精算學(xué)原理第2章課件

1、第二章 年金理論與應(yīng)用第一節(jié) 年金的終值和現(xiàn)值一、年金的概念年金：相等時間間隔所作的一系列等額支付。如住房按揭貸款，購物分期付款等等特點：時間間隔相同；一系列等額支付年金的分類：確定年金（固定的時間，支付的次數(shù)確定）；不確定年金（或有年金，生命年金，指支付的次數(shù)與生存概率有關(guān)）年金是利息理論的應(yīng)用，一般計算其終值和現(xiàn)值等。本章學(xué)習(xí)確定年金！二、普通年金的終值普通年金又稱后付年金，是指各期末收付的年金。普通年金的終值是指最后一次支付時的本利和，它是每次支付的復(fù)利終值之和。三、年金終值系數(shù)表 見附錄三例 ：假設(shè)某項目預(yù)計建成后在5年內(nèi)每年年末還款100萬元，年利率為10%，則該應(yīng)付本息的總額是多少

2、？答案：該項目應(yīng)付本息的總額為610.51萬元。普通年金的現(xiàn)值，是指為在每期期末取得相等金額的款項現(xiàn)在需要投入的金額。0 1 2 3 n1 1 1 1vv2vn四、普通年金的現(xiàn)值五、年金現(xiàn)值系數(shù)表 見附錄4例 某人出國3年，請你代付房租，每年租金1000元，設(shè)銀行存款利率10%，他應(yīng)當現(xiàn)在給你在銀行存入多少錢？答案： 2486.9元例 假設(shè)以10%的利率借款20000元，投資于某個壽命為10年的項目，每年至少要收回多少現(xiàn)金才是有利的？答案：3255元知識運用例 某企業(yè)現(xiàn)在借款50000元投入經(jīng)營。按照復(fù)利計算，報酬率為多少時才能保證在以后8年中每年末償還8000元？ 答案：5.84%六、年金終

3、值與年金現(xiàn)值的關(guān)系例 ：假定貸款利率為10%，比較為期10年的1000元貸款在以下所列三種方式償還貸款的情況下將支付的利息總額。（1）全部貸款及利息在第10年末一次還清；（2）利息每年末支付，本金第10年末支付；（3）貸款在10年內(nèi)的各年末平均償還。第二節(jié) 先付年金與后付年金的關(guān)系一、先付年金與后付年金終值（一）先付年金的終值例 已知利率i=6%，分別計算在未來10年里，每年年末1元的確定年金在第10年期末的終值以及每年年初1元的確定年金在第10年期末的終值 。答案:13.181元；13.972元。 （二）先付年金終值與后付年金終值的關(guān)系二、先付年金與后付年金現(xiàn)值（一）先付年金現(xiàn)值0 1 2

4、n-2 n-1 n1 1 1 1 1 vv2Vn-1（二）先付年金現(xiàn)值與后付年金現(xiàn)值的關(guān)系知識運用例 已知利率i=6%，試利用年金現(xiàn)值系數(shù)表和（2.6）分別求答案：7.3601元和7.8017元。例 仍以例2-2中數(shù)字為例，如果某人出國3年，請你代付房租和資金是每年年初支付1000元，銀行存款利率10%，他應(yīng)當在給你在銀行存入多少錢？答案：2735.48元。第三節(jié) 不同付款次數(shù)的年金一、不同付款次數(shù)的年金問題指付款頻率與計息頻率不一致。付款頻率與計息頻率不一致的情況可以通過（1）利率轉(zhuǎn)換法，使得付款頻率與計息頻率一致。（2）公式法，以計息頻率為主，換個角度思考?。ㄒ唬├兽D(zhuǎn)換法每年付款1次的實

