(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納學(xué)案專題01《復(fù)數(shù)》（解析版）

高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義專題一《復(fù)數(shù)》學(xué)案知識梳理.復(fù)數(shù)1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復(fù)數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up7(→)).3．復(fù)數(shù)的運算設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．題型一.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）為純虛數(shù)，則z＝（）A．163i B．6i C．20【解答】解：z＝（3﹣i）（a+2i）＝3a+2+（6﹣a）i，∵z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）為純虛數(shù)，∴3a+2＝0，且6﹣a≠0，得a=?23，此時z=故選：C．2．已知i是虛數(shù)單位，若z（1+3i）＝i，則z的虛部為（）A．110 B．?110 C．i【解答】解：由z（1+3i）＝i，得z=i∴z的虛部為110故選：A．3．已知復(fù)數(shù)z=2i1+i（i虛數(shù)單位），則zA．2 B．2 C．1 D．1【解答】解：由題意知|z|=|2i|利用性質(zhì)z?z=|z|2故選：B．4．若a?ii=b+2i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a+A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：∵a?ii=?ai﹣1＝b+2i，其中a、b∈R，∴a＝﹣2，b＝﹣1∴a+b＝﹣3．故選：A．5．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z=i?11+i，則|A．1 B．2 C．3 D．2【解答】解：z=i?1故|z|＝1，故選：A．6．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足1+z1?z=i，則|A．1 B．2 C．3 D．2【解答】解：∵復(fù)數(shù)z滿足1+z1?z=∴1+z＝i﹣zi，∴z（1+i）＝i﹣1，∴z=i?1i+1∴|z|＝1，故選：A．7．若復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣i）＝2i，則下列說法正確的是（）A．z的虛部為i B．z為實數(shù) C．|z|=2 D．z+z【解答】解：因為z（1﹣i）＝2i，所以z=2i1?i=則|z|=2；由于z的虛部是1，則A，B錯，z+z=?故選：C．8．若復(fù)數(shù)Z的實部為1，且|Z|＝2，則復(fù)數(shù)Z的虛部是（）A．?3 B．±3 C．±3i D．3【解答】解：復(fù)數(shù)Z的實部為1，設(shè)Z＝1+bi．|Z|＝2，可得1+b解得b=±3復(fù)數(shù)Z的虛部是±3故選：B．題型二.復(fù)數(shù)的幾何意義1．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1?i)2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：由(1?i)2則復(fù)數(shù)(1?i)21+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為：（﹣1，故選：C．2．設(shè)i是虛數(shù)單位，z的復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，z＝1+2i，則復(fù)數(shù)z+i?z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵z＝1+2i，∴z+i?z=1+2i+i（1﹣2i）＝1+2i+i+2＝3+3i∴復(fù)數(shù)z+i?z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為（3，3），位于第一象限．故選：A．3．設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則a＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）＝（a﹣1）+（a+1）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，∴a+1＝0，即a＝﹣1．故選：B．4．已知復(fù)數(shù)z＝3+4i3，則z的共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限．【解答】解：∵z＝3+4i3＝3﹣4i，∴z=3+4i則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為（3，4），位于第一象限．故答案為：一．5．在復(fù)平面內(nèi)，O是坐標原點，向量OA→對應(yīng)的復(fù)數(shù)是﹣2+i，若點A關(guān)于實軸的對稱點為點B，則向量OB→對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模為5【解答】解：∵向量OA→對應(yīng)的復(fù)數(shù)是﹣2+i，∴A（﹣又點A關(guān)于實軸的對稱點為點B，∴B（﹣2，﹣1）．∴向量OB→對應(yīng)的復(fù)數(shù)為﹣2﹣i，該復(fù)數(shù)的模為|﹣2﹣i|=故答案為：5．