《多元函數(shù)微積分》word版

1、第六章多元函數(shù)微積分教學重點：本章重點講授多元函數(shù)的基本概念、偏導(dǎo)、全微分、復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法、多元函數(shù)的極值及其求法、二重積分的計算。教學難點：本章難點為復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法、多元函數(shù)極值的求法、二重積分的計算。教學內(nèi)容：在前面幾章中，我們討論的函數(shù)都只有一個自變量，這種函數(shù)稱為一元函數(shù).但在許多實際問題中，我們往往要考慮多個變量之間的關(guān)系，反映到數(shù)學上，就是要考慮一個變量（因變量）與另外多個變量（自變量）的相互依賴關(guān)系.由此引入了多元函數(shù)以及多元函數(shù)的微積分問題.本章將在一元函數(shù)微積分學的基礎(chǔ)上，進一步討論多元函數(shù)的微積分學.討論中將以二元函數(shù)為主要對象，這不僅因為有關(guān)的

2、概念和方法大都有比較直觀的解釋,便于理解,而且這些概念和方法大都能自然推廣到二元以上的多元函數(shù).第1次課2學時本次課教學重點：空間直角坐標系、空間兩點間的距離、曲面及其方程。本次課教學難點：曲面及其方程本次課教學內(nèi)容：第六章多元函數(shù)微積分第一節(jié)空間解析幾何簡介空間解析幾何的產(chǎn)生是數(shù)學史上一個劃時代的成就.它通過點和坐標的對應(yīng)，把數(shù)學研究的兩個基本對象“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，使得人們既可以用代數(shù)方法研究解決幾何問題（這是解析幾何的基本內(nèi)容），也可以用幾何方法解決代數(shù)問題.本節(jié)我們僅簡單介紹空間解析幾何的一些基本概念，它們包括空間直角坐標系、空間兩點間的距離、空間曲面及其方程等概念.這些內(nèi)容對我們

3、學習多元函數(shù)的微分學和積分學將起到重要的作用.一、空間直角坐標系在平面解析幾何中，我們建立了平面直角坐標系，并通過平面直角坐標系，把平面上的點與有序數(shù)組（即點的坐標（%,y）對應(yīng)起來.同樣，為了把空間的任一點與有序數(shù)組對應(yīng)起來，我們來建立空間直角坐標系.過空間一定點。，作三條相互垂直的數(shù)軸，依次記為軸（橫軸）、y軸（縱軸）、Z軸（豎軸），統(tǒng)稱為坐標軸.它們構(gòu)成一個空間直角坐標系（如下圖）.空間直角坐標系有右手系和左手系兩種.我們通常采用右手系.三個坐標軸的正方向符合右手系.即以右手握住工軸,當右手的四個手指從正向軸於角2三個坐標軸的正方向符合右手系.即以右手握住工軸,當右手的四個手指從正向軸於

4、角2度轉(zhuǎn)向正向產(chǎn)軸時，大拇指的指向就是工軸的正向.橫軸空間直角坐標系、空間兩點間的距離|M1M2|=xx2_X1)+(j2_y1)+(z2z1)2.乙乙乙乙例1求證以(7,1,2),(5,2,3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解|河跖/=(7-4)1+(1-3)1+(2-I)3=14,(5-7)+(2-1)2+(3-2)3=6,跖吃=(4-5)2+(3-2)1+(1-3)1=6,/.|M3M3|=m3m原結(jié)論成立.三、曲面及其方程定義1在空間直角坐標系中，如果曲面s上任一點坐標都滿足方程F(x,j,z)=0，而不在曲面S上的任何點的坐標都不滿足該方程，那么方程F(x,J,z)=0稱為曲面

5、S的方程，而曲面S就稱為方程F(x,J,z)=0的圖形空間曲面研究的兩個基本問題是：(1)已知曲面上的點所滿足的幾何條件，建立曲面的方程；(2)已知曲面方程，研究曲面的幾何形狀.平面平面是空間中最簡單而且最重要的曲面.可以證明空間中任一平面都可以用三元一次方程Ax+Bj+Cz+D=0(1.3)來表示，反之亦然其中A、B、C、D是不全為零常數(shù).方程(1.3)稱為平面的一般方程.柱面定義2平行于某定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的軌跡稱為柱面.這條定曲線C稱為柱面的準線，動直線L稱為柱面的母線.二次曲面在空間直角坐標系中，我們采用一系列平行于坐標面的平面去截割曲面，從而得到平面與曲面一系列的交

