數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的幾個有關(guān)問題

1、數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的幾個有關(guān)問題編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址： 電話：傳真: 郵編:數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的幾個問題山東沂南教育局 李樹臣【山東教育2011年第7-8期】全日制九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）（以下簡稱標(biāo)準(zhǔn)）在第一部分“前言”中指出：“數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值”。并且在多處談及“數(shù)學(xué)建?！钡膯栴}，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也明確將“數(shù)學(xué)建模”納入到課程內(nèi)容中。數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教育界研究的熱點(diǎn)問題，可時至今日，仍有許多教師對這個問題認(rèn)識不足，教學(xué)中也不重視對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)。為幫助教師澄清認(rèn)識，更好的

2、落實(shí)標(biāo)準(zhǔn)的理念，我們在本文擬談以下三個問題。一、對數(shù)學(xué)建模的有關(guān)認(rèn)識我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會聽到數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模這兩個概念，到底什么是數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模呢？為了回答這兩個問題，我們從一個具體問題談起：案例1、如圖1所示，某幼兒園有一道長為16米的墻，計劃用32米長的圍欄靠墻圍成一個面積為120平方米的矩形草坪ABCD。求該矩形草坪BC邊的長。AABCD16米草坪圖1【析解】設(shè)矩形草坪BC邊的長為x米，根據(jù)ADBC=120列出方程：，然后解得：x1=12，x2=20，因?yàn)?016，所以x2=20不合題意，舍去，從而知該矩形草坪BC邊的長為12米。從析解過程看，解答本題的關(guān)鍵是建立一元二次方程，這

3、就是一個常用的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)人們面對一個實(shí)際問題時，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)語言、方法去近似地刻劃實(shí)際問題，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，就是數(shù)學(xué)模型。用通過計算得到的數(shù)學(xué)模型的結(jié)果來解釋實(shí)際問題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)，這個建立數(shù)學(xué)模型的全過程就稱為數(shù)學(xué)建模。簡言之，建立數(shù)學(xué)模型的這個過程就稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)中的各種基本概念，都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景而抽象出來的。如各種數(shù)學(xué)公式、方程式、定理、理論體系等等，就是一些具體的數(shù)學(xué)模型。如前所述，一元二次方程就是一個典型的數(shù)學(xué)模型，許多數(shù)學(xué)問題及實(shí)際問題都可以通過建立一元二次方程模型來解決。數(shù)學(xué)建模的過程主要

4、包括四個環(huán)節(jié)：（1）閱讀理解：認(rèn)真閱讀題目，理解題意，收集、分析、處理數(shù)據(jù)、聯(lián)想有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，為后面的解答問題作好準(zhǔn)備。（2）建立數(shù)學(xué)模型：在理解題意的基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，通過抽象、歸納、概括等一系列活動，根據(jù)變量之間的數(shù)量關(guān)系建立一個相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。（3）求解數(shù)學(xué)模型：運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，完成對所建立的數(shù)學(xué)模型的解答。（4）回歸實(shí)際：由于數(shù)學(xué)模型的解答不一定符合實(shí)際問題的意義，所以要根據(jù)實(shí)際問題提供的意義反思數(shù)學(xué)模型的解答，從而得到實(shí)際問題的準(zhǔn)確解答。這個過程可用框圖2表示如下：生活中的生活中的現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)化分析、抽象、轉(zhuǎn)化、建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)回到實(shí)際

5、問題、接受實(shí)踐檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的解數(shù)學(xué)方法實(shí)際問題的解圖2從方法論角度看，數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)思想方法，是解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。從具體教學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)活動。二、建模教學(xué)的教育教學(xué)價值伴隨著當(dāng)今社會科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到各個領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模的問題是多種多樣的，這些問題涉及到我們生活的方方面面，學(xué)生在解答它們時，除必須全面掌握數(shù)學(xué)知識外，還要具有豐富的生活常識和較強(qiáng)的閱讀理解能力，以及將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)建模能力，所以數(shù)學(xué)建模能把學(xué)習(xí)知識、應(yīng)用知識、探索發(fā)現(xiàn)、使用計算機(jī)工具、培養(yǎng)良好的科學(xué)態(tài)度與思維品質(zhì)等很好的結(jié)合起來的“效能”。學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模，能體驗(yàn)

