完整版三角形全等的判定課件

12.2三角形全等的判定 12.2三角形全等的判定知識(shí)回顧ABCDEF1、什么叫全等三角形？能夠重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形。2、已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的邊與角①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤

∠B=∠E⑥∠C=∠F知識(shí)回顧ABCDEF1、什么叫全等三角形？能夠重合的ABCDEF①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠F1.滿足這六個(gè)條件可以保證△ABC≌△DEF嗎？2.如果只滿足這些條件中的一部分,那么能保證△ABC≌△DEF嗎?思考：ABCDEF①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A1.只給一條邊時(shí)；3㎝3㎝1.只給一個(gè)條件45?2.只給一個(gè)角時(shí)；45?結(jié)論:只有一條邊或一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.探究一1.只給一條邊時(shí)；3㎝3㎝1.只給一個(gè)條件45?2.只給一個(gè)①兩邊；③兩角。②一邊一角；2.如果滿足兩個(gè)條件，你能說(shuō)出有哪幾種可能的情況？①兩邊；③兩角。②一邊一角；2.如果滿足兩個(gè)條件，①如果三角形的兩邊分別為4cm，6cm時(shí)6cm6cm4cm4cm結(jié)論:兩條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.①如果三角形的兩邊分別為4cm，6cm時(shí)6cm6cm4cm②三角形的一條邊為4cm,一個(gè)內(nèi)角為30°時(shí):4cm4cm30?30?結(jié)論:一條邊一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.②三角形的一條邊為4cm,一個(gè)內(nèi)角為30°時(shí):4cm4cm345?30?45?30?③如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是30°，45°時(shí)結(jié)論:兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.45?30?45?30?③如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是30°，兩個(gè)條件①兩角；②兩邊；③一邊一角。結(jié)論：只給出一個(gè)或兩個(gè)條件時(shí)，都不能保證所畫(huà)的三角形一定全等。一個(gè)條件①一角；②一邊；兩個(gè)條件結(jié)論：只給出一個(gè)或兩個(gè)條件時(shí)，都不能保證所畫(huà)的三角形①三角；②三邊；③兩邊一角；④兩角一邊。3.如果滿足三個(gè)條件，你能說(shuō)出有哪幾種可能的情況？探索三角形全等的條件①三角；②三邊；③兩邊一角；④兩角一邊。3.如果滿足已知兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為30°，60°，90°它們一定全等嗎？這說(shuō)明有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等⑴三個(gè)角已知兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為30°，60°，90°它們已知兩個(gè)三角形的三條邊都分別為3cm、4cm、6cm。它們一定全等嗎？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm⑵三條邊已知兩個(gè)三角形的三條邊都分別為3cm、4cm、6cm。它們?cè)凇鰽BC與△

A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．AB=A′B′

AC=A′C′

BC=B′C′

∵

用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá):1.邊邊邊公理(SSS)：

三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”或“SSS”.ABCA′B′C′

在△ABC與△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B證明：∵D是BC中點(diǎn)，∴BD=DC．

在△ABD與△ACD中，∴△ABD≌△ACD

（SSS）．

例1.如圖，有一個(gè)三角形鋼架，AB=AC，AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架．求證：△ABD≌△ACD．CBDAAB=AC，BD=CD，AD=AD，∵

證明：∵D是BC中點(diǎn)，∴△ABD≌△ACD（歸納：①準(zhǔn)備條件：證全等時(shí)要用的條件要先證好；②三角形全等書(shū)寫(xiě)三步驟：寫(xiě)出在哪兩個(gè)三角形中擺出三個(gè)條件用大括號(hào)括起來(lái)寫(xiě)出全等結(jié)論證明的書(shū)寫(xiě)步驟：歸納：①準(zhǔn)備條件：證全等時(shí)要用的條件要先證好；②三角形全等書(shū)

三步走：①準(zhǔn)備條件②擺齊條件③得結(jié)論注重書(shū)寫(xiě)格式三步走：①準(zhǔn)備條件②擺齊條件③得結(jié)論注重書(shū)寫(xiě)格式練習(xí):已知：如圖，AB=AD，BC=DC，

求證：△ABC≌△ADCABCDACAC()

≌AB=AD()BC=DC()∴△ABC△ADC（SSS）證明：在△ABC和△ADC中=已知已知

公共邊練習(xí):已知：如圖，AB=AD，BC=DC，ABCDAC如圖，△ABC和△EFD中，AB=EF，AC=ED，點(diǎn)B，D，C，F(xiàn)在一條直線上.（1）添加一個(gè)條件，由“SSS”判定△ABC≌△EFD；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求證：AB∥EF．ABCDEF如圖，△ABC和△EFD中，AB=EF，AC=EBCCB△DCBBF=CDABCD1、填空題：解：△ABC≌△DCB理由如下：AB=CDAC=BD=△ABC≌z（）（SSS

