2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)培優(yōu)-基本立體圖形及空間幾何體的表面積和體積

第一節(jié)基本立體圖形及空間幾何體的表面積和體積教材回扣】1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形AAH結(jié)構(gòu)特征①有兩個面互相，其余各個面都是②每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相有一個面是，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的的多面體用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，和之間的部分側(cè)棱相交于，但不一定相等延長線交于□側(cè)面形狀□□□2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形1■i1a1母線互相平行且相等，□于底面相交于□延長線交于□軸截面全等的□全等的□全等的□□側(cè)面展開圖□□□3?圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺Q”T\側(cè)面A-琬展開圖釦

側(cè)面積公式5圓柱側(cè)=□5側(cè)面積公式5圓柱側(cè)=□5圓錐側(cè)=□5=圓臺側(cè)□□4?空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)5=5+25表面積側(cè)底^=□7錐體(棱錐和圓錐)5=5+5表面積側(cè)底?=□臺體(棱臺和圓臺)5=5+5+5表面積側(cè)上下V=g（5+5+3、上下下）h球5=□□V=□題組練透】題組一判斷正誤(正確的打“廠，錯誤的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z1．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形．()2．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()3．棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)．()4．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是旋轉(zhuǎn)體．()題組二教材改編1．(多選題)下面結(jié)論正確的是()三角形的直觀圖是三角形平行四邊形的直觀圖是平行四邊形正方形的直觀圖是正方形C.18O0./3cmC.18O0./3cm2D.900+2000啟cm23?如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的體積之比題組三易錯自糾1.如圖，長方體ABCD—A'B'CD'中被截去一部分，其中EH//A，D,剩下的幾何體是()A?棱臺B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱2?圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6n和4n的矩形，則圓柱的表面積為()6n(4n+3)8n(3n+l)6n(4n+3)或8n(3n+l)6n(4n+l)或8n(3n+2)3.RtAABC的三個頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB=AC=2,若球心O到平面ABC的距離為1,則球O的半徑為，球O的表面積為.回題型講昶回題型講昶題型一空間幾何體角度||空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征［例1］(多選題)下列命題不正確的是()有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱用一平面去截棱錐，截面與底面之間的部分組成的幾何體叫棱臺［聽課記錄］類題通法解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的三個技巧把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要多觀察實(shí)物，提高空間想象能力．緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型．通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析.鞏固訓(xùn)練1：下列命題正確的是()以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面—個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺角度||直觀圖［例2］一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于()

A.C.B.2"j2a2A.C.22

D.3a2［聽課記錄］類題通法平面圖形與其直觀圖的關(guān)系在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段．“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于尹軸的線段平行性不變，長度減半?”按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖鞏固訓(xùn)練2：已知正三角形ABC的邊長為a,那么鞏固訓(xùn)練2：已知正三角形ABC的邊長為a,那么△ABC的直觀圖B'C的面積為(L_廠_■3366A.4a2B.8a2C.&a2D，16a2角度丨展開圖［例3］紙制的正方形的六個面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北.現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是()A.南B.北C.西D.下［聽課記錄］類題通法求解展開圖問題的關(guān)鍵及注意事項求解立體圖形展開圖問題的關(guān)鍵是弄清原有的性質(zhì)變化與否．應(yīng)注意：點(diǎn)的變化，點(diǎn)與點(diǎn)的重合及點(diǎn)的位置變化；長度、角度等幾何度量的變化.鞏固訓(xùn)練3：鞏固訓(xùn)練3：如圖所示是一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，A,B,C是展開圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，ZABC的值為()A．30°B．45°C．60°D．90°題型二空間幾何體的表面積與體積［例4］(1)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O］,O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()積是cm3.(3)(—題兩空)如圖，在直角梯形ABCD中，AD=AB=4,BC=2，沿中位線EF折起,使得ZAEB為直角，連接AB,CD,則所得的幾何體的表面積為，體積為.［聽課記錄］類題通法幾何體表面積的計算：根據(jù)幾何體的直觀圖或三視圖所給的條件，確定表面的形狀，選擇正確的平面圖形的面積公式求解，注意表面積與底面積、側(cè)面積的區(qū)別．幾何體體積的計算：簡單幾何體可用體積公式直接求解，一些組合體的體積則需用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.鞏固訓(xùn)練4：(1)若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°，半徑為l的扇形，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比為()A．3:2B．2:1⑵如圖所示，已知三棱柱ABC—ABC的所有棱長均為1,且AA］丄底面ABC,則三棱錐B1—ABC1的體積為()