6、到數(shù)學(xué)與日常生活及其它學(xué)科的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用價值，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力，還能培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真求實(shí)、崇尚真理、追求完美、講求效率、聯(lián)系實(shí)際的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣。因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和方法論價值。1、數(shù)學(xué)建?？蓮?qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識“應(yīng)用意識”是標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于學(xué)習(xí)內(nèi)容中的若干核心概念之一，主要表現(xiàn)在三個方面（1）認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用；（2）面對實(shí)際問題時，能主動嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略；（3）面對新的數(shù)學(xué)知識時，能主動地尋找其實(shí)際背景，并探索其應(yīng)用價值。從這三分方面看，學(xué)生的應(yīng)用意識已經(jīng)成為他的整體素質(zhì)中

7、的核心組成部分，數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)讓學(xué)生形成自覺的應(yīng)用意識。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)與人類發(fā)展和社會進(jìn)步息息相關(guān)，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，人們越來越離不開數(shù)學(xué)。我們知道數(shù)學(xué)模型可以有效的描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，學(xué)生通過數(shù)學(xué)建?；顒雍徒Ｓ?xùn)練所形成的數(shù)學(xué)意識、應(yīng)用意識，無論將來干什么工作，都會起到重要的作用。據(jù)我們所知，有不少各級黨政領(lǐng)導(dǎo)、事業(yè)或企業(yè)的管理干部、學(xué)校校長，原來就是受過數(shù)學(xué)專業(yè)教育的。在他們的工作中，雖然很少用到具體的數(shù)學(xué)定理或定律，但通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒訒r所形成的數(shù)學(xué)思想和方法，在他們的工作中卻是終生受益的。因?yàn)閿?shù)學(xué)建模訓(xùn)練可使他們深入到生活、生產(chǎn)的實(shí)際中

8、去，走入一個更加開放的天地，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的由來、數(shù)學(xué)的應(yīng)用，體驗(yàn)到一個充滿活力的數(shù)學(xué)，從而形成學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、分析和表示各種事物的數(shù)量關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學(xué)信息的量化意識和數(shù)感，進(jìn)而達(dá)到用數(shù)理邏輯的觀點(diǎn)來科學(xué)地看待世界的數(shù)學(xué)意識和良好的品質(zhì)。這種數(shù)學(xué)意識可使他們自覺或不自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法對自己所遇到的學(xué)習(xí)或工作中的問題進(jìn)行理性的思考，所有這些都屬于應(yīng)用意識的范疇，也是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教育所期待的。2、實(shí)施數(shù)學(xué)化教學(xué)的需要著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，人們在觀察，認(rèn)識和改造客觀世界的過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程，叫做數(shù)學(xué)

9、化。數(shù)學(xué)化是一種由淺入深，具有不同層次、不斷發(fā)展的過程。一般來講，數(shù)學(xué)化的對象，一是現(xiàn)實(shí)客觀事物；二是數(shù)學(xué)本身。對客觀世界的數(shù)學(xué)化，形成了數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則、規(guī)律、定理，以及為解決實(shí)際問題而構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型等；對數(shù)學(xué)本身的數(shù)學(xué)化，就是深化數(shù)學(xué)知識，或者使數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化，形成不同層次的公理體系和形式體系。可以這樣說，任何數(shù)學(xué)的分支都是數(shù)學(xué)化的結(jié)果。而數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵又在于運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法去分析和研究客觀世界。從這個角度講，數(shù)學(xué)建模教學(xué)在很多程度上就是數(shù)學(xué)化的過程。從前面的案例1可以看出，通過數(shù)學(xué)建?？梢越鉀Q生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問題，但讀者不要簡單的認(rèn)為數(shù)學(xué)建模就是為了解決生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問題，事實(shí)

