理論力學導論復習課件

1、五、六章五、六章簡答題1.寫出在慣量主軸坐標系中，剛體對定點的慣量張量、 動量矩以及動能的表達式。2.寫出剛體對定點O的轉動慣量的一般表達式，以及 各元素的名稱。寫出在慣量主軸坐標系中的轉動慣 量表達式，并說明各元素的物理意義。3.作平面平行運動的剛體對瞬心軸的角動量定理是否 成立？為什么？4.在求解剛體的定點轉動問題時, 為什么常采用固聯(lián)于剛體的慣量主軸坐標系? 簡答題1.寫出在慣量主軸坐標系中，剛體對定點的慣量張量、2.1、寫出在慣量主軸坐標系中，剛體對定點的慣量張量、動量矩以及動能的表達式。 答：慣量主軸坐標系中，剛體對定點的慣量張量為 1、寫出在慣量主軸坐標系中，剛體對定點的答：慣量主

2、軸坐標系慣量主軸坐標系中，剛體對定點的動量矩為 慣量主軸坐標系中，剛體對定點的動能表達式為慣量主軸坐標系中，剛體對定點的動量矩為 2、寫出剛體對定點O的轉動慣量的一般表達式，以及各元素的名稱。寫出在慣量主軸坐標系中的轉動慣量表達式，并說明各元素的物理意義。答：Jxx、Jyy、Jzz表示在以O點為原點的直角坐標系中，剛體對x軸、y軸和z軸的轉動慣量；Jxy、Jyz、Jzx表示在以O點為原點的直角坐標系中，剛體對x軸、y軸和z軸的慣量積；2、寫出剛體對定點O的轉動慣量的一般表達式，答：Jxx、Jy、和分別表示瞬時軸對x軸、y軸和z軸的方向余弦； 如果x軸、y軸和z軸為慣量主軸，則JxyJyzJzx

3、0，1 ， ， Jxx、Jyy、Jzz表示在以O點為原點的直角坐標系中，剛體對x軸、y軸和z軸的轉動慣量。 、和分別表示瞬時軸對x軸、y軸和z軸的方向 3.作平面平行運動的剛體對瞬心軸的角動量定理是否 成立？為什么？答：不成立。 因為：建立瞬心坐標系 等式右邊第2項為零，即（內力與相對位矢在同一直線上） 但第3項（慣性力矩）不為零，故對瞬心來說， O123.作平面平行運動的剛體對瞬心軸的角動量定理是否 4.在求解剛體的定點轉動問題時, 為什么常采用固聯(lián)于剛體的慣量主軸坐標系? 答：這樣選取的坐標系，必然是與剛體關聯(lián)著轉動的活動坐標系，在此坐標系中剛體的慣量矩陣是對角化的，且不隨時間變化：角動量

4、為：4.在求解剛體的定點轉動問題時, 為什么常采用固聯(lián)于剛體的慣請推導分量表達式請推導分量慣量張量轉動慣量慣量張量轉動慣量慣量積慣量積慣量矩陣慣量矩陣二、剛體的轉動動能三、轉動慣量 物理意義：轉動慣性的量度 . 轉動慣量的大小取決于剛體的質量、形狀及轉軸的位置.注意二、剛體的轉動動能三、轉動慣量 物理意義：轉動慣性的量度四、剛體對通過空間一點O的任意軸的轉動慣量 設瞬軸的方向余弦為(,)四、剛體對通過空間一點O的任意軸的轉動慣量 設瞬軸的方向余弦可見：要計算對某軸的轉動慣量J，算出慣量系數，把該軸的方向余弦代入公式即可。注意：選剛體坐標系，慣量系數為常數，是對x, y, z的方向余弦可見：要計

