【八年級數(shù)學(xué)講義】平行四邊形（基礎(chǔ)）

1、中 正 教 育 教 師 （學(xué)生）講 義 年 級 ： 課時(shí)數(shù)： 輔 導(dǎo) 科 目 ： 學(xué)科教師： 課 題 平行四邊形授課日期及時(shí)段 年 月 日 段 （ ：00- ：00） 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)1理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理；2能初步運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，并體會如何利用所學(xué)的三角形的知識解決四邊形的問題3. 能綜合運(yùn)用平行四邊形的判定定理和平行四邊形的性質(zhì)定理進(jìn)行證明和計(jì)算重 難 點(diǎn) 平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理以及應(yīng)用。教 學(xué) 內(nèi) 容要點(diǎn)一、平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平

2、行四邊形ABCD”. 要點(diǎn)詮釋：平行四邊形的基本元素：邊、角、對角線.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對；相對的邊為對邊，有兩對；相鄰的兩角為鄰角，有四對；相對的角為對角，有兩對；對角線有兩條.要點(diǎn)二、平行四邊形的性質(zhì) 1邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對邊平行且相等；2角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對角相等；3對角線性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分；4平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)為對稱中心. 要點(diǎn)詮釋：（1）平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選

3、擇.（3）利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來解決.要點(diǎn)三、平行四邊形的判定1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點(diǎn)詮釋：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)平行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡單的方法.（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).要點(diǎn)四、平行線間的距離1.兩條平行線間的距離：（1）定義：兩條平

4、行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值.（2）平行線間的距離處處相等任何兩平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線段的長度.兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的. 2.平行四邊形的面積： 平行四邊形的面積底高；等底等高的平行四邊形面積相等. 類型一、平行四邊形的性質(zhì)1、如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，若AF、BE分別為DAB、CBA的平分線求證：DFEC【答案與解析】證明： 在ABCD中，CDAB， DFAFAB 又 AF是DAB的平分線， DAFFAB， DAFDFA， ADDF 同理可

5、得ECBC 在ABCD中，ADBC， DFEC【總結(jié)升華】利用平行四邊形的性質(zhì)可以得到對角相等，對邊平行且相等，為證明線段相等提供了條件舉一反三：【變式】如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的點(diǎn)，CEAF，請你猜想：線段BE與線段DF有怎樣的關(guān)系？并對你的猜想加以證明. 【答案】證明：猜想：BE DF且BEDF.四邊形ABCD是平行四邊形 CBAD，CBAD BCEDAF 在BCE和DAF中 BCEDAF BEDF，BECDFA BEDF即 BE DF且BEDF.類型二、平行四邊形的判定2、如圖所示，E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、BC上的點(diǎn)，且四邊形AECF和DEBF都是平行四

6、邊形，AF和BE相交于點(diǎn)G，DF和CE相交于點(diǎn)H求證：四邊形EGFH為平行四邊形【思路點(diǎn)撥】欲證四邊形EGFH為平行四邊形，只需證明它的兩組對邊分別平行，即EGFH，F(xiàn)GHE可用來證明四邊形EGFH為平行四邊形【答案與解析】 證明： 四邊形AECF為平行四邊形， AFCE 四邊形DEBF為平行四邊形， BEDF 四邊形EGFH為平行四邊形【總結(jié)升華】平行四邊形的定義既包含平行四邊形的性質(zhì)，又可以用來判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，即平行四邊形的兩組對邊分別平行，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形舉一反三：【變式】如圖所示，在ABCD中，E、F分別為BC、AD上的點(diǎn)，且BEDF，求證：AECAFC

7、【答案】證明： 四邊形ABCD為平行四邊形 ADBC(平行四邊形對邊平行且相等)又 BEDF， AFCE 四邊形AECF是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形) AECAFC(平行四邊形的對角相等)3、如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別在AD、BC邊上，且AECF求證：（1）ABECDF；（2）四邊形BFDE是平行四邊形【答案與解析】證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，AC，ABCD，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS）；（2）四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ADBC，AECF，ADAEBCCF，即DEBF，四邊形BFDE是平行四邊形【總結(jié)升華】此題考查了平

8、行四邊形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定此題難度不大，注意熟練掌握定理的應(yīng)用類型三、平行四邊形與面積有關(guān)的計(jì)算4、如圖所示，在ABCD中，AEBC于點(diǎn)E，AFCD于點(diǎn)F若EAF60，BE2，DF3，求AB，BC的長及ABCD的面積【思路點(diǎn)撥】在四邊形AECF中，由已知條件EAF60，可求出C120，進(jìn)而求出B60由于BE2，在RtABE中，可求出AB同理，在RtAFD中求出AD要求ABCD的面積，需求出AE或AF的長【答案與解析】解：在四邊形AECF中，EAF60，AEBC，AFCD， C360EAFAECAFC360609090120 在ABCD中， ABCD， BC180CD180， BD

