2022高考理數(shù)復(fù)習(xí)資料講義：第5章 平面向量、解三角形 第4講

1、PAGE19第4講正弦定理和余弦定理1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓的半徑，則2在ABC中，已知a，b和A時(shí)，三角形解的情況3三角形中常用的面積公式1Seqf1,2ahh表示邊a上的高2Seqf1,2bcsinAeqo,sup501eqf1,2acsinBeqo,sup502eqf1,2absinC3Seqf1,2rabcr為三角形的內(nèi)切圓半徑1概念辨析1正弦定理和余弦定理對(duì)任意三角形都成立2在ABC中，若sinAsinB，則AB3在ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素4當(dāng)b2c2a20時(shí)，三角形ABC為銳角三角形答案1234

2、2小題熱身1ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知aeqr5，c2，cosAeqf2,3，則br2r3C2D3答案D解析由余弦定理得5b242b2eqf2,3，解得b3或beqf1,3舍去，故選D2已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若eqfcosA,cosBeqfb,aeqr2，則該三角形的形狀是A直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D鈍角三角形答案A解析因?yàn)閑qfcosA,cosBeqfb,a，由正弦定理得eqfcosA,cosBeqfsinB,sinA，所以sin2Afb,aeqr2，可知ab，所以A，B0，所以2A1802B，即AB90，所以C90，于是AB

3、C是直角三角形3在ABC中，a3eqr2，b2eqr3，cosCeqf1,3，則ABC的面積為_答案4eqr3解析cosCeqf1,3，0C，sinCeqf2r2,3，SABCeqf1,2absinCeqf1,23eqr22eqr3eqf2r2,34eqr34在ABC中，a4，b5，c6，則eqfsin2A,sinC_答案1解析因?yàn)閍4，b5，c6，所以cosAeqfb2c2a2,2bceqf526242,256eqf3,4，所以eqfsin2A,sinCeqf2sinAcosA,sinCeqf2acosA,ceqf24f3,4,61題型eqavs4al一利用正、余弦定理解三角形角度1用正弦定

4、理解三角形11設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，eqr3，sinBeqf1,2，Ceqf,6，則b_；22022全國(guó)卷ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，60，beqr6，c3，則A_答案11275解析1因?yàn)閟inBeqf1,2且B0，所以Beqf,6或Beqf5,6，又Ceqf,6，所以Beqf,6，ABCeqf2,3，又aeqr3，由正弦定理得eqfa,sinAeqfb,sinB，即eqfr3,sinf2,3eqfb,sinf,6，解得b12如圖，由正弦定理，得eqf3,sin60eqfr6,sinB，sinBeqfr2,2又cb，B45，A180604575角度2用余弦定

5、理解三角形21在ABC中，若b1，ceqr3，Aeqf,6，則cos5BAeqfr3,2f1,2f1,2或1Deqfr3,2或02在ABC中，AB3，BCeqr13，AC4，則邊AC上的高為f3r2,2f3r3,2f3,2D3eqr3答案1A2B解析1因?yàn)閎1，ceqr3，Aeqf,6，所以由余弦定理得a2b2c22bccosA1321eqr3eqfr3,21，所以a1由ab1，得BAeqf,6，所以cos5Bcoseqf5,6coseqf,6eqfr3,22由題意得cosAeqfAB2AC2BC2,2ABACeqf3242r132,234eqf1,2，sinAeqr1blcrcavs4alc

6、o1f1,22eqfr3,2，邊AC上的高h(yuǎn)ABsinAeqf3r3,2角度3綜合利用正、余弦定理解三角形3在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2acosCc2b1求角A的大??；2若ceqr2，角B的平分線BDeqr3，求a解12acosCc2b，由正弦定理得2sinAcosCsinC2sinB,2sinAcosCsinC2sinAC2sinAcosC2cosAsinC，sinC2cosAsinC，sinC0，cosAeqf1,2，又A0，Aeqf2,32在ABD中，由正弦定理得，eqfAB,sinADBeqfBD,sinA，sinADBeqfABsinA,BDeqfr2,2又

