角平分線-完整版課件

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過操作、驗(yàn)證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.（難點(diǎn)）2.能運(yùn)用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題.

（重點(diǎn)）3.理解角平分線判定定理.(難點(diǎn)）4.掌握角平分線判定定理內(nèi)容的證明方法并應(yīng)用其解題.（重點(diǎn)）導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入1.角平分線的概念一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.OBCA122.下圖中能表示點(diǎn)P到直線l的距離的是

.線段PC的長PlABCD3.下列兩圖中線段AP能表示直線l1上一點(diǎn)P到直線l2的距離的是

.AAPPl1l2l1l2圖1圖2圖1角平分線的性質(zhì)一如圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC.在OC上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P畫出OA,OB的垂線，分別記垂足為D、E，測量PD，PE并作比較，你得到什么結(jié)論？在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試.PAOBCDEPD=PE作圖探究講授新課驗(yàn)證結(jié)論已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.

一般情況下，我們要證明一個(gè)幾何命題時(shí)，可以按照類似的步驟進(jìn)行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.歸納總結(jié)

性質(zhì)定理：

角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應(yīng)用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE（在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）.推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè).知識(shí)要點(diǎn)PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）∵如圖，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵

如圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BDCD×BADC典例精析例1已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF分析：先利用角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE

≌Rt△CDF.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.角平分線的判定二你能寫出下面這個(gè)定理的逆命題嗎?性質(zhì)定理:角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.如果有一個(gè)點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)必在這個(gè)角的平分線上．這是一個(gè)真命題嗎？如果是，請證明；如果不是，請舉出反例．不是真命題，是假命題．在角的外部，也存在到角兩邊距離相等的點(diǎn)，但是這個(gè)點(diǎn)不在這個(gè)角的平分線上．（鈍角）合作探究判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.知識(shí)歸納已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.證明：作射線OP，

∴點(diǎn)P在∠AOB

角的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP溫馨提示:這個(gè)結(jié)論又是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.典例精析

例2

如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在何處（比例尺為1︰20000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O典例精析例3已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在BC上，AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F，且DE=DF.求DE的長.ABCDEF證明：∵DE⊥AB,DF⊥AC，DE=DF，∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10,當(dāng)堂練習(xí)2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是

.ABCD3E1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG3.已知用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON,再分別過點(diǎn)M,N作OA,OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線OP,則OP平分∠AOB.為什么？AOBMNP解：在△MOP和△NOP中，

OM=ON，

OP=OP，∴△MOP≌△NOP（HL）.∵△MOP≌△NOP，∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.4.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．

證明：過點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC.∴FG＝FM.又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC，∴FM＝FH，∴F