9、60 在RtABE中，B60，BE2， AB4，CDAB4(平行四邊形的對邊相等) 同理，在RtADF中，AD6， BCAD6， () CDAF()【總結(jié)升華】本題除了應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理外，還應(yīng)用了“直角三角形中，30的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半”這個(gè)直角三角形的性質(zhì)舉一反三：【變式】如圖，已知ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且AM9，BD12，AD10，求該平行四邊形的面積. 【答案】解：平移線段AM至BE，連EA，則四邊形BEAM為平行四邊形BEAM9，EDAEAD15，又BD12EBD90，BEBD， EBD面積54又2AEADABD面積36ABCD的面積72. 一.選擇題1

10、. 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且ABAD，則下列式子不正確的是（ ）A.ACBD B.ABCDC. BOOD D.BADBCD2. 四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，給出下列四組條件：ABCD，ADBC；ABCD，ADBC；AOCO，BODO；ABCD，ADBC其中一定能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的條件有( ) A1組 B2組 C3組 D4組 3. 下面給出了四邊形ABCD中A、B、C、D的度數(shù)之比, 其中能識別四邊形ABCD為平行四邊形的是( ) A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如圖，在平行

11、四邊形ABCD中，過對角線BD上一點(diǎn)P，作EFBC，HGAB，若四邊形AEPH和四邊形CFPG的面積分另為和，則與的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.不能確定5. 平行四邊形的一邊長是10，那么它的兩條對角線的長可以是（） A.4和6B.6和8C.8和10D.10和126. 如圖，ABCD中，DAB的平分線AE交CD于E，AB5，BC3，則EC的長（ ） A1 B1.5 C2 D3二.填空題7. 如圖所示，在ABCD中，對角線相交于點(diǎn)O，已知AB24 ，BC18 ，AOB的周長為54 ，則AOD的周長為_8. 已知ABCD，如圖所示，AB8，BC10，B30，ABCD的面積為_9在ABCD中

12、，CAAB，BAD120，若BC10，則AC_，AB_10. 在ABCD中，AEBC于E，若AB10，BC15，BE6，則ABCD的面積為_11已知：如圖，四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，則四邊形ABCD是_12.如圖，在ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，且BEDF，若EBF45，則EDF的度數(shù)是_.三.解答題13如圖：工人師傅要把一塊三角形的鋼板，通過切割焊接成一個(gè)與其面積相等的平行四邊形請你設(shè)計(jì)一種方案并在圖中標(biāo)出焊接線，然后證明你的結(jié)論14. 已知：如圖，E、F是ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn)，AECF 求證：四邊形BEDF是平行四邊形15.如圖，在ABC中，ACB90，D

13、是BC的中點(diǎn)，DEBC，CEAD，若AC2，CE4，求四邊形ACEB的周長.【答案與解析】一.選擇題1.【答案】A；2.【答案】C；【解析】能判定平行四邊形.3.【答案】B； 【解析】平行四邊形對角相等.A與C為對角，B與D為對角.4.【答案】A； 【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定得出平行四邊形GBEP、HPFD，證ABDCDB，得出ABD和CDB的面積相等；同理得出BEP和PGB的面積相等，HPD和FDP的面積相等，相減即可求出答案5.【答案】D；【解析】設(shè)兩條對角線的長為.所以,所以選D.6.【答案】C；【解析】因?yàn)镈AEBAE，BAEDEA，所以ADDEBC3，ECDCDE532.二.

14、填空題7.【答案】48； 【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)DOB，ADBC18cm又因?yàn)锳OB的周長為54，所以O(shè)AOBAB54，因?yàn)锳B24，所以O(shè)AOB542430()，所以O(shè)AOD30()，所以O(shè)AODAD301848()即AOD的周長為488.【答案】40；【解析】過點(diǎn)A作AHBC于H在RtABH中，B30，AB8，AHAB4()BCAH10440() 9.【答案】5，5；【解析】由題意，DACBCA30，AB，.10【答案】120；【解析】，所以ABCD的面積為15812011【答案】平行四邊形；12.【答案】45；【解析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得ADBC，又由BEDF，即可證得四邊形BFDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角相等，即可求得EDF的度數(shù)三.解答題13.【解析】解：沿中位線將三角形分割開，將得到的小三角形繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度再與梯形拼接即可，如圖所