精算學(xué)原理第2章課件

1、第二章 年金理論與應(yīng)用第一節(jié) 年金的終值和現(xiàn)值一、年金的概念年金：相等時(shí)間間隔所作的一系列等額支付。如住房按揭貸款，購(gòu)物分期付款等等特點(diǎn)：時(shí)間間隔相同；一系列等額支付年金的分類：確定年金（固定的時(shí)間，支付的次數(shù)確定）；不確定年金（或有年金，生命年金，指支付的次數(shù)與生存概率有關(guān)）年金是利息理論的應(yīng)用，一般計(jì)算其終值和現(xiàn)值等。本章學(xué)習(xí)確定年金！二、普通年金的終值普通年金又稱后付年金，是指各期末收付的年金。普通年金的終值是指最后一次支付時(shí)的本利和，它是每次支付的復(fù)利終值之和。三、年金終值系數(shù)表 見附錄三例 ：假設(shè)某項(xiàng)目預(yù)計(jì)建成后在5年內(nèi)每年年末還款100萬元，年利率為10%，則該應(yīng)付本息的總額是多少

2、？答案：該項(xiàng)目應(yīng)付本息的總額為610.51萬元。普通年金的現(xiàn)值，是指為在每期期末取得相等金額的款項(xiàng)現(xiàn)在需要投入的金額。0 1 2 3 n1 1 1 1vv2vn四、普通年金的現(xiàn)值五、年金現(xiàn)值系數(shù)表 見附錄4例 某人出國(guó)3年，請(qǐng)你代付房租，每年租金1000元，設(shè)銀行存款利率10%，他應(yīng)當(dāng)現(xiàn)在給你在銀行存入多少錢？答案： 2486.9元例 假設(shè)以10%的利率借款20000元，投資于某個(gè)壽命為10年的項(xiàng)目，每年至少要收回多少現(xiàn)金才是有利的？答案：3255元知識(shí)運(yùn)用例 某企業(yè)現(xiàn)在借款50000元投入經(jīng)營(yíng)。按照復(fù)利計(jì)算，報(bào)酬率為多少時(shí)才能保證在以后8年中每年末償還8000元？ 答案：5.84%六、年金終

3、值與年金現(xiàn)值的關(guān)系例 ：假定貸款利率為10%，比較為期10年的1000元貸款在以下所列三種方式償還貸款的情況下將支付的利息總額。（1）全部貸款及利息在第10年末一次還清；（2）利息每年末支付，本金第10年末支付；（3）貸款在10年內(nèi)的各年末平均償還。第二節(jié) 先付年金與后付年金的關(guān)系一、先付年金與后付年金終值（一）先付年金的終值例 已知利率i=6%，分別計(jì)算在未來10年里，每年年末1元的確定年金在第10年期末的終值以及每年年初1元的確定年金在第10年期末的終值 。答案:13.181元；13.972元。 （二）先付年金終值與后付年金終值的關(guān)系二、先付年金與后付年金現(xiàn)值（一）先付年金現(xiàn)值0 1 2

4、n-2 n-1 n1 1 1 1 1 vv2Vn-1（二）先付年金現(xiàn)值與后付年金現(xiàn)值的關(guān)系知識(shí)運(yùn)用例 已知利率i=6%，試?yán)媚杲瓞F(xiàn)值系數(shù)表和（2.6）分別求答案：7.3601元和7.8017元。例 仍以例2-2中數(shù)字為例，如果某人出國(guó)3年，請(qǐng)你代付房租和資金是每年年初支付1000元，銀行存款利率10%，他應(yīng)當(dāng)在給你在銀行存入多少錢？答案：2735.48元。第三節(jié) 不同付款次數(shù)的年金一、不同付款次數(shù)的年金問題指付款頻率與計(jì)息頻率不一致。付款頻率與計(jì)息頻率不一致的情況可以通過（1）利率轉(zhuǎn)換法，使得付款頻率與計(jì)息頻率一致。（2）公式法，以計(jì)息頻率為主，換個(gè)角度思考！（一）利率轉(zhuǎn)換法每年付款1次的實(shí)