7、ADB0，Aeqf2,3，ADBeqf,4，ABCeqf,6，ACBeqf,6，ACABeqr2，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosAeqr22eqr222eqr2eqr2coseqf2,36，aeqr6用正弦、余弦定理解三角形的基本題型及解題方法1已知兩角和一邊用三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角用正弦定理求另外兩條邊2已知兩邊及其中一邊所對(duì)的角用正弦定理適用于優(yōu)先求角的題以知a，b，A解三角形為例：a根據(jù)正弦定理，經(jīng)討論求B；b求出B后，由ABC180，求出C；c再根據(jù)正弦定理eqfa,sinAeqfc,sinC，求出邊c用余弦定理適用于優(yōu)先求邊的題以知a，b，A解三角形為例：列出以

8、邊c為元的一元二次方程c22bcosAcb2a20，根據(jù)一元二次方程的解法，求邊c，然后應(yīng)用正弦定理或余弦定理，求出B，C3已知兩邊和它們的夾角用余弦定理求第三邊用余弦定理的變形或正弦定理求另外兩角4已知三邊可以連續(xù)用余弦定理求出兩角，常常是分別求較小兩邊所對(duì)的角，再由ABC180，求出第三個(gè)角1在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若aeqfr6,2b，A2B，則cosB等于fr6,6fr6,5fr6,4fr6,3答案C解析因?yàn)閍eqfr6,2b，A2B，所以由正弦定理可得eqffr6,2b,sin2Beqfb,sinB，所以eqffr6,2,2sinBcosBeqf1,sinB，

9、所以cosBeqfr6,422022和平區(qū)模擬在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a2b2eqr3bc，且sinC2eqr3sinB，則角A的大小為_答案eqf,6解析由sinC2eqr3sinB得c2eqr3ba2b2eqr3bceqr32eqr3b2，即a27b2則cosAeqfb2c2a2,2bceqfb212b27b2,4r3b2eqfr3,2又A0，Aeqf,63如圖，在ABC中，B45，D是BC邊上一點(diǎn)，AD5，AC7，DC3，則AB_答案eqf5r6,2解析在ACD中，由余弦定理可得cosCeqf49925,273eqf11,14，則sinCeqf5r3,14在A

10、BC中，由正弦定理可得eqfAB,sinCeqfAC,sinB，則ABeqfACsinC,sinBeqf7f5r3,14,fr2,2eqf5r6,2題型eqavs4al二利用正、余弦定理判定三角形的形狀12022武漢調(diào)研在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若eqfc,bcosA，則ABC為A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形答案A解析因?yàn)閑qfc,bcosA，所以cbcosA，由正弦定理得sinCsinBcosA，又ABC，所以sinCsinAB所以sinAcosBcosAsinBsinBcosA，所以sinAcosB0，所以cosB0，B為鈍角，所以ABC是鈍角三角

11、形2在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若eqfsinA,sinBeqfa,c，bcabca3bc，則ABC的形狀為A直角三角形B等腰非等邊三角形C等邊三角形D鈍角三角形答案C解析eqfsinA,sinBeqfa,c，eqfa,beqfa,c，bc又bcabca3bc，b2c2a2bc，cosAeqfb2c2a2,2bceqfbc,2bceqf1,2A0，Aeqf,3，ABC是等邊三角形條件探究1把舉例說(shuō)明2中ABC滿足的條件改為“acosAbcosB”，判斷ABC的形狀解因?yàn)閍cosAbcosB，所以sinAcosAsinBcosB，所以sin2Asin2B，又因?yàn)?2A2，02