10、上，學(xué)生通過數(shù)學(xué)建?；顒又匾氖悄軐W(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)的內(nèi)在實(shí)質(zhì)，達(dá)到數(shù)學(xué)化思考的目的，學(xué)會數(shù)學(xué)地提出問題、分析問題、解決問題的方法。3、數(shù)學(xué)建模有利于發(fā)揮學(xué)生的主體作用長期以來，我們在教學(xué)中一直叫喊“教為主導(dǎo)”、“學(xué)為主體”、“尊重學(xué)生的主體地位”，但學(xué)生的主體地位一直沒有得到充分的尊重，其個性作用沒有得到很好的發(fā)揮，為此，標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純的依賴模仿與記憶，動手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”。學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動探索及相互交流。數(shù)學(xué)建模教學(xué)是一個微型的“研究過程”，與其他教學(xué)方式相比，具有較強(qiáng)的問題性

11、、實(shí)踐性、參與性與開放性，它能引導(dǎo)學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考、實(shí)驗(yàn)操作、收集與處理信息、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題等探索活動，達(dá)到獲得知識，掌握技能，解決問題的目的，在這個過程中，學(xué)生的地位處于主導(dǎo)位置，教師是促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒拥囊龑?dǎo)者和指導(dǎo)者。4、有利于學(xué)生綜合素質(zhì)的提高應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類實(shí)際問題時，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學(xué)模型的過程，是把錯綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。數(shù)學(xué)建模中的問題都具有一定的探索性，有別于常規(guī)問題，解決這樣的問題需要抓住問題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問題。這需要

12、同學(xué)們具有深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力，對實(shí)際問題的濃厚興趣，還要求有一定的相關(guān)學(xué)科知識和相應(yīng)的社會實(shí)踐能力、良好的意志品質(zhì)等，因此，數(shù)學(xué)建模教學(xué)有利于探索精神和創(chuàng)新能力的發(fā)展，對于全面提高學(xué)生的素質(zhì)是非常有益的。此外，有些數(shù)學(xué)建模活動學(xué)生個人難以完成，需要學(xué)生之間通過合作才能完成，在合作學(xué)習(xí)中，由于學(xué)習(xí)者的積極參與和高密度的交互作用，使學(xué)習(xí)過程遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是一個認(rèn)知的過程，同時還是一個交往與審美的過程。這個過程可使學(xué)生認(rèn)識到團(tuán)隊(duì)精神的重要性，對于獨(dú)生子女時代的莘莘學(xué)子無疑是大有稗益的。三、提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的一般措施要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，教師首先要樹立一個觀念，即把建模意識的培養(yǎng)

13、貫穿于整個教學(xué)過程之中。其次才是具體的教學(xué)措施。因此，教師認(rèn)真學(xué)習(xí)和研究標(biāo)準(zhǔn)、宏觀地把握整個中學(xué)教材、使自己的教學(xué)設(shè)計始終滲透對學(xué)生建模意識的培養(yǎng)。1、注重數(shù)學(xué)知識的形成過程傳統(tǒng)的東西方教育在課程目標(biāo)上具有較大的差異，西方比較注重過程和學(xué)生的體驗(yàn)，注重應(yīng)用和探究活動，注重評價的多樣化；而東方則比較注重結(jié)果，注重基本知識和基本技能。標(biāo)準(zhǔn)增加了“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”等內(nèi)容，對創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力也都提出了明確的要求。這些動向表明數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“既重結(jié)果又重過程”，數(shù)學(xué)建模是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的有力工具。我們知道，大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識的形成都源于實(shí)際的需要或數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要，也就是說大部分的數(shù)學(xué)知識都有一個形成的過程。中學(xué)