6、線(即截痕)，通過綜合分析這些截痕的形狀和性質(zhì)來認識曲面形狀的全貌.這種研究曲面的方法稱為平面截割法，簡稱為截痕法.x2y2z2橢球面一十二+=1(a0,b0,c0)(1.4)a2b2c2橢圓拋物面z=x2-+y2(p與q同號)2p2qx2y2雙曲拋物面一丁+白=z(p與q同號)2p2qx2y2z2單葉雙曲面一+-=1(a0,b0,c0)a2b2c2x2x2雙葉雙曲面一,a2b2c2=-1(a0,b0,c0)x2y2z2二次錐面+-=0(a0,b0,c0)a2b2c2例3.建立球心在點M(X,y,z)、半徑為R的球面方程.0000解：設(shè)M(x,y,z)是球面上任意一點，根據(jù)題意有MM0=R即(

7、X-X)2+(y-y)2+(z-z)2=R0000n(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2=R2000特別地，當球心在原點時，球面方程變?yōu)椋篨2+y2+z2=R2例4.求通過X軸和點(4,-3,-1)的平面方程.解：依題意，因為所求平面通過X軸，即平面平行于X軸且通過坐標原點，從而可設(shè)方程為：By+Cz=0(1)又因為平面過點(4,-3,-1)，因此有-3B-C=0C=-3B以此代入方程（1）,再除以B（8w。），便得到所求方程為y-3z=0例5.設(shè)平面在坐標軸上的截距分別為。=31=-4,c=5,求這個平面的方程.解：由已知條件a=3,b=-4,c=5,得到所求平面方程為教學組織：課后留十

8、分鐘給學生問問題，解決學生提出來的難題。作業(yè)布置：1、習題6-1第7、8、18、19題。本次課推薦和參考文獻1、夏建業(yè)，微積分，蘭州大學，2004年2、趙樹嫄，微積分，中國人民大學，2004年3、馬志敏，高等數(shù)學輔導(dǎo)，中山大學，2004年課后自我總結(jié)分析：理論和實例講解結(jié)合較好，深入淺出，學生較容易理解、掌握。第2次課2學時本次課教學重點：平面區(qū)域的概念、多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的極限本次課教學難點：二元函數(shù)的極限本次課教學內(nèi)容：第六章多元函數(shù)微積分第二節(jié)多元函數(shù)的基本概念一、多元函數(shù)的概念（1）鄰域設(shè)品是王加平面上的一個點，是某一正數(shù)，盲1黑距離小于b的點P（XJ）的全體，稱為點耳的鄰續(xù)記為

9、u（好，Us）=pppnsLJf1二k7）I-V（-）2+（j-ro）2/J-J（2）區(qū)域設(shè)E是邛面上的一個點集，F(xiàn)是平面上的一個點,如果存在點P的某一鄰域J(P)uE，則稱尸為E的內(nèi)點史的內(nèi)點屬于如果點集E的點都是內(nèi)點則稱E為什集例如，a=02x2A-y24=12所求定義域為D=2x2+y?2j2.元函數(shù)的圖形三、二元函數(shù)的極限定義2設(shè)函數(shù)z=/(%,y)在點月0(%0，與)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果當點P(%,y)無限趨于點(%,%)時，函數(shù)/(%,y)無限趨于一個常數(shù)A,那么稱A為函數(shù)z=/(%,y)當(%)-a。,打)時的極限.記為lim/(x,y)=A.-f或-A(1,y)fex。

10、,%)也記作lim/(P)=A或f(p)rA(P-P)0二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質(zhì)和運算法那么，在此不再詳述.為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱二元函數(shù)的極限為二重極限.四、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)二元函數(shù)z=/(羽y)在點(x,y。)的某一鄰域內(nèi)有定義,如果那么稱羽y)在點(1y0)處連續(xù)如果函數(shù)-羽y)在點(y。)處不連續(xù),那么稱函數(shù)z=/(羽y)在(x,y)處間斷.00與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四那么運算和復(fù)合運算后仍為二元連續(xù)函數(shù).由X和J的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四那么運算和復(fù)合所構(gòu)成的可用一個式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù).一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是