6．已知i為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z滿足z?2i=11?i，則復(fù)數(shù)A．132 B．262 C．102【解答】解：由z?2i=11?i，得z＝2i+11?i∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點的坐標為（12，52），到原點的距離為故選：B．題型三.復(fù)數(shù)的指數(shù)冪運算1．若復(fù)數(shù)z=2i1+i7（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵z=2i1+i∴z=?1﹣i∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對應(yīng)的點的坐標是（﹣1，﹣1）；∴它對應(yīng)的點在第三象限，故選：C．2．已知a為實數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝（a2﹣1）+（a+1）i為純虛數(shù)，則a+iA．1 B．0 C．1+i D．1﹣i【解答】解：復(fù)數(shù)z＝（a2﹣1）+（a+1）i為純虛數(shù)，可得a＝1，a+i20161+i=故選：D．3．已知復(fù)數(shù)z=(1+i)3(1?i)A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【解答】解：z=(1+i)3(1?i則z的虛部為﹣1，故選：A．4．已知復(fù)數(shù)z滿足z?i2020＝1+i2019（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【解答】解：∵i4＝1，∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，則z?i2020＝1+i2019化為z＝1﹣i，∴z的虛部為﹣1．故選：A．5．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝（1+i1?i）2013A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【解答】解：∵1+i1?i∴z＝（1+i1?i）2013＝i2013＝（i2）1006?i＝i故選：D．6．已知復(fù)數(shù)z＝﹣1+i，則z+2zA．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【解答】解：∵z＝﹣1+i，∴z+2z故選：A．7．若Z＝1+i，則|Z2﹣Z|＝（）A．0 B．1 C．2 D．2【解答】解：∵Z＝1+i，∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，∴|Z2﹣Z|=(?1故選：C．8．當(dāng)z=?1?i2時，z100+z50+1的值等于﹣i【解答】解：∵z=?1?i∴z2=12?2×22×22i+（22i）2根據(jù)復(fù)數(shù)乘方的含義，可得z100＝（z4）25＝﹣1，z50＝（z4）12?z2＝﹣i∴z100+z50+1＝﹣1﹣i+1＝﹣i故答案為：﹣i題型四.待定系數(shù)在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用——最值問題1．若復(fù)數(shù)z滿足3z+z=?4+2i，則A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解答】解：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則3z+z=3（a+bi）+a﹣bi＝4a+2bi＝﹣4+2∴4a=?42b=2，即a＝﹣1，b∴z＝﹣1+i．故選：D．2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2＝3+4i（i是虛數(shù)單位），則z的模為（）A．25 B．5 C．5 D．2+i【解答】解：法一、設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），由z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝3+4i，∴a2?b2=3∴|z|=a故選：C．法二、由z2＝3+4i，得|z則|z|=5故選：C．3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z1|＝1，|z2|＝2，z1+z2＝﹣1+3i，則|z1﹣z2|＝6【解答】解：設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d為實數(shù)），因為復(fù)數(shù)z滿足|z所以a+c=?1b+d=3且a2+b2＝1，c2+d所以a2+c2+2ac+b2+d2+2bd＝4，即2ac+2bd＝﹣1，則|z1﹣z2|=(a?c故答案為：6．4．已知z∈C，且|z|＝1，則|z﹣2﹣2i|（i為虛數(shù)單位）的最小值是（）A．22?1 B．22+1 C．2 【解答】解：∵|z|＝1且z∈C，作圖如圖：∵|z﹣2﹣2i|的幾何意義為單位圓上的點M到復(fù)平面上的點P（2，2）的距離，∴|z﹣2﹣2i|的最小值為：|OP|﹣1＝22?故選：A．5．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，則|z1﹣z2|的最大值為（）A．3+23 B．210 C．3+10 【解答】解：因為|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，所以z1，對應(yīng)的點在以A（1，0）為圓心，以1為半徑的圓上，z2對應(yīng)的點在以B（0，﹣3）為圓心，以2為半徑的圓上，則|z1﹣z2|的幾何意義是兩圓上點的距離，則則|z1﹣z