14、階段的許多知識都來源于生活實(shí)際，數(shù)學(xué)概念、公式、定理等數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)中都能找到原型。這就為我們從學(xué)生的生活實(shí)際入手引入新知識提供了大量的背景材料。在教學(xué)中，教師要充分認(rèn)識過程的重要性，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地提出問題，注重數(shù)學(xué)概念、公式、定理、性質(zhì)形成過程的揭示。為此，我們可抓住一些重要概念、定理及法則的歸納推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷它們的形成過程、抽象過程，從而把握其本質(zhì)，初步形成幾何建模的意識。案例2，圓的定義的形成過程。圓是生活中常見的幾何圖形，教學(xué)中，教師應(yīng)利用實(shí)物或課件，演示圓的生成過程，在此基礎(chǔ)上，從動和靜兩個方面來揭示圓的本質(zhì)，從而形成圓的兩種定義：圖5（1）“動”的形成過程：如圖3，在平面內(nèi)線段

15、OA繞固定的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所描出的封閉曲線叫做圓。圓的形成過程由“線段旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)所描出”給出。圖5圖4A圖4AO圖3（2）“靜”的形成過程：引導(dǎo)學(xué)生參與下面的一系列數(shù)學(xué)活動：畫一個半徑為5cm長的O，在O上取A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB。 = 1 * GB3 你知道OA、OB的長分別是多少嗎？ = 2 * GB3 如果OC=5cm，你知道點(diǎn)C的位置嗎？ = 3 * GB3 如果OM=7cm，ON=3cm，你知道M、N兩點(diǎn)與圓的位置關(guān)系嗎？ = 4 * GB3 想一想，平面上的點(diǎn)與圓有哪幾種位置關(guān)系？在以上問題的引導(dǎo)下，學(xué)生自己就能發(fā)現(xiàn)平面內(nèi)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，從而歸納出：

16、圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合。至此，學(xué)生就完整的經(jīng)歷了圓的集合定義的整個形成過程。2、加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué)培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力的方法有眾多，我們認(rèn)為加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué)便是其中一個非常實(shí)際的方法。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幾乎所有的知識點(diǎn)都可以作為應(yīng)用題的“源材料”，或者說生產(chǎn)、生活的大量問題都可以應(yīng)用數(shù)學(xué)知識加以解決。解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的過程，實(shí)質(zhì)上就是利用數(shù)學(xué)化的方法，把實(shí)際問題抽象、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后通過解答數(shù)學(xué)模型達(dá)到解決實(shí)際問題的思維活動。我們在中學(xué)讓學(xué)生理解并掌握的數(shù)學(xué)模型主要有：（1）方程（組）模型；（2）不等式（組）模型；（3）函數(shù)模型；（4）幾何模型（或三角模型）；（5）統(tǒng)計模型；（6）概率

17、模型等。學(xué)生在用上述模型解答實(shí)際問題的過程中，能體驗(yàn)到數(shù)學(xué)與日常生活及其它學(xué)科的聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用價值，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，當(dāng)然他們的數(shù)學(xué)建模能力也將會得到很大的提高。案例3、甲、乙兩人在勻速上升的自動扶梯上從底部向頂部行走，甲每分鐘走扶梯的級數(shù)是乙的2倍；甲走了36級到達(dá)頂部，而乙走了24級到達(dá)頂部。那么自動扶梯露在外面的級數(shù)是多少？【析解】這是非常貼近學(xué)生生活實(shí)際的問題，對于這樣的問題學(xué)生也十分感興趣。由“甲每分鐘走扶梯的級數(shù)是乙的2倍”可知甲的行走速度是乙的2倍，因此甲走36級扶梯的時間相當(dāng)于乙走18級扶梯的時間，可得甲、乙到達(dá)頂部實(shí)際所花費(fèi)的時間比為，這個比的大小等于露在外面的階梯

