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文檔簡介
1、2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1在長方體中,則直線與平面所成角的余弦值為( )ABCD2設(shè),則ABCD3若雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的離心率為( )A2BCD4如圖,在正四棱柱中,分別為的中點,異面直線與所成角的余弦值為,則( )A直線與直線異面,且B直線與直線共面,且
2、C直線與直線異面,且D直線與直線共面,且5已知拋物線:,點為上一點,過點作軸于點,又知點,則的最小值為( )ABC3D56已知,分別為內(nèi)角,的對邊,的面積為,則( )AB4C5D7函數(shù)在上的圖象大致為( )A B C D 8函數(shù)的圖象大致為( )ABCD9已知復(fù)數(shù)滿足,(為虛數(shù)單位),則( )ABCD310若向量,則( )A30B31C32D3311在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為( )ABCD12設(shè)正項等差數(shù)列的前項和為,且滿足,則的最小值為A8B16C24D36二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13已知函數(shù),(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),若關(guān)于x的方程恰有5個相異的實根,則實數(shù)
3、a的取值范圍為_.14在中,角、所對的邊分別為、,若,則的取值范圍是_15三所學(xué)校舉行高三聯(lián)考,三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為160,240,400,為調(diào)查聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的成績,現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這三所學(xué)校中抽取樣本,若在學(xué)校抽取的數(shù)學(xué)成績的份數(shù)為30,則抽取的樣本容量為_.16已知,(,),則_三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(12分)ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知ABC的面積為(1)求;(2)若求ABC的周長.18(12分)如圖,在矩形中,點分別是線段的中點,分別將沿折起,沿折起,使得重合于點,連結(jié).()求證:平面平面;()求直線與平面所成角的正弦值.19
4、(12分)在中,角的對邊分別為,已知(1)求角的大小;(2)若,求的面積20(12分)已知在中,角,的對邊分別為,的面積為.(1)求證:;(2)若,求的值.21(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求直線和曲線的極坐標(biāo)方程;(2)已知射線與曲線交于兩點,射線與直線交于點,若的面積為1,求的值和弦長22(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位,建立極坐標(biāo)系.(1)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為,若直線l與曲線C交于兩點AB,求AB
5、的長;(2)設(shè)M、N是曲線C上的兩點,若,求面積的最大值.參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1C【解析】在長方體中, 得與平面交于,過做于,可證平面,可得為所求解的角,解,即可求出結(jié)論.【詳解】在長方體中,平面即為平面,過做于,平面,平面,平面,為與平面所成角,在,直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點睛】本題考查直線與平面所成的角,定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”,三步驟缺一不可,屬于基礎(chǔ)題.2C【解析】分析:利用復(fù)數(shù)的除法運算法則:分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),化簡復(fù)數(shù),然后求解復(fù)數(shù)的模.詳解:,則,故
6、選c.點睛:復(fù)數(shù)是高考中的必考知識,主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算要注意對實部、虛部的理解,掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念,復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算,通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法,運算時特別要注意多項式相乘后的化簡,防止簡單問題出錯,造成不必要的失分.3C【解析】利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關(guān)系.【詳解】由已知,雙曲線的漸近線方程為,故圓心到漸近線的距離等于1,即,所以,.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求法,求雙曲線離心率問題,關(guān)鍵是建立三者間的方程或不等關(guān)系,本題是一道基礎(chǔ)題.4B【解析】連接,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性質(zhì)可知,直線與直線共面.,同理
7、易得,由異面直線所成的角的定義可知,異面直線與所成角為,然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示:連接,由正方體的特征得,所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得,所以異面直線與所成角為.設(shè),則,則,由余弦定理,得.故選:B【點睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì),還考查了推理論證和運算求解的能力,屬于中檔題.5C【解析】由,再運用三點共線時和最小,即可求解.【詳解】.故選:C【點睛】本題考查拋物線的定義,合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵,注意拋物線的性質(zhì)的靈活運用,屬于中檔題6D【解析】由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出,結(jié)合余弦定理即可求出 的值.【詳解】解:,即,即. ,則.,
8、解得., 故選:D.【點睛】本題考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面積公式,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過正弦定理結(jié)合已知條件,得到角 的正弦值余弦值.7C【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時的符號,即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,排除選項A,B;當(dāng)時,排除選項D,故選:C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性,屬于中檔題.8A【解析】確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,計算時的函數(shù)值可排除三個選項【詳解】時,函數(shù)為減函數(shù),排除B,時,函數(shù)也是減函數(shù),排除D,又時,排除C,只有A可滿足故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析