12、B2，0AB，所以2A2B或2A2B，即AB或ABeqf,2，所以ABC是等腰三角形或直角三角形條件探究2把舉例說(shuō)明2中ABC滿足的條件改為“cos2eqfB,2eqfac,2c”，判斷ABC的形狀解因?yàn)閏os2eqfB,2eqfac,2c，所以eqf1,21cosBeqfac,2c，在ABC中，由余弦定理得eqf1,2eqf1,2eqfa2c2b2,2aceqfac,2c化簡(jiǎn)得2aca2c2b22aac，則c2a2b2，所以ABC為直角三角形1應(yīng)用余弦定理判斷三角形形狀的方法在ABC中，c是最大的邊若c20，則cosCeqfa2b2c2,2abeqf5t211t213t2,25t11t0，所

13、以C是鈍角，ABC是鈍角三角形2設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosCccosBasinA，則ABC的形狀為A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不確定答案B解析根據(jù)正弦定理，由bcosCccosBasinA得sinBcosCsinCcosBsin2A，即sinBCsin2A，又因?yàn)锳BC，所以sinBCsinA，所以sinA1，由0A，得Aeqf,2所以ABC是直角三角形題型eqavs4al三與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題2022全國(guó)卷ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知ABC的面積為eqfa2,3sinA1求sinBsinC；2若6cosBcosC1，a3，求A

14、BC的周長(zhǎng)解1由題設(shè)得eqf1,2acsinBeqfa2,3sinA，即eqf1,2csinBeqfa,3sinA由正弦定理得eqf1,2sinCsinBeqfsinA,3sinA故sinBsinCeqf2,32由題設(shè)及1得cosBcosCsinBsinCeqf1,2，即cosBCeqf1,2所以BCeqf2,3，故Aeqf,3由題意得eqf1,2bcsinAeqfa2,3sinA，a3，所以bc8由余弦定理得b2c2bc9，即bc23bc8，得bceqr33故ABC的周長(zhǎng)為3eqr331求三角形面積的方法1若三角形中已知一個(gè)角角的大小或該角的正、余弦值，結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之

15、積，代入公式求面積2若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵2已知三角形的面積求邊、角的方法1若求角，就尋求夾這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解2若求邊，就尋求與該邊或兩邊有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解2022洛陽(yáng)三模在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinBcbsinCasinA1求角A的大??；2若sinBsinCeqf3,8，且ABC的面積為2eqr3，求a解1由bsinBcbsinCasinA及正弦定理得b2cbca2，即b2c2bca2，所以eqfb2c2a2,2bccosAeq

16、f1,2，所以Aeqf,32由正弦定理eqfa,sinAeqfb,sinBeqfc,sinC，可得beqfasinB,sinA，ceqfasinC,sinA，所以SABCeqf1,2bcsinAeqf1,2eqfasinB,sinAeqfasinC,sinAsinAeqfa2sinBsinC,2sinA2eqr3又sinBsinCeqf3,8，sinAeqfr3,2，eqfr3,8a22eqr3，解得a4高頻考點(diǎn)用正弦、余弦定理進(jìn)行邊、角之間的轉(zhuǎn)化考點(diǎn)分析在綜合運(yùn)用正、余弦定理解決較為復(fù)雜的與解三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常利用邊、角之間的轉(zhuǎn)化與化歸的方法解決典例12022棗莊二模已知ABC的內(nèi)角A，

17、B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a2b2c2acosBbcosAabc，若ab2，則c的取值范圍為A0,2B1,2blcrcavs4alco1f1,2，2D1,2答案B解析由正、余弦定理，得2cosCsinAcosBsinBcosAsinC即2cosCsinABsinC所以2cosCsinCsinC，因?yàn)閟inC0，所以cosCeqf1,2又C0，所以Ceqf,3因?yàn)閏2a2b22abcosCab23ab，且ab24ab，所以ab1所以c21，即c1，又cab2所以1c2典例22022全國(guó)卷ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosBacosCccosA，則B_答案eqf,3解析解法一：由2bcosBacosCccosA及正弦定理，得2sinBcosBsinAcosCsinCcosA2sinBcosBsinAC又ABC，ACB2sinBcosBsinBsinB又sinB0，cosBeqf1,2Beqf,3eqavs4al解法二：在ABC中，acosCccosAb，