2022-2023學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章統(tǒng)計(jì)4用樣本估計(jì)總體數(shù)字特征4.1樣本的數(shù)字特征4.2分層隨機(jī)抽樣的均值與方差4.3百分位數(shù)課件北師大版必修第一冊(cè)

4.1樣本的數(shù)字特征4.2分層隨機(jī)抽樣的均值與方差4.3百分位數(shù)第六章課標(biāo)要求1.會(huì)求樣本的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù).2.會(huì)求樣本的極差、標(biāo)準(zhǔn)差與方差.3.通過應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際統(tǒng)計(jì)問題,培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

樣本的數(shù)字特征1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).(1)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是眾數(shù).若有兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相等且都最多,則這些數(shù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù);若一組數(shù)據(jù)中,每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣,則這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).(2)中位數(shù)一般地,將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后,“中間”的那個(gè)數(shù)據(jù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).當(dāng)數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)時(shí),位于最中間位置的數(shù)就是中位數(shù);當(dāng)數(shù)據(jù)有偶數(shù)個(gè)時(shí),位于最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù).(3)平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的平均值,數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為

=

.

名師點(diǎn)睛眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比較

名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)(1)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn);(2)容易計(jì)算(1)它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息;(2)無法客觀地反映總體的特征中位數(shù)(1)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響;(2)容易計(jì)算,便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對(duì)極端值不敏感平均數(shù)反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變,數(shù)據(jù)波動(dòng)越大,對(duì)平均數(shù)的影響也越大2.極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了一組數(shù)據(jù)的

.

(1)極差:數(shù)據(jù)中

和

的差.

(2)方差:設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1,x2,x3,…,xn,其平均數(shù)為,則方差s2=

,其單位是原始觀測(cè)數(shù)據(jù)單位的

,方差刻畫的是數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的離散程度.

(3)標(biāo)準(zhǔn)差①定義:它是方差的算術(shù)平方根,s==

,其單位與原始數(shù)據(jù)的單位

.

②計(jì)算方法:先求出方差s2,再求方差的算術(shù)平方根,即得標(biāo)準(zhǔn)差s=.離散程度

最大值

最小值

平方

相同

名師點(diǎn)睛計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟計(jì)算樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差的算法如下:第一步:算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)

;第二步:算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi-

(i=1,2,…,n);第三步:算出第二步中xi-

(i=1,2,…,n)的平方;第四步:算出第三步中n個(gè)平方數(shù)的平均數(shù),即為樣本方差;第五步:算出第四步中平均數(shù)的算術(shù)平方根,即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)一組數(shù)據(jù)中,有一半的數(shù)據(jù)不大于中位數(shù),而另一半則不小于中位數(shù),中位數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的中心的情況.(

)(2)頻率分布直方圖中,平均數(shù)左右兩邊的面積相等.(

)(3)如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)都減去同一個(gè)非零常數(shù),則這組數(shù)的平均數(shù)改變,方差不變.(

)(4)標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散.(

)√×√×2.怎樣由頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)?提示(1)在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高的小長(zhǎng)方形的中點(diǎn).(2)在樣本中,有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù),也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù),因此,在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)相等.(3)平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.3.平均數(shù)與方差有哪些性質(zhì)?知識(shí)點(diǎn)2

分層隨機(jī)抽樣的均值與方差1.分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)(1)定義:一般地,將樣本a1,a2,…,am和樣本b1,b2,…,bn合并成一個(gè)新樣本,則這個(gè)新樣本的平均數(shù)為

w1,w2∈[0,1]2.分層隨機(jī)抽樣的方差

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)樣本數(shù)據(jù)分為兩層,其中一層的平均數(shù)為96,另一層的平均數(shù)為98,則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

=97.(

)(2)把一個(gè)樣本分成兩層,由每層數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差就能求整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.(

)××2.甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽,甲射擊6次,成績(jī)分別為10,9,8,7,8,6;乙射擊4次,成績(jī)分別為9,8,9,10.則甲、乙兩人共射擊10次的平均成績(jī)和方差分別是多少?知識(shí)點(diǎn)3

百分位數(shù)

1.一般地,當(dāng)總體是連續(xù)變量時(shí),給定一個(gè)百分?jǐn)?shù)p∈(0,1),總體的p分位數(shù)有這樣的特點(diǎn):總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是p.2.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的p分位數(shù)的一般步驟如下:第一步,按照從小到大排列原始數(shù)據(jù);第二步,計(jì)算i=np;第三步,若i不是整數(shù),大于i的最小整數(shù)為j,則p分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則p分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).取值連續(xù)不斷,不能一一列舉

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)50%分位數(shù)就是中位數(shù).(

)(2)百分位數(shù)只能是總體數(shù)據(jù)中的數(shù).(

)√×2.對(duì)于考試成績(jī)的統(tǒng)計(jì),如果你的成績(jī)處在95%分位數(shù)上,以下說法正確的是(

)A.你得了95分B.你答對(duì)了95%的試題C.至少有95%的參加考試者得到了和你一樣的考分或還要低的分?jǐn)?shù)D.你排名在第95名答案C

解析

95%分位數(shù)是指把數(shù)據(jù)從小到大排序,有至少95%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)數(shù),至少5%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)數(shù),只有C正確.3.900,920,920,930,930的20%分位數(shù)是

.