5、際利率=（1+期利率）m-1某人從現(xiàn)在起，每年初向一基金存入1000元，連續(xù)存5年，該基金每月結(jié)轉(zhuǎn)1次利息，月實際利率為0.5%,試計算該項投資在第5年末的價值。 答案: 6004.85元。 (二）公式法1.期末付年金(1)每年支付m次的期末付年金現(xiàn)值假定計息期是付款周期的整數(shù)倍m- 每個計息期內(nèi)的付款次數(shù)n-計息總次數(shù)，于是付款總次數(shù)為mni-每個利息換算期內(nèi)實利率假設(shè)年利率為i，每次末的支付額為1m，每年支付額為1元。 m m - m 0 1 2 n-1 n 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 同理：假設(shè)年利率為i，每次初的支付額為1m，每年支付額為1元。 m m - m 0 1 2

6、n-1 n 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 2.期初付年金（2）每年支付m次的期初付年金終值（1）每年支付m次的期初付年金現(xiàn)值同理：例 張東向銀行貸款200，000元，年利率為4%，計劃10年還清，求每月末的還款額。解：設(shè)年還款額為每月的還款額為：知識運用例 如果某投資者希望在今后的5年內(nèi)每個季度末領(lǐng)取500元等額收入，在年實際利率i=5%的條件下，該投資者在期初存入銀行多少錢？解一：解二：知識運用例 小王每月向銀行存入100元，計劃存足30年后在當年末一次性取出，如果年實際利率為2%，求小王支取的數(shù)額。解：知識運用二、支付頻率低于每單位時間1次的年金（多年支付1次）例如，10次支付，

7、每次支付額為4，在時點4，8，12，,40支付，這份年金在時點0的價值可以表示為三、延期m年的n年期年金1）期末付延期年金現(xiàn)值0 m m+1 m+n-1 m+n 1 1 1Vm+1vm+n-1Vm+n或：終值或：2)期初付延期年金現(xiàn)值或：。終值 或：例：3，000元的債務(wù)從第5年初開始，每年初償還相同的數(shù)額，共分15次還清，年利率為8%，求年還債額。解：知識運用思考：延期支付且付款頻率與計息頻率周期不一致時年金的現(xiàn)值與終值應(yīng)該怎么計算？第四節(jié) 債務(wù)償還方法一、償債基金付款償債基金是指為了使年金終值達到既定金額每年應(yīng)支付的年金數(shù)額。知識運用例 某人擬在5年后還清10 000元債務(wù)，從現(xiàn)在起每年等

8、額存入銀行一筆款項。假設(shè)銀行存款利率10%，每年需要存入多少元？ 例 假設(shè)某企業(yè)有一筆4年后到期的借款，到期值為1000萬元。若存款利息為10%，則為償還該項借款應(yīng)建立的償債基金為多少？ 答案：215.4元答案: 1638元。 二、分期償還貸款 投資人可能會把每筆償還額的一部分分看作是未償還額的利息（最近一期的），而將余額看作本金償還以減少貸款的余額。表2-1 貸款償還攤銷表時期每次還款額每次償還利息每次償還本金貸款余額0-11k1n10總計n-第五節(jié) 其它年金連續(xù)年金 變動年金 一、連續(xù)年金定義:付款頻率無窮大的年金叫連續(xù)年金.公式:永久年金1）期末付年金現(xiàn)值2）期初付年金現(xiàn)值期初投資 元，

9、則每年可獲得1元期初投資 元，則每年可獲得1元二、變動年金 在未來n年中的時刻ti的支付額為Xi的年金在第1年初（時刻0）的現(xiàn)值為1.標準遞增型年金1）期末付 各年末支付如下： 1，2，3，-，n現(xiàn)值：兩邊同乘(1+i):兩式相減：終值2）期初付 各年初支付如下： 1，2，3，-，n現(xiàn)值：兩邊同乘V:兩式相減：終值2.標準遞減型年金n年期年金1）期末付 各年末支付如下： n，n-1，n-2，n-3，-，1現(xiàn)值：兩邊同乘(1+i):兩式相減：終值 2) 期初付終值：現(xiàn)值：3.一般等差年金一般形式現(xiàn)值終值012nPP+QP+(n-1)Q例：某年金在第一年末支付200元，以后每一年支付額比前一年增加200元，若i=5%,求該年金支付10年的現(xiàn)值和終值。