（1）如圖，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？試說(shuō)明理由。（2）如圖，D、F是線段BC上的兩點(diǎn)，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD，還需要條件AEBDFC

====××ⅤⅤ或BD=FCBCCB△DCBBF=CDABCD1、填空題：解：△ABC已知:如圖,四邊形ABCD中，AD=CB,AB=CD求證：∠A＝∠C。AC

D

B分析：要證兩角或兩線段相等，常先證這兩角或兩線段所在的兩三角形全等，從而需構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造公共邊是常添的輔助線1234已知:如圖,四邊形ABCD中，AD=CB,AB=CDA除了SSS外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件.思考(2)三條邊(1)三個(gè)角(3)兩邊一角(4)兩角一邊

當(dāng)兩個(gè)三角形滿足六個(gè)條件中的三個(gè)時(shí)，有四種情況:SSS不能!?除了SSS外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件.思考繼續(xù)探討三角形全等的條件：兩邊一角思考：已知一個(gè)三角形的兩條邊和一個(gè)角，那么這兩條邊與這一個(gè)角的位置上有幾種可能性呢？ABCABC圖一圖二在圖一中，∠A是AB和AC的夾角，符合圖一的條件，它可稱為“兩邊夾角”。符合圖二的條件，通常說(shuō)成“兩邊和其中一邊的對(duì)角”繼續(xù)探討三角形全等的條件：兩邊一角思考：已知一個(gè)三角形的兩條幾何語(yǔ)言：在△ABC和△A′B′C′中，∴

△ABC≌△A′B′C′（SAS）．

AB=

A′B′∠A=∠A′AC=A′C′

2.邊角邊公理(SAS)：

兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS

”ABCA′B′C′

幾何語(yǔ)言：∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．A1.在下列圖中找出全等三角形Ⅰ?30o8cm9cmⅥ?30o8cm8cmⅣⅣ8cm5cmⅡ30o?8cm5cmⅤ30o8cm?5cmⅧ8cm5cm?30o8cm9cmⅦⅢ?30o8cm8cmⅢ1.在下列圖中找出全等三角形Ⅰ?30o8cm9cmⅥA45°

探索邊邊角BB′C10cm

8cm

8cm

兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎?已知：AC=10cm,BC=8cm,∠A=45°.△ABC的形狀與大小是唯一確定的嗎?A45°探索邊邊角BB′C10cm8cm8cm兩邊及10cm

AB′C45°

8cm

探索邊邊角BA8cm

45°

10cm

CSSA不存在顯然：△ABC與△AB’C不全等10cmAB′C45°8cm探索邊邊角BA8cm45

三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”或“SSS”）。ABCDEF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：

三角形全等判定方法1知識(shí)梳理:三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊

三角形全等判定方法2用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：在△ABC與△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）

兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”)知識(shí)梳理:FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF三角形全等判定方法2用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：在△ABC與△DEF知識(shí)梳理:ABDABCSSA不能判定全等知識(shí)梳理:ABDABCSSA不能判定全等兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？①兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS)；②兩邊及其中一邊的的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等．③現(xiàn)在你知道哪些三角形全等的判定方法？SSS,

SAS兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？①兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等的例.

如圖，AC=BD，∠CAB=∠DBA，你能判斷BC=AD嗎？說(shuō)明理由。ABCD證明:在△ABC與△BAD中AC=BD

∠CAB=∠DBAAB=BA∴△ABC≌△BAD（SAS）(已知)(已知)(公共邊)∴BC=AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）例.如圖，AC=BD，∠CAB=∠DBA，你能判斷BC例如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個(gè)不經(jīng)過(guò)池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)至D，使CD=CA，連接BC并延長(zhǎng)至E，使CE=CB，連接ED，那么量出DE的長(zhǎng)就是A，B的距離．為什么？ABCDE12例如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的距離，ABCDEAC=

DC（已知），∠1=∠2（對(duì)頂角相等），BC

=EC（已知）

，證明：在△ABC和△DEC中，ABCDE12∴

△ABC≌△DEC（SAS）．∴

AB

=DE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．AC=DC（已知），證明：在△ABC和△DEC中，A除了SSS外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件.思考(2)三條邊(1)三個(gè)角(3)兩邊一角(4)兩角一邊

當(dāng)兩個(gè)三角形滿足六個(gè)條件中的三個(gè)時(shí)，有四種情況:SSS不能!SAS?除了SSS外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件.思考幾何語(yǔ)言：在△ABC和△A′B′C′中，∴