11、連續(xù)的.這里定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.利用這個結(jié)論，當要求某個二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)一點的極限時，只要算出函數(shù)在該點的函數(shù)值即可.特別地，在有界閉區(qū)域。上連續(xù)的二元函數(shù)也有類似于一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上所滿足的定理.下面我們不加證明地列出這些定理.定理1(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域。上的二元連續(xù)函數(shù)，在。上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2(有界性定理)在有界閉區(qū)域。上的二元連續(xù)函數(shù)在。上一定有界.定理3(介值定理)在有界閉區(qū)域。上的二元連續(xù)函數(shù)，若在。上取得兩個不同的函數(shù)值，那么它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次.例5討論函數(shù)廠.丁+J2*0=+T在(0

12、,0)的連續(xù)性.曲x2+j2=0解取y=kxkx2解取y=kx=lim=為手X4-ftXji=Juc_k1+Jt2其值隨比的不同而變化，極限不存在.故函數(shù)在（0,0）處不連續(xù).教學組織：課后留十分鐘給學生問問題，解決學生提出來的難題。作業(yè)布置：1、習題6-2第3（5）、4（1）（3）（5）題。本次課推薦和參考文獻1、夏建業(yè)，微積分，蘭州大學，2004年2、趙樹嫄，微積分，中國人民大學，2004年3、馬志敏，高等數(shù)學輔導(dǎo)，中山大學，2004年課后自我總結(jié)分析：理論和實例講解結(jié)合較好，深入淺出，圖形結(jié)合，學生較容易理解、掌握。第3次課2學時本次課教學重點：偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義和

13、經(jīng)濟意義、高階偏導(dǎo)數(shù)。本次課教學難點：偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法、高階偏導(dǎo)數(shù)。本次課教學內(nèi)容：第六章多元函數(shù)微積分第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法如果limAx-00f(x+Ax,y)-f(x,y)0Axf(x+Ax,y)-f(x,y),存在，那么稱此極限為函數(shù)z如果limAx-00f(x+Ax,y)-f(x,y)0Axf(x+Ax,y)-f(x,y),存在，那么稱此極限為函數(shù)z=f（x,y）在點（x0,y0）處對的偏導(dǎo)數(shù)，記為x-xo尸處對的偏導(dǎo)數(shù)，記為x-xo尸y。x-xo產(chǎn)y。,zXXX0y=y。例如，有000Axf(x,y)=limx00A000Ax類似地，函數(shù)z=f（x,y）在點（

14、x0,y0）處對y的偏導(dǎo)數(shù)為limf(%八0+Ay)-f(x0,y0)Ay-0Ay記為SzSSzSySfSy，z_yx=x0y=y0或“x0,y0).上述定義表明，在求多元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)時，只需把其余自變量看作常數(shù)，然后直接利用一元函數(shù)的求導(dǎo)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么來計算之.偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如孤二?。ㄎ?人工）在（工,外處了（文十Ar,，幻一/（,口）Ar（為叫宅4陽）一/（弓/聞例2求z=xy的偏導(dǎo)數(shù).=tI)=tI)二、關(guān)于多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，補充以下幾點說明：(1)對一元函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)dy可看作函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商.但偏導(dǎo)dx一，du人一，數(shù)的記

15、號k是一個整體.o.x(2)與一元函數(shù)類似，對于分段函數(shù)在分段點的偏導(dǎo)數(shù)要利用偏導(dǎo)數(shù)的定義來求.(3)在一元函數(shù)微分學中，我們知道，如果函數(shù)在某點存在導(dǎo)數(shù)，那么它在該點必定連續(xù).但對多元函數(shù)而言，即使函數(shù)的各個偏導(dǎo)數(shù)存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù).例4試證函數(shù),(x,y)中(0,0)f(x,y)=x2+y2的偏導(dǎo)數(shù)f(0,0),f(0,0)存在，xy0,(x,y)=(0,0)但f(x,y)在(0,0)點不連續(xù)。證：在點(0,0)的偏導(dǎo)數(shù)為f(0,0)=limf(0+&正0,0)二局9二0,xAxf0AxAx-0Axf(0,0)=limf(0,0+y)-f(0,0)二f(0,0)=limAyf0