18、數(shù)分別減去甲、乙自身所走的階梯數(shù)后的級數(shù)之比。有了上述分析之后，建立模型的方法有兩種：方法一：設(shè)自動扶梯有m級露在外面，可得方程模型=。方法二：可設(shè)甲、乙兩人的速度分別為2v和v，扶梯的速度為u，可得模型。先根據(jù)模型求出，然后代入模型的任何一邊即可求出結(jié)果。3、重視思想方法的教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)非常重視對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)與研究，我們知道數(shù)學(xué)思想方法貫穿在整個中學(xué)數(shù)學(xué)教材的知識點(diǎn)中，以內(nèi)隱的方式溶于數(shù)學(xué)知識體系。它是數(shù)學(xué)的內(nèi)在形式，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識、發(fā)展思維能力的動力工具。它在數(shù)學(xué)建模的過程中起著重要的作用，因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力必須重視對數(shù)學(xué)思想方法的滲透與提煉。案例4、“哥尼斯堡七橋問題”問題

19、。哥尼斯堡是18世紀(jì)東普魯士的一個城市，流經(jīng)市區(qū)的普列格爾的河灣處，有兩個小島和七座橋，如圖4所示。人們提出了一個有趣的問題：能否在一次連續(xù)的散步中不重復(fù)的走過這七座橋？這就是著名的哥尼斯堡七橋問題。【析解】著名的“哥尼斯堡七橋問題”是許多人始終未能解決的難題，它困擾了人們好長時間，最后的解決是由著名的數(shù)學(xué)家歐拉給出的，他對這個問題的解法在許多書上都有介紹。這是一道看似與數(shù)學(xué)無關(guān)的問題，然而歐拉卻通過在觀察圖4特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)的角度加以分析、建立模型、進(jìn)而解決“哥尼斯堡七橋問題”。從解答的過程看，建立幾何模型5是關(guān)鍵的一步。數(shù)學(xué)家歐拉不是到橋上去試走，而是根據(jù)陸地、橋和人走過的關(guān)系特征，巧

20、妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識把小島、河岸抽象成點(diǎn)，把橋抽象成為“線”，從而把“七橋”抽象成圖5所示的一個幾何模型，巧妙地把“人能否一次無重復(fù)的走過七座橋”的問題轉(zhuǎn)化為能否“一筆畫出”這個幾何模型的問題。歐拉用數(shù)學(xué)的方法證明了圖5是不能一筆畫出的，所以人也不能一次無重復(fù)的走過這七座橋。歐拉如果不能很好的理解和使用抽象、轉(zhuǎn)化的思想方法是斷然不能建立幾何模型5的。4、與其他學(xué)科知識相聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)為其他科學(xué)提供了語言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)”。我們知道，生物、物理、化學(xué)中的一些問題都可以用數(shù)學(xué)的知識去解決，解決的關(guān)鍵就是建立數(shù)學(xué)模型，因此，教學(xué)中，結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，適當(dāng)讓學(xué)生解答上述學(xué)科中

21、問題，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是非常必要和及時的。案例5：“機(jī)械傳動問題”（2010年河北省中考題）。觀察思考：某種在同一平面進(jìn)行傳動的機(jī)械裝置如圖6（1），圖6（2）是它的示意圖。其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿PQ也隨之運(yùn)動，并且PQ帶動連桿OP繞固定點(diǎn)O擺動。在擺動過程中，兩連桿的究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，過點(diǎn)O作OHl于點(diǎn)H，并測得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米。DHDHO圖7PQHlO（3）P（Q）HlOPQ（2）（1）連桿滑塊滑道圖6ll解決問題：（1）點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的最小距離是 分米；點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的最大距離是 分米；點(diǎn)Q在l上滑到最左