5、算對某軸的轉動慣量J，算出慣量系數，把注意：選剛體五、 剛體的轉動動能重新表示質點組動能柯尼希定理1、剛體繞固定點轉動時動能表示：XYZOC當剛體繞固定點O轉動時，任意位置r處質點的速度為：五、 剛體的轉動動能重新表示質點組動能柯尼希定理1、剛體則故剛體繞固定點O轉動的動能為剛體對通過質心的瞬時轉軸的轉動慣量則故剛體繞固定點O轉動的動能為剛體對通過質心的瞬時轉軸的轉動注意若轉軸方向不變，就是剛體繞軸的轉動慣量若所選的坐標軸是對于O點的慣量主軸，則轉動動 能為：注意若轉軸方向不變，就是剛體繞軸的轉動慣量若所選的坐標軸2、剛體作一般運動時的動能表示：討 論（1）平動（2）定軸轉動其中2、剛體作一般

6、運動時的動能表示：討 論（1）平動（2）定軸轉（3）平面平行運動（3）平面平行運動4. 慣量主軸及其求法據解析幾何理論，適當選取坐標軸方向（旋轉）可使方程中的交叉項消失，該旋轉后的坐標軸為慣量主軸，對該慣量主軸的轉動慣量Jxx，Jyy，Jzz稱為主轉動慣量。選慣量主軸為坐標軸：4. 慣量主軸及其求法據解析幾何理論，適當選取坐標軸方向（旋慣量主軸：剛體繞過定點的特殊方向的軸轉動，在這個方向上，L與方向一致。確定慣量主軸的方法：1) 解析法：橢球與主軸交點位矢與該點法線方向一致2) 幾何法：適用于幾何對稱，分布均勻剛體慣量主軸：剛體繞過定點的特殊方向的軸轉動，在這個方向上，L與（1）若剛體有一對稱

7、軸，如oz軸，則該軸為慣量主軸（2） 如剛體有一對稱面，則此面的法線為慣量主軸若必有則如xoy平面，若必有（1）若剛體有一對稱軸，如oz軸，則該軸為慣量主軸（2） 如AvA 速度瞬心可在平面圖形內,也可在平面圖形外.且它的位置不是固定不變,而是隨著時間變化的.(2)速度瞬心的確定C(a)當平面圖形沿某一固定面作無滑動的滾動時, 圖形上與固定面的接觸點C即為該圖形的瞬心.vAACAvA 速度瞬心可在平面圖形內,也可在平面圖形外.且(b) 已知在某瞬時圖形上任意兩點A和B速度的方位且它們互不平行.則通過兩點A和B分別作速度vA 和 vB 的垂線其交點C即為瞬心.COAB(b) 已知在某瞬時圖形上任

8、意兩點A和B速度的方位且它(c)已知在某瞬時圖形上A和B兩點的速度互相平行,且垂直于A B的連線 ,但速度大小不等.則此時AB直線與兩速度矢量 vA和 vB 的終端連線的交點C 即為瞬心.ABvAvBCvBvAABC(c)已知在某瞬時圖形上A和B兩點的速度互相平行,且垂直于A(d)已知在某瞬時圖形上A 和 B兩點的速度的方位互相平行,但不垂直于A B的連線.此時瞬心在無窮遠處.OBA這種情況稱為瞬時平動.(d)已知在某瞬時圖形上A 和 B兩點的速度的方位互相平行,例3 如圖, 一半徑為R的乒乓球與水平面摩擦系數為. 開始時, 用手按球的上左側, 使球質心以vC0向右運動, 并具有逆時針方向的初

9、始角速度0, 設vC00, 乒乓球一邊滑動, 一邊倒著轉動. 它在水平面方向受滑動摩擦力-mg的作用, 按照質心運動定理, 有利用(a)和(b)來分析乒乓球的運動vC00t=0fPPvCt=t1對質心的摩擦擦力矩-mgR, 對質心的轉動方程為(1) 當t=t1=vC0/(g), vC=0, =0 3vC0/(2R), 據條件vC0 0, 質心停止運動,繞質心的旋轉方向沒有變.例3 如圖, 一半徑為R的乒乓球與水平面摩擦系數為. 開 當t t1, vC 0, 質心開始倒退, 但接觸點P的速度vP=vC+ R 0, 滑動摩擦力方向向左, 驅使質心加速倒退, 力矩繼續(xù)減緩轉動, 直到接觸點P的速度為

