tt，則ssin22x = t22-1 ，原不不等式對對一切xxR恒成成立，等等價(jià)于不不等式（t）= t22 -（kk-4）tt+（kk-1）0對任意t恒成立，下列分三種情況討論： （1）當(dāng)0時(shí)時(shí)，（t）0，對對t恒成立立，由=-4（kk-1）=（k-2）（kk-100）00得2k110；（2）當(dāng)=0時(shí)時(shí)，k=2或kk=100，此時(shí)時(shí)拋物線線t2 -（kk-4）tt+（kk-1）的的頂點(diǎn)橫橫坐標(biāo)tt= -11或t=3，（t）0對任任意t恒成立立；（t）= t22 -（kk-4）tt+（kk-1）0 （3）當(dāng)

8、當(dāng)0時(shí)時(shí)，（t）0對任任意t恒成立立的充要要條件是是： 綜上上所述得得k的取值值范圍是是.評析：對于于參數(shù)的的抽象函函數(shù)問題題，通過過挖掘隱隱含條件件，尋求求分類標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，逐逐類討論論，分而而治之是是解題的的常用方方法.六、整體求求解策略略例6、已知知f(xx)，gg(x)為奇函函數(shù),FF(x)=aff(x)+bgg(x)+3（aa，b為為常數(shù)）若若F(44)=4,則則F(4)=_ 。解:設(shè)(x)=af(x)+bg(x),則(x)=F(x)3，由由題設(shè)可可知(x)為奇函函數(shù)，(44)=(4)即F(44)33=F(44)33，故故F(4)=10評析：運(yùn)用用整體思思想求解解，即先先化整體體為局部部，

9、再由由各局部部的解決決使問題題獲解。七、正難則則反策略略例7已知知f(xx)在實(shí)實(shí)集上上是增函函數(shù)，aa，b都都是實(shí)數(shù)數(shù)，若ff(a)+f(b)f(a)+f(b),求證：a+bb0。分析：本題題若用直直接證法法顯然無無從下手手，但考考慮用反反證法則則問題可可以很快快解決。證明：假設(shè)設(shè)a+bb0，則ab,ba,因?yàn)閒(x)是上的增函數(shù)，故f(a)f(b),f(b)f(a)，兩式相加：f(a)+f(b)f(a)+f(b),這與條件f(a)+f(b)f(a)+f(b)矛盾，故假設(shè)不成立，于是a+b0。八、數(shù)形轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化策略略例8已知知f(xx)是上的奇奇函數(shù)，在在區(qū)間（，）上是是增函數(shù)數(shù)，又ff(33)，那么么xf(xx)00的解集集是（ ）、x|3x00或x3 、x|xx或x33 、x|x或x3 、xx|33x0或x3解：根據(jù)題題設(shè)條件件可畫出出函數(shù)yy=f(x)的的示意草草圖，如如上圖f(3)=ff(33)=00, 而而xf(xx)00 x與ff(x)異號，由由圖象知知3x00或0 x33，從而正確的的答案為為()評析：對于于抽象函函數(shù)，若若能依據(jù)據(jù)條件所所給出的的函數(shù)性性質(zhì)，畫畫出相