5、際利率=（1+期利率）m-1某人從現(xiàn)在起，每年初向一基金存入1000元，連續(xù)存5年，該基金每月結(jié)轉(zhuǎn)1次利息，月實(shí)際利率為0.5%,試計(jì)算該項(xiàng)投資在第5年末的價(jià)值。 答案: 6004.85元。 (二）公式法1.期末付年金(1)每年支付m次的期末付年金現(xiàn)值假定計(jì)息期是付款周期的整數(shù)倍m- 每個(gè)計(jì)息期內(nèi)的付款次數(shù)n-計(jì)息總次數(shù)，于是付款總次數(shù)為mni-每個(gè)利息換算期內(nèi)實(shí)利率假設(shè)年利率為i，每次末的支付額為1m，每年支付額為1元。 m m - m 0 1 2 n-1 n 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 同理：假設(shè)年利率為i，每次初的支付額為1m，每年支付額為1元。 m m - m 0 1 2

6、n-1 n 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 2.期初付年金（2）每年支付m次的期初付年金終值（1）每年支付m次的期初付年金現(xiàn)值同理：例 張東向銀行貸款200，000元，年利率為4%，計(jì)劃10年還清，求每月末的還款額。解：設(shè)年還款額為每月的還款額為：知識(shí)運(yùn)用例 如果某投資者希望在今后的5年內(nèi)每個(gè)季度末領(lǐng)取500元等額收入，在年實(shí)際利率i=5%的條件下，該投資者在期初存入銀行多少錢？解一：解二：知識(shí)運(yùn)用例 小王每月向銀行存入100元，計(jì)劃存足30年后在當(dāng)年末一次性取出，如果年實(shí)際利率為2%，求小王支取的數(shù)額。解：知識(shí)運(yùn)用二、支付頻率低于每單位時(shí)間1次的年金（多年支付1次）例如，10次支付，

7、每次支付額為4，在時(shí)點(diǎn)4，8，12，,40支付，這份年金在時(shí)點(diǎn)0的價(jià)值可以表示為三、延期m年的n年期年金1）期末付延期年金現(xiàn)值0 m m+1 m+n-1 m+n 1 1 1Vm+1vm+n-1Vm+n或：終值或：2)期初付延期年金現(xiàn)值或：。終值 或：例：3，000元的債務(wù)從第5年初開始，每年初償還相同的數(shù)額，共分15次還清，年利率為8%，求年還債額。解：知識(shí)運(yùn)用思考：延期支付且付款頻率與計(jì)息頻率周期不一致時(shí)年金的現(xiàn)值與終值應(yīng)該怎么計(jì)算？第四節(jié) 債務(wù)償還方法一、償債基金付款償債基金是指為了使年金終值達(dá)到既定金額每年應(yīng)支付的年金數(shù)額。知識(shí)運(yùn)用例 某人擬在5年后還清10 000元債務(wù)，從現(xiàn)在起每年等

8、額存入銀行一筆款項(xiàng)。假設(shè)銀行存款利率10%，每年需要存入多少元？ 例 假設(shè)某企業(yè)有一筆4年后到期的借款，到期值為1000萬元。若存款利息為10%，則為償還該項(xiàng)借款應(yīng)建立的償債基金為多少？ 答案：215.4元答案: 1638元。 二、分期償還貸款 投資人可能會(huì)把每筆償還額的一部分分看作是未償還額的利息（最近一期的），而將余額看作本金償還以減少貸款的余額。表2-1 貸款償還攤銷表時(shí)期每次還款額每次償還利息每次償還本金貸款余額0-11k1n10總計(jì)n-第五節(jié) 其它年金連續(xù)年金 變動(dòng)年金 一、連續(xù)年金定義:付款頻率無窮大的年金叫連續(xù)年金.公式:永久年金1）期末付年金現(xiàn)值2）期初付年金現(xiàn)值期初投資 元，

9、則每年可獲得1元期初投資 元，則每年可獲得1元二、變動(dòng)年金 在未來n年中的時(shí)刻ti的支付額為Xi的年金在第1年初（時(shí)刻0）的現(xiàn)值為1.標(biāo)準(zhǔn)遞增型年金1）期末付 各年末支付如下： 1，2，3，-，n現(xiàn)值：兩邊同乘(1+i):兩式相減：終值2）期初付 各年初支付如下： 1，2，3，-，n現(xiàn)值：兩邊同乘V:兩式相減：終值2.標(biāo)準(zhǔn)遞減型年金n年期年金1）期末付 各年末支付如下： n，n-1，n-2，n-3，-，1現(xiàn)值：兩邊同乘(1+i):兩式相減：終值 2) 期初付終值：現(xiàn)值：3.一般等差年金一般形式現(xiàn)值終值012nPP+QP+(n-1)Q例：某年金在第一年末支付200元，以后每一年支付額比前一年增加200元，若i=5%,求該年金支付10年的現(xiàn)值和終值。