10、零.(2) vP為零的時刻t2滿足自時刻t2以后, 乒乓球向后作無滑動滾動, 如不考慮滾動摩擦, 質心速度和角速度恒定 當t t1, vC 0, 質心例1 當飛機在空中以定值速度V沿半徑為R的水平圓形軌道C轉彎時, 當螺旋漿尖端B與中心A的聯(lián)線和鉛垂線成角時, 求B點的速度及加速度. 已知螺旋槳的長度AB=l, 螺旋槳自身旋轉的角速度為1.解：取螺旋槳的中心A為動坐標系原點, 其單位矢量如圖, 則當飛機轉彎時, 整個飛機繞 k 轉動的角速度為0=V/R, 故螺旋漿的合成角速度為例1 當飛機在空中以定值速度V沿半徑為R的水平圓形軌道C轉又當飛機轉彎時，A描繪一半徑為R的水平圓周, 故A的速度為V

11、, 方向沿圓周的切線, 即j的方向. 取A為基點, 則螺旋槳尖端B的速度為又當飛機轉彎時，A描繪一半徑為R的水平圓周, 故A的速度為V現(xiàn)在求B點的加速度. 因A點加速度為-V2/Ri. 而因k為恒矢量, 故但故現(xiàn)在求B點的加速度. 因A點加速度為-V2/Ri. 而因k所以, B點的加速度為所以, B點的加速度為6-3.虛位移與虛功(1)虛位移 質點或質點系在給定瞬間,為約束所容許的任何微小的位移,稱為質點或質點系的虛位移.記為r. 虛位移只是一個幾何概念,它完全由約束的性質及其限制的條件所決定.它只是約束所容許的可能發(fā)生而實際不一定發(fā)生的位移,它與作用力無關,與時間無關.它可以有多種不同的方向

12、,它必須是微小量. 實位移是質點或質點系在力的作用下,在一定時間間隔內實際發(fā)生的位移.它有確定的方向,它可以是微小量,也可以是有限量.6-3.虛位移與虛功(1)虛位移 質點或質點系在給定瞬6-4.理想約束和虛功原理 以Ni表示質點系中質點Mi的約束力的合力 , ri表示該質點的虛位移 , 則質點系的理想約束條件可表示為 Ni ri = 0一、理想約束的定義 如果約束反力在質點系的任何虛位移中所作元功之和等于零 , 則這種約束稱為理想約束.6-4.理想約束和虛功原理 以Ni表示質點系中質(1)光滑接觸面Nr 光滑接觸面的約束反力恒垂直于接觸面的切面 , 而被約束質點的虛位移總是沿著切面的 , 即

13、N rNN r(2)連接兩剛體的光滑鉸鏈 設AB桿與BC桿在B點用光滑鉸鏈連接.由N = N 得 Nr + Nr = Nr - Nr = 0 Nr = 0ABC(1)光滑接觸面Nr 光滑接觸面的約束反力恒垂直N(3)連接兩質點的無重剛桿 連接兩質點的剛桿由于不計自重為二力桿.設質點M1和M2的虛位移分別為 r1 與 r2 則有:r1cos 1 = r2cos 2 N1r1 + N2r2 = N1r1 cos 1 - N2r2 cos 2 = 0M1M2 r1 r2N1N212(3)連接兩質點的無重剛桿 連接兩質點的剛桿由于不四 循環(huán)積分舉例說明請說明質點在有心力場中的循環(huán)坐標和循環(huán)積分情況廣義

14、動量：四 循環(huán)積分舉例說明請說明質點在有心力場中的循環(huán)坐標廣義動量xyAMO例題5.鉸接于光滑水平面上的直桿OA受力如圖所示.畫出點A的實位移和虛位移.drdr112r2 在定常的幾何約束的情形下 , 約束的性質與時間無關 , 微小的實位移是虛位移之一.xyAMOxyAMO例題5.鉸接于光滑水平面上的直桿OA受力如圖所示 具有雙面,定常,理想約束的質點系,其平衡的必要和充分條件可表示為: 在某一給定的平衡位置上, 對應于各個廣義坐標的廣義力都等于零.(3)求廣義力的兩種方法1)解析法2)幾何法(3)(4) 具有雙面,定常,理想約束的質點系,其平衡的必要和充分例題6.如圖所示,無重桿OA和AB以

