高中數(shù)學第二章推理與證明教材分析課件

1、第二章推理與證明教材分析合情推理歸納推理與證明推理證明演繹推理類比直接證明間接證明數(shù)學歸納法綜合法分析法反證法 教材地位高中數(shù)學中，推理與證明貫穿于每一個知識點，通過對推理與證明的學習，有利于培養(yǎng)邏輯思維能力、形成和發(fā)展理性思維。本章是對以前所學知識的總結(jié)和歸納，所以說本章的知識在整個高中數(shù)學階段有著特殊的地位。高考導(dǎo)航命題探究1.從歷年高考來看，課改地區(qū)的試卷均未在此處獨立命題，但是推理的思想在某些試卷上仍然有所體現(xiàn).2.考查綜合法，分析法和反證法主要以解答題為主，滲透在其他章節(jié)中，難度較大.高考導(dǎo)航命題探究3.本章內(nèi)容估計在高考中將會主要考查歸納推理與演繹推理主要涉及的知識點、基本方法和題

2、型基本上是有關(guān)利用綜合法與反證法證明的問題，預(yù)計高考試題中仍將有所體現(xiàn).教學說明第一節(jié) 合情推理與演繹推理推 理合情推理（或然性推理）演繹推理（必然性推理）歸納(特殊到一般）類比（特殊到特殊）三段論（一般到特殊） 對有限的資料進行觀察、分析、歸納 整理； 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想； 檢驗猜想。 歸納推理的一般步驟：試驗、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論歸納推理可以提供解決問題的思路和方向例2（2005廣東）設(shè)平面內(nèi)有n條直線（n3），其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則 f(4)= ；當n4時， f(n)= .（用n表示）歸納推理在平面

3、幾何中的應(yīng)用2、類比推理的一般步驟： 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想； 檢驗猜想。即 觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論1、類比推理定義這種由兩類對象具有某些類似特征，和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理3、常見的可以進行類比的知識點1、平面與立體能進行類比的基本元素點 線線 面圓 球三角形 三棱錐角 二面角面積 體積周長 表面積2、實數(shù)相等關(guān)系與不等關(guān)系；方程與不等式。3、實數(shù)的運算律與向量的運算律4、等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及性質(zhì)5、三

4、種圓錐曲線的定義與性質(zhì)6、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)7、不同類知識點之間的相似性質(zhì)和結(jié)論4、類比推理舉例 一平面幾何與立體幾何中的類比探究1：類比圓的特征，說說球的相關(guān)特征，并說明推理的過程。例1試將平面上的圓與空間的球進行類比.圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合.球的定義：空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合.圓弦直徑周長面積球截面圓大圓表面積體積圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(x0,y0)為圓心, r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2 = r2圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦球心與

5、不過球心的截面(圓面)的圓點的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(x0,y0,z0)為球心, r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長 圓的面積直角三角形C903個邊的長度a，b，c 2條直角邊a，b和1條斜邊c3個面兩兩垂直的四面體AOBAOCBOC90 4個面的面積S1，S2，S3和S 3個“直角面” S1，S2，S3和1個“斜面” S例2（2003天津文）類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想abcoABCc

6、2=a2+b2S2ABC =S2AOB+S2AOC+S2BOC猜想:s1s2s3等比數(shù)列與等差數(shù)列的類比 例3 在公差為d(d0)的等差數(shù)列an中，若Sn是an的前n項和，則數(shù)列S20S10，S30S20，S40S30也成等差數(shù)列，且公差為100d.類比上述結(jié)論，在公比為q(q1)的等比數(shù)列bn中，若Tn是數(shù)列bn的前n項之積，則有_從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理注：演繹推理是由一般到特殊的推理；“三段論”是演繹推理的一般模式；包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情況；結(jié)論-據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷 三、演繹推理的定義（2)ysinx（x

7、為R）是周期函數(shù)。三角函數(shù)是周期函數(shù)（大前提）ysinx是三角函數(shù)（小前題）Ysinx是周期函數(shù)（結(jié)論）例1.如圖;在銳角三角形ABC中,ADBC, BEAC, D,E是垂足,求證：AB的中點M到D,E的距離相等.ADECMB (1)因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形,在ABC中,ADBC,即ADB=900所以ABD是直角三角形同理ABD是直角三角形(2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,M是RtABD斜邊AB的中點,DM是斜邊上的中線所以 DM= AB同理 EM= AB所以 DM = EM大前提小前提結(jié)論大前提小前提結(jié)論證明:2、用演繹推理證明演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體