16、即偏導(dǎo)數(shù)f(0,0)，f(0,0)存在。xy但從上節(jié)例5已經(jīng)知道這函數(shù)在點(0,0)處不連續(xù).三、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)曲面的方程為Z=f(x,y)，M(x,y,f(x,y)是該曲面上一點，過點m作平面000000y=y，截此曲面得一條曲線，其方程為0z=f(x,y)0y=y0那么偏導(dǎo)數(shù)f(x0,y0)表示上述曲線在點M0處的切線M0】對x軸正向的斜率(如下圖所示).同理，偏導(dǎo)數(shù)fy(x0,y0)就是曲面被平面x二x0所截得的曲線在點M0處的切線M0Ty對y軸正向的斜率.四、偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義設(shè)某產(chǎn)品的需求量Q=Q(p,y),其中p為該產(chǎn)品的價格，y為消費者收入.記需求量Q對于價格p、消費者收入y的

17、偏改變量分別為AQ=Q(p+Ap,y)-Q(p,y),pAQ=Q(p,y+Ay)-Q(p,y).yAQ易見，-A-表示Q對價格p由p變到p+Ap的平均變化率.而limApf0limApf0dp表示當價格為p、消費者收入為y時，Q對于p的變化率.稱ElimApQ/Qpap-0Ap/p為需求Q對價格p的偏彈性.AQ同理，一表示Q對收入y由y變到y(tǒng)+Ay的平均變化率.而Ay絲-limAQ0yay-0Ay表示當價格p、消費者收入為y時,Q對于y的變化率.稱AQ/QElimyyAy-0Ay/y0yQ為需求Q對收入y的偏彈性.五、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(九y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)0Z八0Z0 x=x,y)

18、0=fy(x,y)那么在D內(nèi)f(x,y)和f(x,y)都是x、y的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，那么稱xy它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對變量求導(dǎo)次序的不同，共有下列四個二階偏0202Z一=f(x，y)，0 x0yxy=f(x，y)，Iflz0 x2xx0y10 xJ02z=fx,y),yx二fx=fx,y),yx其中第二、第三兩個偏導(dǎo)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)類似地，可以定義三階、四階、以及n階偏導(dǎo)數(shù).我們把二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).當（招/）=（0,0）時，按定義可知:f（0,0）=Urn一八=Hrn=Ofa5Ax2Axr他卸）一門0,0）0f（0?0）=lim7八Hm

19、=0,）八,/山旬取生于修幾口。尸典型她=。，均句3r（Av?o）-r（M）心（0,0）=封八二:1.y人旬Ar顯然力式。內(nèi)。兀式。）c,、d27,d2z定理1如果函數(shù)z=/（3的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)聲及而在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)有教學組織（含課堂教學方法、輔助手段、師生互動、時間分配、板書設(shè)計、重點如何突出，難點如何解決等）：課后留十分鐘給學生問問題，解決學生提出來的難題。作業(yè)布置：1、習題6-3第1（1）（3）（9）題。本次課推薦和參考文獻1、夏建業(yè)，微積分，蘭州大學，2004年2、趙樹嫄，微積分，中國人民大學，2004年3、馬志敏，高等數(shù)學輔導(dǎo)，中山大學，2004年課后自我總結(jié)分析：

20、理論和實例講解結(jié)合較好，深入淺出，圖形結(jié)合，學生較容易理解、掌握，效果不錯。第4次課2學時本次課教學重點：微分的定義、函數(shù)可微的條件、微分的計算。本次課教學難點：微分的定義、微分的計算。本次課教學內(nèi)容：第六章多元函數(shù)微積分第四節(jié)全微分我們已經(jīng)知道，二元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當其中一個自變量固定時，因變量對另一個自變量的變化率.根據(jù)一元函數(shù)微分學中增量與微分的關(guān)系，可得fX+Ax,y)fx,j)afX,J)Axxfx,J+Ay)fx,yafx,y)Ayy上面兩式左端分別稱為二元函數(shù)對x和對y的偏增量，而右端分別稱為二元函數(shù)對x和對y的偏微分.在實際問題中，有時需要研究多元函數(shù)中各個自變量都