15、光滑鉸鏈相連,O端為固定鉸鏈,桿長OA = a , AB=b今在A點作用一鉛垂向下的力P,在自由端作用一水平力F, 在AB 桿上作用一矩為 M 的力偶.當系統(tǒng)在鉛垂平面內處于平衡時 , 求對應于廣義坐標的廣義力.OAB21PFMyx例題6.如圖所示,無重桿OA和AB以光滑鉸鏈相連,O端為固定解: 系統(tǒng)有兩個自由度.取1和2為廣義坐標,且以逆時針轉向為正.(1)解析法P = P jF = F iyA = acos1xB = asin1+bsin2 OAB21PFMyx解: 系統(tǒng)有兩個自由度.取1和2為廣義坐標,且以逆時針轉求與廣義虛位移1和 2相應的廣義力Q1和Q2OAB21PFMyx求與廣義虛

16、位移1和 2相應的廣義力Q1和Q2OAB(2)先令畫虛位移圖rA1rBAB桿作平動.rA = rBOAB21PFMyx(2)幾何法(2)先令畫虛位移圖rA1rBAB桿作平動.rA 再令2rB畫虛位移圖AB桿繞A轉動.OAB21PFMyx再令2rB畫虛位移圖AB桿繞A轉動.OAB21PF例題7.圖示小車以勻加速度a 沿水平直線運動. 小車上有一質量為 m, 長為l 的單擺,其轉角在任一瞬時為,當 = 0時, = 0.求在任一瞬時桿OM的拉力.xyoxyoMa例題7.圖示小車以勻加速度a 沿水平直線運動. 小車上有一質xyoxyoMa解: 取M為研究對象進行運動分析. 把靜系oxy固結在地面上,動

17、系oxy固結在小車上.a質點 M的相對運動是以o 為圓心 l 為半徑的圓弧運動.小車的平動為牽連運動.xyoxyoMa解: 取M為研究對象進行運動分析.xyoxyoMaa進行受力分析并畫受力圖.mgmaT(1)(2)(3)xyoxyoMaa進行受力分析并畫受力圖.mgmaT(4)把(4)式代入(1)式得:把(3)式代入(2)式得:積分并化簡得:(4)把(4)式代入(1)式得:把(3)式代入(2)式得:積例題8.滑輪組如圖所示.已知物塊A, B和C的質量分別為m, 2m和4m, 滑輪和細繩的質量不計.應用動力學普遍方程求各物塊的加速度.ABCx例題8.滑輪組如圖所示.已知物塊A, B和C的質量分

18、別為m,ABCx解: (1)運動分析系統(tǒng)有2個自由度,取xA= x1 ,xB= x2為廣義坐標.且xC= x3 ,xD = x4 .(x1 - x4) + (x2 - x4) = c1 (1)x3 + x4 = c2 (2)由(1)(2)式得:(3)(4)(2)進行受力分析并畫受力圖Dmg2mg4mgABCx解: (1)運動分析系統(tǒng)有2個自由度,取xA= x1(3) 應用動力學普遍方程把(3)(4)式代入上式并化簡得:(5)聯(lián)立(4)(5)式得:ABCxDmg2mg4mg(3) 應用動力學普遍方程把(3)(4)式代入上式并化簡得:應用另一種解法.由上面解法得(1)(2)(3)應用動力學普遍方程得:代入(3)式得:(4)ABCxDmg2mg4mg應用另一種解法.由上面解法得(1)(2)(3)應用動力學普遍應用動力學普遍方程得: (5)代入(5)式得:(6)聯(lián)立(4)(6)式得:ABCxDmg2mg4mg應用動力學普