V3HV612V3HV612A-CTOC\o"1-5"\h\zAB(3)如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且心廠左,△BCF均為正三角形，EF//AB,EF=2，則該多面體的體積為.題型三空間幾何體與球的切、接問題高頻考點(diǎn)角度||幾何體的外接球［例5］(1)［2019?全國卷I］已知三棱錐P—ABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，AABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn),ZCEF=90。,則球O的體積為(—)_A.8、：6nB.4\；6nC.2過6nD：6n(2)［2020?新高考I卷］已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2,ZBAD=60°?以D1為球心，遲為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為.［聽課記錄］類題通法求解多面體的外接球時，經(jīng)常用到截面圓?如圖所示，設(shè)球O的半徑為人，截面圓Oz的半徑為r，M為截面圓上任意一點(diǎn)，球心O到截面圓O'的距離為d，則在RtAOO'M中，OM2—OOO2+O'胚，即R2—d2+尸2.求解球的內(nèi)接正方體、長方體等問題的關(guān)鍵是把握球的直徑即是幾何體的體對角線．若球面上四點(diǎn)P,A,B,C的連線中PA,PB,PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則可構(gòu)造長方體或正方體解決問題.鞏固訓(xùn)練5：(1)［2020?天津卷］若棱長為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A.12nB.24nC.36nD.144n⑵［2021?河北唐山模擬］已知四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA丄底面ABCD，AB=AD=1，BC=CD=2?若球O的表面積為36n，則PA=()A.2Ba^C.V31D.33角度||幾何體的內(nèi)切球［例6］(1)已知正三棱錐的高為6,內(nèi)切球(與四個面都相切)的表面積為16n,則其底面邊長為()A.18B.12C.6由D.4訂(2)(—題兩空)半徑為R的球的外切圓柱(球與圓柱的側(cè)面、兩底面都相切)的表面積為,體積為.［聽課記錄］類題通法(1)正多面體存在內(nèi)切球且正多面體的中心為內(nèi)切球的球心．(2)求多面體內(nèi)切球半徑，往往可用“等體積法”.V多二s表，R內(nèi)切'3.正四面體內(nèi)切球半徑是高的1,外接球半徑是高的3.并非所有多面體都有內(nèi)切球(或外接球).2n鞏固訓(xùn)練6：將半徑為3,圓心角為扌的扇形圍成一個圓錐(接縫處忽略不計)，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為()2n3nA.3B.3C.^nD.2n［預(yù)測1］核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象、直觀想象如圖，在矩形ABCD中，EF//AD,GH//BC,BC=2,AF=FG=BG=1.現(xiàn)分別沿EF,D-3n［預(yù)測2］立體幾何中的數(shù)學(xué)文化