22、端的位置與滑到最右端位置間的距離是 分米。（2）如圖6（3），小明同學(xué)說：“當(dāng)點(diǎn)Q滑動到點(diǎn)H的位置時，PQ與O是相切的?！蹦阏J(rèn)為他的判斷對嗎為什么（3）lll 分米；當(dāng)OP繞點(diǎn)O左右擺動時，所掃過的區(qū)域?yàn)樯刃?，求這個扇形面積最大時圓心角的度數(shù)?！疚鼋狻勘绢}以機(jī)械裝置為模型考查其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析和解決問題的能力。（1）觀察機(jī)械模型的工作原理圖（2）可知，當(dāng)Q點(diǎn)滑動到H點(diǎn)時，點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的距離最小，為OH的長度；當(dāng)Q點(diǎn)滑動到Q、P、O在同一條直線上時，點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的距離最大，為OP+PQ。當(dāng)點(diǎn)Q移動到最右端時，OHQ為直角三角形，此時，HQ=，同理可知點(diǎn)Q移動到最左端時離H點(diǎn)

23、的距離也等于點(diǎn)Q移動到最右端時離H點(diǎn)的距離。（2）當(dāng)點(diǎn)Q滑動到點(diǎn)H的位置時，由于OQ2PQ2+OP2，所以PQ與O不相切。（3）觀察圖6（2）可發(fā)現(xiàn)當(dāng)PQll3；如圖7，在RtOPD中，OP=2，OD=OH-HD=1，所以DOP=600，從而得到POP/=1200，這就是扇形面積最大時圓心角的度數(shù)。作為補(bǔ)充我們還可以讓學(xué)生求出這個扇形的最大面積。5、加強(qiáng)小課題研究對于課題學(xué)習(xí)，標(biāo)準(zhǔn)指出：要經(jīng)歷“問題情境建立模型求解解釋與應(yīng)用”的基本過程。由于研究型課題來自于課本知識與現(xiàn)實(shí)生活的結(jié)合，因此，進(jìn)行課題研究本身就是對所學(xué)知識的實(shí)際應(yīng)用。另外，進(jìn)行課題研究對于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力

24、有積極的訓(xùn)練價值。開展小課題研究的教學(xué)，既是對我們教師教學(xué)觀念和教學(xué)能力的挑戰(zhàn)，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造精神和實(shí)踐能力的重要途徑。通過課題研究活動，能引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生在開放性環(huán)境中搜集和整理信息的能力；能發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神，獲得親自參與研究的切身體驗(yàn)，樹立戰(zhàn)勝困難、堅(jiān)韌不拔的頑強(qiáng)毅力；還能在研究活動中學(xué)會溝通與合作，鍛煉學(xué)生的表達(dá)、交流等社交能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。在研究活動中，能讓學(xué)生逐步學(xué)會從實(shí)際出發(fā)，通過認(rèn)真踏實(shí)的研究、準(zhǔn)確地分析和計算獲得結(jié)論，并懂得尊重他人的成果，從而培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、理論與實(shí)踐相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。通過活動，還能發(fā)展學(xué)生對社會的責(zé)任心和使命感，激活各

25、種學(xué)習(xí)中的知識儲存，嘗試相關(guān)知識的綜合運(yùn)用。這對以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的素質(zhì)教育具有重要的積極意義。案例6、洗衣服的學(xué)問。大家知道，要洗一件衣服，先要用少許水和洗衣粉，把衣服充分浸泡、揉搓，以便使污物充分溶解或飄浮于水中。將衣服“擰干”后，它上面肯定還帶有一定數(shù)量的含污物的水。設(shè)衣服上殘存的污物為m0克（當(dāng)然包括殘留的洗衣粉），我們這里有兩種洗法：一是直接將衣服放入這一桶清水中洗；二是將這A千克水分成相同的兩份，先在其中一份中洗滌，然后在另一份中清一下。請問哪種洗法效果好？同學(xué)們憑經(jīng)驗(yàn)都知道第二種洗法效果更好，但如何從數(shù)學(xué)角度去解釋這個問題呢？【析解】第一種：直接把帶有m0克污物和w千克水的衣服放到A千克水中，經(jīng)過充分搓洗，這m0克污物溶于（w+A）千克的水中。此時，把污水倒掉，把衣服擰干，衣服上一定還殘留一定的污物m克（注意m一定