8、系的重要思維過程.數(shù)學結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn),主要靠合情推理.說一說：合情推理與演繹推理的區(qū)別是什么？歸納是由特殊到一般的推理; 類比是由特殊到特殊的推理; 演繹推理是由一般到特殊的推理.實質(zhì)上體現(xiàn)的是轉(zhuǎn)化與化歸的思想從推理的結(jié)論來看,合情推理的結(jié)論不一定正確,有待證明;演繹推理得到的結(jié)論一定正確.第二節(jié) 直接證明與間接證明綜合法 分析法 反證法 從已知條件出發(fā)，以已知定義、公理、定理等為依據(jù),逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法叫做綜合法(順推證法)用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論.則綜合法用框圖表示為:特點:“由因?qū)Ч币?、綜合法定義：回顧基本不等

9、式： (a0,b0)的證明.證法1因為所以所以所以 成立證法2要證只需證只需證只需證因為 成立所以 成立綜合法分析法 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做分析法（也叫逆推證法或執(zhí)果索因法） 特點：執(zhí)果索因.用框圖表示分析法的思考過程、特點.得到一個明顯成立的結(jié)論練一練：證:點評：在解決問題時，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P，若P可以推出Q，就可以證明結(jié)論

10、成立練一練：課后思考：已知數(shù)列an的通項an0,(nN*),它的前n項的和記為sn,數(shù)列s2n是首項為3,公差為1的等差數(shù)列. (1)求an與sn的解析式; (2)試比較sn與3nan(nN*),的大小.思考：請對綜合法與分析法進行比較，說出它們各自的特點。回顧以往的數(shù)學學習，說說你對這兩種證明方法的新認識。綜合法的特點:由因?qū)Ч治龇ǖ奶攸c：執(zhí)果索因.上聯(lián)：由因?qū)Ч?，順藤摸瓜下?lián)：執(zhí)果索因，逆推破案橫批：得心應(yīng)手 反證法： 假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過正確的推理,引出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤,從而證明原命題成立,這樣的的證明方法叫反證法。反證法的思維方法：正難則反反思1：用反證法證題的一般步驟

11、是什么？（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；即假設(shè)結(jié)論的反面成立。（2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。假設(shè)結(jié)論反面成立正確推理導(dǎo)出矛盾否定假設(shè)肯定結(jié)論1、用反證法證明時，導(dǎo)出矛盾有那幾種可能？（1）與原命題的條件矛盾；（2）與定義、公理、定理等矛盾；（3）與結(jié)論的反面成立矛盾。（1）難于直接使用已知條件導(dǎo)出結(jié)論的命題；（2）唯一性命題；（3）“至多”或“至少”性命題；（4）否定性或肯定性命題。2、你認為反證法的使用情形有那些？反思2：練一練： 已知a0，證明x的方程ax=b有且只有一個根。練一練：第三節(jié)數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法的原理。 一般地，

12、證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：（1） 證明當n取第一個值n0時命題成立； 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從 n0 開始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學歸納法。用框圖表示就是： （歸納奠基）（歸納遞推）（2）假設(shè)n=k(k n0,k N*)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。（驗證n=n0 時命題成立。命題對從n0開始所有的正整數(shù) n都成立注意：（1）這兩步步驟缺一不可，只完成步驟（1）而缺少步 驟（2），就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論。因為單靠步驟（1），無法遞推下去，即n 取n0以后的數(shù)時命題是否正確，我們無法判定。同樣，只有步驟（2）而缺少步驟（1），也可能得出不正確的結(jié)論。若n=k(k n0)時命題成立，證明n=k+1時命題也成立歸納奠基歸納遞推教學問題診斷分析教學中學生可能遇到的障礙有：1.由“n=k”到“n=k+1”時項的確定（產(chǎn)生此障礙的原因：沒弄清計數(shù)規(guī)律，這類問題，通常按“找規(guī)律，定項數(shù)”的方法來處理） 2.應(yīng)用數(shù)學歸納法解題要注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。3處理時不善于“拆、分、并、補”等配湊技巧的應(yīng)用（原因：缺乏目標意識）4.不能靈活運用其它證明不等式的方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法（原因：對