玉琮是中國古代玉器中重要的禮器，神人紋玉琮王是新石器時代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遺址.玉琮王通高8.8cm,孔徑4.9cm、外徑17.6cm.琮體四面各琢刻一完整的獸面神人圖像，獸面的兩側(cè)各淺浮雕鳥紋．器形呈扁矮的方柱體，內(nèi)圓外方，上下端為圓面的射，中心有一上下垂直相透的圓孔.試估計該神人紋玉琮王的體積約為(單位：cm3)()A.6250B.3050C.2850D.2350狀元筆記球心的確定“切”“接”問題的處理規(guī)律(1)“切”的處理解決與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切于多面體或旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決．如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作．(2)“接”的處理把一個多面體的幾個頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．1.由球的定義確定球心若一個多面體的各頂點(diǎn)都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球．也就是說如果一個定點(diǎn)到一個簡單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，那么這個定點(diǎn)就是該簡單多面體外接球的球心．長方體或正方體的外接球的球心是其體對角線的中點(diǎn)；正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點(diǎn)；直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn)；正棱錐的外接球的球心在其高上具體位置可通過建立直角三角形運(yùn)用勾股定理計算得到．［典例1］若正三棱柱ABC—AzB'C'的底面邊長為2,側(cè)棱長為1,其頂點(diǎn)都在同AH二畔，OH二扌,則外接球的半徑R則外接球的半徑R二OA二飛；；AH2+OH2二表面積S二4nR2二晉.答案】19答案】19n2．構(gòu)造長方體或正方體確定球心正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是直角三角形的三棱錐，可將三棱錐補(bǔ)成長方體或正方體；同一個頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐，可將三棱錐補(bǔ)成長方體或正方體；若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)成長方體或正方體；若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)成長方體或正方體.［典例2］若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為\.'3，則其外接球的體積是d)3呼.【解析】三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為“朽，則可將三棱錐補(bǔ)形成正方體?從而其外接球的直徑為3，半徑為3,故所求外接球的體積d)3呼.【答案】9n類題通法一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為a,b,c,則可以將這個三棱錐補(bǔ)形成一個長方體，長方體的體對角線的長就是該三棱錐外接球的直徑，即2R二a2+b2+C2.!i\3?由球的性質(zhì)確定球心!i\3?由球的性質(zhì)確定球心［典例3］正三棱錐A—BCD內(nèi)接于球O,且底面邊長為/3,側(cè)棱長為2,則球O的表面積為.【解析】如圖，設(shè)三棱錐A-BCD的外接球的半徑為r,M為正ABCD的中心，因?yàn)锽C二CD二BD二岳，AB二AC二AD二2,AM丄平面BCD,所以DM二1,AM二“陽，又OA二OD二r,所以(-r)2+1二H,解得r二2呂，所以球O的表面積S二4砒2_16n-丁.【答案】晉【探究】本題運(yùn)用公式R2二口+d2(r為三棱錐底面外接圓的半徑，R為三棱錐外接球的半徑4為球心到三棱錐底面中心的距離)求球的半徑，該公式是求球的半徑的常用式?本題的思路是探求正棱錐外接球半徑的通法，該方法的實(shí)質(zhì)是通過尋找外接球的一個軸截面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究．第一節(jié)基本立體圖形及空間幾何體的表面積和體積課前基礎(chǔ)鞏固［教材回扣］平行且全等平行四邊形平行多邊形三角形截面底面平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形垂直一點(diǎn)一點(diǎn)矩形等腰三角形等腰梯形14圓矩形扇形扇環(huán)2nrlnrln(r+r‘)lShSh4nR2nR3'底3底3［題組練透］題組一1.X2.X3.V4.X題組二解析：由斜二測直觀圖的畫法法則可知，A、B正確，C不正確，因?yàn)檎叫蔚闹庇^圖是平行四邊形，D不正確，菱形的直觀圖不是菱形，而是平行四邊形?故選AB.答案：AB2.解析：每個三角形面積為S=|x30X1^3=22^3,則表面積為S二8X225^=1800羽(cm2)，故選C答案：C3.解析：設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R，高為2R,4???V球=^R3,V圓柱二nR2?2R=2nR3，4nR3~2???V球V圓柱二丁2nR3=3.2答案：3題組三1.解析：由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱，故選C.答案：C解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r,分兩種情況.①若6n=2nr,r=3.?圓柱的表面積為:4nX6n+2nr2=24n2+18n=6n(4n+3).②若4n=2nr,r=2,?圓柱的表面積為:4nX6n+2Xnr2=24n2+8n=8n(3n+1),故選C.答案：C解析：設(shè)q為斜邊BC的中點(diǎn)，則q為A/BC的外接圓的圓心，???OO1丄平面ABC，則O1O=1在RtAOBO］中，OB二*BC二&,于是OB二、［002+OB=\.'3.?:球的半徑R=OB3，則球的表面積S=4nR2=12n-答案：I：312n課堂題型講解題型一例1解析：對于A，它的每相鄰兩個四邊形的公共邊不一定互相平行，故A錯；對于B，也是它的每相鄰兩個四邊形的公共邊不一定互相平行，例如，兩個底面全等的斜四棱柱拼接在一起，故B錯；對于C，它符合棱柱的定義，故C對；對于D，它的截面與底面不一定互相平行，故D錯?故選ABD.答案：ABD鞏固訓(xùn)練1解析：由圓錐、圓臺、圓柱的定義可知A,B錯誤，C正確?對于命題D,只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，D不正確.故選C.答案：C例2解析:根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則可知在x軸上(或與x軸平行)的線段，其長度保持不變；在y軸上(或與y軸平行)的線段，其長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄役?O,二45。(或135。)，所以，若設(shè)原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S，二1?乎S二乎S.可以得出一個平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積Sz之間的關(guān)系是Sz二豎S,本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積S二豊沖2.答案：B鞏固訓(xùn)練2答案：B鞏固訓(xùn)練2解析：如圖(1)所示的是△MC的實(shí)際圖形，圖(2)是△ABC的直觀圖.=*OC二^a,在圖(2)中作C丄A，B'于由圖(2)可知A'B'=AB=a,O'C點(diǎn)D',則C'D'二為C'二普a.￥°二希2.￥°二希2.故選D.例3解析：如圖所示的正方體，要展開成要求的平面圖，必須剪開棱BC,使正方形:定川B，C=2A'BCD'=2XaX=答案：DBCC1B1向東的方向展開，剪開棱D1C1使正方形DCC1D1向北的方向展開?剪開棱AQ,使正方形ABBA向南的方向展開，然后展開，則標(biāo)“△”的面的方位向北，故選B.答案：B