21、取得增量時因變量所獲得的增量，即所謂全增量的問題.下面以二元函數(shù)為例進行討論.如果函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)P(x+Ax,y+Ay)為這鄰域內(nèi)的任意一點，那么稱f(x+Ax,y+Ay)f(x,y)為函數(shù)在點P對應(yīng)于自變量增量Ax,Ay的全增量，記為Az，即Az=f(x+Ax,y+Ay)f(x,y).(4.1)一般來說，計算全增量比較復(fù)雜.與一元函數(shù)的情形類似，我們也希望利用關(guān)于自變量增量Ax,Ay的線性函數(shù)來近似地代替函數(shù)的全增量Az，由此引入關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義.一、微分的定義定義1如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的全增量Az=f(x+Ax,y+Ay

22、)f(x,y)可以表示為(4.2)Az=AAx+BAy+o(p),(4.2)其中A,B不依賴于Ax,Ay而僅與x,y有關(guān),p=、：(Ax)2+(Ay),那么稱函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微分,AAx+BAy稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的全微分，記為dz,即TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark152 dz=AAx+BAy.(4.3)若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處可微分，那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.二、函數(shù)可微的條件定理1(必要條件)如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處可微分，那么該函數(shù)在點(x,y)dzdz“、，、的偏導(dǎo)數(shù)，必存在，且z=f(x,y)在

23、點(x,y)處的全微分c.xdyy(4.4)dz二生Ax+生Ay.(4.4)CxCy我們知道，一元函數(shù)在某點可導(dǎo)是在該點可微的充分必要條件.但對于多元函數(shù)那么不然.定理1的結(jié)論表明，二元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件.由此可見，對于多元函數(shù)而言，偏導(dǎo)數(shù)存在并不一定可微.因為函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)僅描述了函數(shù)在一點處沿坐標軸的變化率，而全微分描述了函數(shù)沿各個方向的變化情況.但如果對偏導(dǎo)數(shù)再加些條件，就可以保證函數(shù)的可微性.一般地，我們有：CzCz定理2(充分條件)如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)k,在點(x,y)連續(xù)，那么函數(shù)在CxCy該點處可微分.三、微分的計算習慣上，常將自變

24、量的增量Ax、Ay分別記為dx、dy，并分別稱為自變量的微分.這樣，函數(shù)z=f(x,y)的全微分就表為(4.5)dz二色dx+生dy.(4.5)TOC o 1-5 h zCxCy上述關(guān)于二元函數(shù)全微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)中去.例如，三元函數(shù)u=f(x,y,z)的全微分可表為 HYPERLINK l bookmark160 CuCuCu(4.6)dudx+dy+dz.(4.6) HYPERLINK l bookmark154 CxCyCz教學組織(含課堂教學方法、輔助手段、師生互動、時間分配、板書設(shè)計、重點如何突出，難點如何解決等)：課后留十分鐘給學

25、生問問題，解決學生提出來的難題。作業(yè)布置：1、習題6-4第1(1)(3)、2、4題。本次課推薦和參考文獻1、夏建業(yè)，微積分，蘭州大學，2004年2、趙樹嫄，微積分，中國人民大學，2004年3、馬志敏，高等數(shù)學輔導(dǎo)，中山大學，2004年課后自我總結(jié)分析：理論和實例講解結(jié)合較好，深入淺出，圖形結(jié)合，學生較容易理解、掌握，效果不錯。第5次課2學時本次課教學重點：多元復(fù)合函數(shù)微分法、全微分形式的不變性、隱函數(shù)微分法。本次課教學難點：多元復(fù)合函數(shù)微分法、全微分形式的不變性、隱函數(shù)微分法。本次課教學內(nèi)容：第六章多元函數(shù)微積分第五節(jié)復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法一、多元復(fù)合函數(shù)微分法1.復(fù)合函數(shù)的中間變量為一

26、元函數(shù)的情形設(shè)函數(shù)z=f(u,v),u=,V=V(O構(gòu)成復(fù)合函數(shù)z=/w(O,v(Odzdzduadv(5.1)(5.1)dtdudtSydt公式(5.1)中的導(dǎo)數(shù)d稱為全導(dǎo)數(shù).如下圖所示:dt2、復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形設(shè)z=f(u,V),u=u(x,y),V=V(x,y)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)z=fu(x,y),v(x,y),dzdzdudzdv(5.3)(5.4)=(5.3)(5.4)dxdudxdvdxdzdzdudzdv=+dydudydvdy如下圖所示:3、復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元也有為多元函數(shù)的情形定理3如果函數(shù)m=羽y)在點(羽y)具有對X及對y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)v=y(y)在點