答案

910

解析

因?yàn)?×20%=1,所以該組數(shù)據(jù)的20%分位數(shù)是

=910.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的求法【例1】

在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上,參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)绫硭?成績(jī)/m1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù).(結(jié)果精確到0.01)解在17個(gè)數(shù)據(jù)中,1.75出現(xiàn)了4次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.題目中表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的,其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù),即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是所以這17名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75,1.70,1.69.規(guī)律方法

中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用注意事項(xiàng)

求中位數(shù)的關(guān)鍵是將數(shù)據(jù)排序,一般按照從小到大的順序排列.中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān),某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒有影響.中位數(shù)可能在所給數(shù)據(jù)中,也可能不在所給數(shù)據(jù)中.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí),可用中位數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)確定眾數(shù)的關(guān)鍵是統(tǒng)計(jì)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù),頻數(shù)最大的數(shù)據(jù)就是眾數(shù).當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí),眾數(shù)往往更能反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)都有關(guān),受個(gè)別極端數(shù)據(jù)(比其他數(shù)據(jù)大很多或小很多的數(shù)據(jù))的影響較大,因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù),平均數(shù)對(duì)總體估計(jì)的可靠性較差,這時(shí)往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計(jì)總體.有時(shí)也采用剔除最大值與最小值后所得的平均數(shù)去估計(jì)總體變式訓(xùn)練1(1)16位參加百米賽跑半決賽同學(xué)的成績(jī)各不相同,按成績(jī)?nèi)∏?位進(jìn)入決賽.如果小劉知道了自己的成績(jī)后,要判斷能否進(jìn)入決賽,則其他15位同學(xué)成績(jī)的下列數(shù)據(jù)中,能使他得出結(jié)論的是(

)A.平均數(shù) B.極差 C.中位數(shù) D.方差(2)已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為-1,0,4,x,6,15,且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5,那么該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是

,平均數(shù)是

.

答案

(1)C

(2)6

5

解析

(1)判斷能否進(jìn)入決賽,只要判斷是不是前8位,所以只要知道其他15位同學(xué)的成績(jī)中是不是有8位高于他,也就是把其他15位同學(xué)的成績(jī)排列后看第8位的成績(jī)即可,小劉的成績(jī)高于這個(gè)成績(jī)就能進(jìn)入決賽,低于這個(gè)成績(jī)就不能進(jìn)入決賽,這個(gè)第8位的成績(jī)就是這15位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù).探究點(diǎn)二方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算及應(yīng)用【例2】

甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件,為檢驗(yàn)質(zhì)量,各從中抽取6件測(cè)量,數(shù)據(jù)為:甲:99,100,98,100,100,103;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.規(guī)律方法

標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的兩個(gè)作用(1)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.(2)在實(shí)際應(yīng)用中,常常把平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)合起來進(jìn)行決策.在平均值相等的情況下,比較方差或標(biāo)準(zhǔn)差以確定穩(wěn)定性.(2)兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均值相同,又

,所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.變式訓(xùn)練2已知樣本9,10,11,x,y的平均數(shù)是10,標(biāo)準(zhǔn)差是,則xy=

.

答案

96

解析

由平均數(shù)得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,xy=96.故填96.探究點(diǎn)三求百分位數(shù)【例3】

給出下列一組數(shù)據(jù):18,19,20,20,21,22,23,31,31,35,求出45%分位數(shù).解因?yàn)閿?shù)據(jù)個(gè)數(shù)為10,而且10×45%=4.5,因此該組數(shù)據(jù)的45%分位數(shù)為21.規(guī)律方法

計(jì)算一組數(shù)據(jù)的p分位數(shù)時(shí),注意區(qū)分i=np的值是否為整數(shù).變式探究求出本例中的80%分位數(shù).解因?yàn)?0×80%=8,所以該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為

本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義與計(jì)算;(2)樣本數(shù)據(jù)數(shù)字特征的應(yīng)用;(3)分層隨機(jī)抽樣的均值與方差;(4)百分位數(shù).2.方法歸納:數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計(jì).3.常見誤區(qū):未對(duì)數(shù)據(jù)排序?qū)е虑笾形粩?shù)錯(cuò)誤;方差與標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算錯(cuò)誤;求百分位數(shù)時(shí),未排序?qū)е洛e(cuò)誤.學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.(多選題)下列說法中,正確的是(

)A.數(shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)是4,6B.數(shù)據(jù)1,2,2,3,4,4的眾數(shù)是2,4C.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能是同一個(gè)數(shù)據(jù)D.8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,另3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,則這11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是答案

BCD

解析

數(shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)為

=5,顯然A是錯(cuò)誤的,B,C,D都是正確的.2.若甲、乙、丙、丁四人參加奧運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽,四人的平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差如下表:選手甲乙丙丁平均數(shù)

8.58.88.88標(biāo)準(zhǔn)差s3.53.52.18.7則參加奧運(yùn)會(huì)的最佳人選應(yīng)為(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案C

解析

從平均數(shù)來看,乙、丙的平均值最大,從標(biāo)準(zhǔn)差來看,丙的標(biāo)準(zhǔn)差最小,因此應(yīng)選擇丙參加比賽.3.已知一組數(shù)據(jù):125,121,123,125,127,129,125,128,130,129,126,124,125,127,126.則這組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)和80%分位數(shù)分別是(

)