鞏固訓(xùn)練3解析：還原成正方體后如圖所示，由正方體的性質(zhì)可知，△ABC為正三角形，故ZABC二60°.故選C.答案：C題型二圓柱例4解析：(1)設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x,則由坨二8,得x=2\Q,??』圓柱=2S底+S側(cè)二2XnXCJ2)2+2nXX2富二12兀圓柱故選B.cm3.(2)正六棱柱的體積為6羊22412^3(cm3)，圓柱的體積為nX0.52X2=2(cm3)則該六角螺帽毛坯的體積為(12衍-cm3.a如圖，過點(diǎn)C作CM平行于AB,交AD于點(diǎn)M,作CN平行于BE,交EF于點(diǎn)N,連接MN.由題意可知ABCM,BENC都是矩形，AM=DM=2,CN=2,FN=1,AB=CM=2邁，所以Sm二*X2X2二2,S梯形abcd=*X(2+4)X2d6百，S梯形befc=|x(2+3)X2=5,S梯形aefd=*X(3+4)X2=7,在直角三角形CMD中，CM二2溟,MD=2，所以CD二2爲(wèi)又因?yàn)镈F二FC二百，所以Sw=2X2；3X?邁^'6,所以這個幾何體的表面積為2+6邊+5+7+.16=14+6邁+\：6.因?yàn)榻孛鍯MN把這個幾何體分割為直三棱柱ABE-MCN和四棱錐C-MNFD，又因?yàn)橹比庵鵄BE-MCN的體積為V］二SaAB￡-AM=|x2X2X2=4,四棱錐C-MNFD的體積為呂四邊形MNFD?be=|x1(1+2)X2X2=2，所以所求幾何體的體積為V1+F2=6.答案：(1)B(2)12邁一2(3)14+6邁+V66鞏固訓(xùn)練4解析：(1)底面半徑r二務(wù)故圓錐中S側(cè)='l2，S表冷匕+召小nl2，所以表面積與側(cè)面積的比為43.(2)(2)故選C.VB1-ABC1=VA-B1BC13入2入212-故選A.2122X1X2=3?如圖，取AD的中點(diǎn)M,過M作MNIEF于N，取BC的中點(diǎn)G,過G作GH1EF于H,連接AN,DN,BH,CH,則原幾何體可分割為左錐體E-ADN、右錐體F-BCH、直三棱柱ADN-BCH,且兩錐高各是1,柱高是1?連接EM,則由2122X1X2=3?處」W(2)2=￥-1邁11??.VpX1X亍X1+2X3X2X答案：(1)C(2)A(3)￥題型三例5解析：(1)本題主要考查三棱錐的外接球的體積，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算．因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為PA,AB的中點(diǎn)，所以EF//PB,因?yàn)閆CEF二90。，所以EF丄CE,所以PBICE.取AC的中點(diǎn)D，連接BD,PD，易證AC丄平面BDP,所以PB丄AC,又ACHCE二C,AC,CE平面PAC,所以PB丄平面PAC,所以PB丄PA,PB丄PC,因?yàn)镻A=PB=PC,△ABC為正三角形，所以PA丄所以PA丄PC,即PA,PB,PC兩兩垂直，將三棱錐P-ABC放在正方體中如圖所示.因?yàn)锳B二2,所以該正方體的棱長為拄，所以該正方體的體對角線長為.再，所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R笛，所以球O的體積V二3nR3二扌冗址)二阿，故選D.如圖，連接B1D1,易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1=C1D1=2.分別取B1C1,BB1,CC1的中點(diǎn)MG月連接DXMDpDH，則易得DG二DH二、］22+h二邏,D1M±B1C1,且DM二小.由題意知G,H分別是BB1,CC1與球面的交點(diǎn).在側(cè)面BCC?內(nèi)任取一點(diǎn)P,使MP二遲，連接Dp，則Dp=\：D1M2+MP2二弋(劇2+(02二卡，連接MG,MH,易得MG二MH=、..p故可知以M為圓心為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCCb的交線由11ZB1MG=ZC1MH=