27、)可導(dǎo)，函數(shù)z=/(w,v)在對應(yīng)點3#)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)z=/w(x,y),v(y)在對應(yīng)點(羽y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且有(5.7)(5.8)氏_adudxdudx(5.7)(5.8)dzdzdudzdv二十一dyydu3ydvdyTOC o 1-5 h z3z3f3z注：這里丁與是不同的，是把復(fù)合函數(shù)z=fu(x,y),x,y中的y看作不變而3x3x3x3f八/、一3z3f對x的偏導(dǎo)數(shù)，丁是把函數(shù)z=f(u,x,y)中的u及y看作不變而對x的偏導(dǎo)數(shù).二與=3x3y3y也有類似的區(qū)別.在多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)中，為了簡便起見，常采用以下記號:,3f(u,v)f,3f(u,v)32f(

28、u,v)f=,f=,f=13u23v123u3v這里下標1表示對第一個變量u求偏導(dǎo)數(shù)，下標2表示對第二個變量v求偏導(dǎo)數(shù)，同理有f，f，等等.1122例1設(shè)宅=嵬卡+&111，而孤=ev=cos/,求全導(dǎo)數(shù)藝.dt解也祝的含心含dtdndtOrdtdt=，一叔nt+co=/costg*sin+cos=(cos/sin/)+cos/.例2設(shè)宅=s;in”而蒯=叼，v=x+y,求”和出.加協(xié)TOC o 1-5 h z5dzdzdudz加jff=+小dtt小加送=esmv-j+cosv-1=e(j7sinv+cosv),dz_dzdu改加-|加力加郎=esinv-a:+cosv-1=euxsinv+c

29、osv).二、全微分形式的不變性根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法那么，可得到重要的全微分形式不變性以二元函數(shù)為例，設(shè)z=f(u,V),u=u(九y),V=V(X,y)是可微函數(shù)，那么由全微分定義和鏈式法那么，有TOC o 1-5 h z次次八(dzdudzdv)(dzdu次dv)dz=dx+dy=十dx+十dydxdy(。ud.xdvd.xJ(SudydvBy/az(dudu7)dz(dv,dv=dx+dy+dx+dydu(dxdyJdv(dxdyJdz,dzdu+dv.dudv由此可見，盡管現(xiàn)在的u、v是中間變量，但全微分dz與x、y是自變量時的表達式在形式上完全一致.這個性質(zhì)稱為全微分形式不變性.

30、適當應(yīng)用這個性質(zhì)，會收到很好的效果.例4己知一到一2七十/=0,更和生.GK中解-2+產(chǎn))=0,二一”，?(一叼)-2dz+=0,(/2)詼=晨沖(*珈4-jwfr)F-z帝(-2)改_/L創(chuàng)-2三、隱函數(shù)微分法在一元微分學中，我們曾引入了隱函數(shù)的概念，并介紹了不經(jīng)過顯化而直接由方程F(x,y)=0(5.11)來求它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.這里將進一步從理論上闡明隱函數(shù)的存在性，并通過多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法那么建立隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，給出一套所謂的“隱式”求導(dǎo)法.定理4設(shè)函數(shù)F(x,y)在點P(x,y)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且00F(x,y)豐0,F(x,y)=0,那么方程F(x,

31、y)=0在點P(x,y)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=以x)，它滿足y0=f(x0)，并有(5.12)dy_F-x-.dxF(5.12)y例5驗證方程/十/T=。在點(0,1)的某翎域內(nèi)能唯一確定一個單值可導(dǎo)、且丫=。時/二1的隱函數(shù)7二/(工)，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在上二0的值.解令F(xfj)=x2+j2-1則Fx=2x,Fy=2M產(chǎn)(”)=0,工色1)=2#必雌蝴=。在點OR僦9內(nèi)能唯一琬定一個單值可京用=。眇二1的函數(shù)3=/(*).TOC o 1-5 h z定理5設(shè)函數(shù)F(羽y,z)在點P(x,y,z)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且000 HYPERLI

