例析勾股定理

1、PAGE5例析勾股定理勾股定理是揭示三角形三邊之間特有的數(shù)量關(guān)系，在直角三角形中我們可以利用勾股定理解決以下問題：（1）已知兩邊求第三邊；（2）已知一邊求另外兩邊的關(guān)系；（3）關(guān)于線段平方的問題。下面我們就一起來來運(yùn)用勾股定理解決一些常見的問題。例1：如圖1是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸（單位：mm），計(jì)算兩圓孔中心A和B的距離為_mm分析：通過圖形可以知道ABC是直角三角形，AC，BC的長(zhǎng)度分別為90mm和120mm，在RtABC中AB2=AC2BC2=9021202，所以AB=150答案：150。點(diǎn)撥：本題關(guān)鍵是構(gòu)造出RtABC，再利用勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)。變式

2、練習(xí)1：如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”他們僅僅少走了步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草。例2：如圖3，分別以RtABC的三邊AB，BC，CA為直徑向外作半圓設(shè)直線AB左邊陰影部分的面積為S1，右邊陰影部分的面積和為S2，則（）圖3AS1=S2BS1S2CS1S2圖3分析：在RtABC中，AB2=AC2BC2，而S1=，S2=，所以S1=S2。答案：A。點(diǎn)撥：本題利用圓的面積公式以及勾股定理解決問題。關(guān)鍵是能通過勾股定理弄清楚三個(gè)半圓的半徑之間的關(guān)系。變式練習(xí)2：如圖4，分別以三角形三邊為邊向外作三個(gè)正方形，如果較小的兩個(gè)正方形面積之和等

3、于較大的正方形面積，則這個(gè)三角形為（）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D銳角三角形或鈍角三角形例3：如圖5，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）圖5A4B6C16D圖5分析：通過觀察可以知道這三個(gè)正方形的三邊可以放在同一個(gè)直角三角形中，通過勾股定理即可知道這三正方形的面積關(guān)系為ac=b，所以b=511=16。答案：C。點(diǎn)撥：本題將三個(gè)正方形的三邊放到一個(gè)直角三角形中，從而解決問題。變式練習(xí)3：如圖6，所有的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)是a，則圖中四個(gè)小正方形A，B，C，D的面積之和是圖6例4:如圖7，已知RtA

4、BC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm。現(xiàn)將進(jìn)行折疊，使頂點(diǎn)A，B重合，則折痕DE=cm。圖7分析：C=90，AC=4 cm，BC=3 cm，AB=5cm，由折疊得AE=BE=cm，AD=BD，設(shè)AD=，則CD=4-，在RtBCD中，BD2=CD2BC2，即2=4-232，解得=cm，在RtADE中，AD2=AE2DE2，即=DE2，所以DE圖6圖7答案：DE=cm。點(diǎn)撥：由折疊可以得到圖形的全等，從而得到線段的相等以及角的關(guān)系。本題將線段放在RtADE中，通過勾股定理求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)。變式練習(xí)4：如圖8所示，將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于

5、E，交BC于F，邊AB折疊后與BC交于點(diǎn)G。如果M為CD中點(diǎn)，試說明DE：DM：EM=3：4：5。圖8例5：如圖9，滑桿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，ACB為直角，已知滑桿AB長(zhǎng)2.5米，頂端A在AC上運(yùn)動(dòng)，量得滑桿下端B距C點(diǎn)的距離為1.5米，當(dāng)端點(diǎn)B向右移動(dòng)0.5米時(shí)，求滑桿頂端A下滑多少米？圖9分析：圖8圖9答案：設(shè)AE的長(zhǎng)為米，依題意得CE=AC-。AB=DE=，BC=，C=90，AC=2。BD=，在RtECD中，=。2-=,=。即AE=。即梯子下滑0.5米點(diǎn)撥：在梯子滑動(dòng)的過程始終保持長(zhǎng)度不變是解決本題的關(guān)鍵。變式練習(xí)5：如圖10一架長(zhǎng)5米的梯子AB，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯子底端距墻底3米。如果梯子的頂端沿墻下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一條直線也將滑動(dòng)1米圖101、42、B3、a24、解：由折疊可知：A、M關(guān)于EF對(duì)稱，所以EM=AE=ADDE，又因?yàn)镸是CD中點(diǎn)，CD=AD，所以DM=AD。在RtDEM中，DE2DM2=EM2，所以DE2AD2=（ADDE）2，所以DE=AD，EM=ADDE=AD，所以DE：DM：EM=AD