9、式選擇函數(shù)圖象,可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等等排除,可通過特殊的函數(shù)值,函數(shù)值的正負(fù),函數(shù)值的變化趨勢排除,最后剩下的一個即為正確選項9A【解析】,故,故選A.10C【解析】先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算,考查了學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11C【解析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出【詳解】解:復(fù)數(shù)i(2+i)2i1對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1,2),故選:C【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題12B【解析】方法一:由題意得,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得成等差數(shù)列,設(shè)
10、,則,則,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,從而的最小值為16,故選B方法二:設(shè)正項等差數(shù)列的公差為d,由等差數(shù)列的前項和公式及,化簡可得,即,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,從而的最小值為16,故選B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13【解析】作出圖象,求出方程的根,分類討論的正負(fù),數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】當(dāng)時,令,解得,所以當(dāng)時,則單調(diào)遞增,當(dāng)時,則單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞減,且,作出函數(shù)的圖象如圖:(1)當(dāng)時,方程整理得,只有2個根,不滿足條件;(2)若,則當(dāng)時,方程整理得,則,此時各有1解,故當(dāng)時,方程整理得,有1解同時有2解,即需,因為(2),故此時滿足題意;或有2解同時有1解,則需,由(
11、1)可知不成立;或有3解同時有0解,根據(jù)圖象不存在此種情況,或有0解同時有3解,則,解得,故,(3)若,顯然當(dāng)時,和均無解,當(dāng)時,和無解,不符合題意綜上:的范圍是,故答案為:,【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力,屬于中檔題14【解析】計算出角的取值范圍,結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】,則,所以,由正弦定理,.因此,的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題主要考查了正弦定理,正弦函數(shù)圖象和性質(zhì),考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題15【解析】某層抽取的人數(shù)等于該層的總?cè)藬?shù)乘以抽樣比.【詳解】設(shè)抽取的樣本容量
12、為x,由已知,解得.故答案為:【點睛】本題考查隨機抽樣中的分層抽樣,考查學(xué)生基本的運算能力,是一道容易題.16【解析】先利用倍角公式及差角公式把已知條件化簡可得,平方可得.【詳解】,則,平方可得故答案為:.【點睛】本題主要考查三角恒等變換,倍角公式的合理選擇是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 (1)(2) .【解析】試題分析:(1)由三角形面積公式建立等式,再利用正弦定理將邊化成角,從而得出的值;(2)由和計算出,從而求出角,根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值,從而求出的周長為.試題解析:(1)由題設(shè)得,即.由正弦定理得.
13、故.(2)由題設(shè)及(1)得,即.所以,故.由題設(shè)得,即.由余弦定理得,即,得.故的周長為.點睛:在處理解三角形問題時,要注意抓住題目所給的條件,當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積,可以使用面積公式建立等式,再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系;解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角,求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角,再有另外一個條件,求面積或周長的值”,這類問題的通法思路是:全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系式,如,從而求出范圍,或利用余弦定理以及基本不等式求范圍;求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.18()詳見解析;().【解
14、析】()根據(jù),可得平面,故而平面平面()過作于,則可證平面,故為所求角,在中利用余弦定理計算,再計算【詳解】解:()因為,平面,平面所以平面,又平面,所以平面平面;()過作于,則由平面,且平面知,所以平面,從而是直線與平面所成角.因為, 所以,從而.【點睛】本題考查了面面垂直的判定,考查直線與平面所成角的計算,屬于中檔題19(1);(2)【解析】(1)利用正弦定理邊化角,再利用二倍角的正弦公式與正弦的和角公式化簡求解即可.(2)由(1)有,根據(jù)正弦定理可得,進(jìn)而求得的值,再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】(1)由,得,得,由正弦定理得,顯然,同時除以,得.所以.所以.顯然,所以,解得.又
15、,所以.(2)若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【點睛】本題主要考查了正余弦定理與面積公式在解三角形中的運用,需要根據(jù)題意用正弦定理進(jìn)行邊角互化,再根據(jù)三角恒等變換進(jìn)行化簡求解等.屬于中檔題.20(1)證明見解析;(2).【解析】(1)利用,利用正弦定理,化簡即可證明(2)利用(1),得到當(dāng)時,得出,得出,然后可得【詳解】證明:(1)據(jù)題意,得,.又,.解:(2)由(1)求解知,.當(dāng)時,.又,.【點睛】本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題21(1),;(2) .【解析】(1)先把直線和曲線的參數(shù)方程化成普通方程,再化成極坐標(biāo)方程; (2)聯(lián)立極坐標(biāo)方程,根據(jù)極徑的幾何意義可得,再由面積可解得極角,從而可得【詳解】(1)直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),消去參數(shù)得直角坐標(biāo)方程為:轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為:,即曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為:, 化為一般式得化為極坐標(biāo)方程為: (2)由于,得,所以,所以,由于,所以,所以【點睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、
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