32、NK l bookmark189 F(x,y,z)=0,F(x,y,z)豐0,000z000那么方程F(x,y,z)=0在點P(x,y,z)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)000偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y),它滿足條件z=f(x,y)，并有000例1設(shè)/+-4工例1設(shè)/+-4工=01z求彳(5.14)解令F(x,y,z)=x2+y2+Z2-4zf則K,t21,我.匕上2一匕上ib加2(2-5)2(2-i)2(24產(chǎn)+J?0*整理得=-兀+Wy前十把T看成修宅的函數(shù)油求偏導(dǎo)數(shù)得1=(9+1)十/(叼十也當，CZ他整理得=1-理dz幾或教學組織(含課堂教學方法、輔助手段、師生互動、時間分

33、配、板書設(shè)計、重點如何突出，難點如何解決等)：課后留十分鐘給學生問問題，解決學生提出來的難題。作業(yè)布置：1、習題6-5第2、4、9(1)、17、20題。本次課推薦和參考文獻1、夏建業(yè)，微積分，蘭州大學，2004年2、趙樹嫄，微積分，中國人民大學，2004年3、馬志敏，高等數(shù)學輔導(dǎo)，中山大學，2004年課后自我總結(jié)分析：理論和實例講解結(jié)合較好，深入淺出，圖形結(jié)合，學生較容易理解、掌握，效果不錯。第6次課2學時本次課教學重點：二元函數(shù)極值的概念及其求法、二元函數(shù)的最大值與最小值、條件極值拉格朗日乘數(shù)法。本次課教學難點：二元函數(shù)的最大值與最小值、條件極值拉格朗日乘數(shù)法。本次課教學內(nèi)容：第六章多元函數(shù)

34、微積分第六節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法一、二元函數(shù)極值的概念定義1設(shè)函數(shù)工=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于(x,y)的任意一點(x,y),如果TOC o 1-5 h z00f(x,y)f(x,y),00那么稱函數(shù)在有極小值；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.例1函數(shù)例1函數(shù)2=*一44伊在他0)處有極小值.(1)0)P)例2函數(shù)工=-3+產(chǎn)在(口期處有極大值.0)P)例3函數(shù)2=叼在(。期處無極值.定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(羽y)在點(X,y)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(X,y)處有極TOC o 1-5 h z0000值，那么它在該點的偏導(dǎo)數(shù)

35、必然為零，即 HYPERLINK l bookmark43 f(X,y)=0,f(X,y)=0.(6.1)x00y00與一元函數(shù)的情形類似，對于多元函數(shù)，凡是能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點稱為函數(shù)的駐點.定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又f(x,y)=0,f(x,y)=0.令TOC o 1-5 h zX00y00f(X,y)=A,f(X,y)=B,f(x,y)=C.xx00 xy00yy00(1)當ACB20時，函數(shù)f(x,y)在(x,y)處有極值，00且當A0時有極小值f(x,y)；A0時有極大值f(x,y)；0000(2)當ACB28

36、木工+J24-1即邊界上的值為零.l(42i42)=42長&一a)=&，所以最大值為3,最小值為L4=,/212無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)夕卜，并無其他條件.三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法前面所討論的極值問題，對于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內(nèi)，并無其它限制條件，這類極值我們稱為無條件極值.但在實際問題中，常會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件的的極值問題.對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.拉格朗日乘數(shù)法設(shè)二元函數(shù)f(x,y)和隼(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么求z=f(x,y)在D內(nèi)滿足條件隼(x,y)=0的極值問題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)L(x,y,入)=f(x,y

37、)+碗(x,y)(其中入為某一常數(shù))的無條件極值問題.于是，求函數(shù)z=f(x,y)在條件隼(x,y)=0的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,y,入)=f(x,y)+入叭x,y)其中入為某一常數(shù)；(2)由方程組l=f(x,y)+為(x,y)=0,xxx(72)心0-iiii=其中/（羽y）稱為被積函數(shù),/（羽稱為被積表達式，do稱為面積微元，和）稱為積分變量，。稱為積分區(qū)域，并稱Z/d,r|）Ao為積分和.iiii=對二重積分定義的1明：（1）如果二重積分JJ/（x,y）do存在，那么稱函數(shù)/（羽y）在區(qū)域。上是可積的.可以D證明，如果函數(shù)/（羽y）區(qū)域。上連續(xù)，那

38、么/（%）在區(qū)域。上是可積的.今后，我們總假定被積函數(shù)于（x,y）在積分區(qū)域D上是連續(xù)的;（2）根據(jù)定義，如果函數(shù)/（羽y）在區(qū)域。上可積，那么二重積分的值與對積分區(qū)域的分割方法無關(guān)，因此，在直角坐標系中，常用平行于軸和y軸的兩組直線來分割積分區(qū)域D25的邊長為Ax和Ay,于是Ao=AxAy.故在直角坐標系中，面積微元do可記為dxdy.即而=dxdy.進而把二重積分記為JI/（x,y）d3，這里我們把小力y稱為直角坐標系下的面積微元.D二、二重積分的性質(zhì)類似于一元函數(shù)的定積分，二重積分也有與定積分類似性質(zhì)，且其證明也與定積分性質(zhì)的證明類似.性質(zhì)的證明類似.性質(zhì)1當氏為常數(shù)時，阿（想*=丘性質(zhì)

39、2性質(zhì)2D=黏士JJ歙尤MM.例2估計一產(chǎn)的值,其中D：OKhMI,0y0.4105.54教學組織（含課堂教學方法、輔助手段、師生互動、時間分配、板書設(shè)計、重點如何突出，難點如何解決等）：課后留十分鐘給學生問問題，解決學生提出來的難題。作業(yè)布置：1、習題6-7第1（1）、（3）、2（1）（4）題。本次課推薦和參考文獻1、夏建業(yè)，微積分，蘭州大學，2004年2、趙樹嫄，微積分，中國人民大學，2004年3、馬志敏，高等數(shù)學輔導(dǎo)，中山大學，2004年課后自我總結(jié)分析：理論和實例講解結(jié)合較好，深入淺出，圖形結(jié)合，學生較容易理解、掌握，效果不錯。第8次課2學時本次課教學重點：區(qū)域分類、二重積分的計算、交

40、換二次積分次序的步驟、利用對稱性和奇偶性化簡二重積分的計算。本次課教學難點：區(qū)域分類、二重積分的計算。本次課教學內(nèi)容：第六章多元函數(shù)微積分第八節(jié)在直角坐標系下二重積分的計算本節(jié)和下一節(jié)，我們要討論二重積分的計算方法，其基本思想是將二重積分化為兩次定積分來計算，轉(zhuǎn)化后的這種兩次定積分常稱為二次積分或累次積分.本節(jié)先在直角坐標系下討論二重積分的計算.、區(qū)域分類X一型區(qū)域：(九y)IaVXb,(x)yV(x).其中函數(shù)(x),(x)在區(qū)間1212a,b上連續(xù).這種區(qū)域的特點是：穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩個交點.Y一型區(qū)域：(x,y)Icyd,V(y)xV(y).其中函數(shù)V(x

41、),V(x)在區(qū)間1212c,d上連續(xù).這種區(qū)域的特點是：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩個交點.二、二重積分的計算假定積分區(qū)域D為如下X-型區(qū)域:(x,y)Iaxb,(x)y(x).12(8.2)(8.3)那么有JJf(x,y)dxdy=fbdx卜2(x)f(x,y)dy(8.2)(8.3)a0(x)D1類似地，如果積分區(qū)域D為Y-型區(qū)域：(x,y)Icyd,V(y)xV(y).12那么有JJf(x,y)dxdy=JddyJV2(y)f(x,y)dx.cV(y)D1特別地，當區(qū)域D為矩形區(qū)域(x,y)Iaxb,cyZcr口=C及C=五十節(jié)_叼=f卬1-*)+4(1-xfOx

42、jL-7_2417_241一般地，交換給定二次積分的積分次序的步驟為：(1)對于給定的二重積分bdxx)fy)dy,先根據(jù)其積分限a9(x)axb,(p(x)y(p(x),12畫出積分區(qū)域。(2)根據(jù)積分區(qū)域的形狀，按新的次序確定積分區(qū)域。的積分限cyd,V(y)x0.12.如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱那么(1)(2)當f(x,-y)-f(x,y)(x,y)gD)時，有11f(x,y)dxdy-0.D當f(x,-y)-f(x,y)(x,y)gD)時，有11f(x,y)dxdy-211f(x,y)dxdy其中D2注：進=(x,y)1(x,y)GD,y0.rR步，我們還可給出積分區(qū)域D關(guān)于原點對稱和關(guān)于直線y=x對稱的情況(見光盤