△ABC≌△A′B′C′（ASA）．

∠A=∠A′AB=

A′B′∠B=∠B′3.角邊角公理(ASA)：

兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA

”ABCA′B′C′

幾何語(yǔ)言：∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．∠證明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA）．∴

AE=AD．∠B=∠C，AB=AC，∠A=∠A，例1如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BA=AC，∠B=∠C．求證：AD=AE．ABCDE證明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（幾何語(yǔ)言：在△ABC和△A′B′C′中，∴

△ABC≌△A′B′C′（AAS）．

∠A=∠A′∠B=∠B′AC=

A′C′4.角角邊公理(AAS)：

兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS

”ABCA′B′C′

幾何語(yǔ)言：∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）．∠除了SSS外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件.思考(2)三條邊(1)三個(gè)角(3)兩邊一角(4)兩角一邊

當(dāng)兩個(gè)三角形滿足六個(gè)條件中的三個(gè)時(shí)，有四種情況:SSS不能!SASASA、AAS除了SSS外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件.思考證明：∵∠DAB=∠EAC，∴∠DAC=∠EAB.∵AE⊥BE，AD⊥DC，∴∠D=∠E=90°.在△ADC和△AEB中,ABCDE例2如圖，AE⊥BE，AD⊥DC，CD=BE，∠DAB=∠EAC．求證：AB=AC．證明：∵∠DAB=∠EAC，ABCDE例2如圖，A∠DAC=∠EAB，∠D=∠E，CD=BE，∴△ADC≌△AEB（AAS）．∴

AC=AB．例2如圖，AE⊥BE，AD⊥DC，CD=BE，∠DAB=∠EAC．求證：AB=AC．證明：ABCDE∠DAC=∠EAB，∴△ADC≌△AEB（AAS）．練習(xí)如圖，E，F(xiàn)在線段AC上，AD∥CB，AE=CF．若∠B=∠D，求證：DF=BE．ABCDEF證明：∵

AD∥CB

，∴∠A=∠C.∵AE=CF

，∴AF=CE.在△ADF和△CBE中,練習(xí)如圖，E，F(xiàn)在線段AC上，AD∥CB，AE=練習(xí)如圖，E，F(xiàn)在線段AC上，AD∥CB，AE=CF．若∠B=∠D，求證：DF=BE．∠A=∠C，∠D=∠B，AF=CE，∴△ADF≌△CBE（AAS）．∴

DF=BE．證明：ABCDEF練習(xí)如圖，E，F(xiàn)在線段AC上，AD∥CB，AE=∠AB

C

A＇

B＇

C＇

幾何語(yǔ)言：∵在Rt△ABC和Rt△A＇B＇C＇中，

AB=A＇B＇，

BC=B＇C＇，∴

Rt△ABC≌

Rt△A＇B＇C＇（HL）

．4.“斜邊、直角邊”公理(HL)：

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等。簡(jiǎn)寫(xiě)為“斜邊、直角邊”或“HL”ABCA＇B＇C＇幾何語(yǔ)言：4.“斜邊、直角練習(xí)1如圖，C是路段AB的中點(diǎn)，兩人從C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時(shí)到達(dá)D，E兩地．DA⊥AB，EB⊥AB．D，E與路段AB的距離相等嗎？為什么？ABCDE練習(xí)1如圖，C是路段AB的中點(diǎn)，兩人從C同時(shí)如圖，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，CE=BF．求證：AE=DF．ABCDEF如圖，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，ABCDEF如圖,D是△ABC的BC邊上的中點(diǎn),DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分別為E,F,且DE=DF.求證:△ABC是等腰三角形.DBCAFE如圖,D是△ABC的BC邊上的中點(diǎn),DBCAFE經(jīng)驗(yàn)總結(jié)三角形全等判定方法的靈活運(yùn)用：證明三角形全等時(shí)，一般需要3個(gè)條件：如果已知兩組邊相等，就試著去找第三邊或兩邊的夾角，利用“SSS”，“SAS”來(lái)證明。如果已知兩組角相等，就試著去找一組邊，利用“AAS”，“ASA”來(lái)證明。經(jīng)驗(yàn)總結(jié)三角形全等判定方法的靈活運(yùn)用：除了SSS外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件.思考(2)三條邊(1)三個(gè)角(3)兩邊一角(4)兩角一邊

當(dāng)兩個(gè)三角形滿足六個(gè)條件中的三個(gè)時(shí)，有四種情況:SSS不能!SAS （HL）ASA、AAS除了SSS外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件.思考課堂練習(xí)1、已知：如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.求證：△ABC≌△ADE.122、已知：如圖，AE是△ABC的中線，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CD＝AB，∠BCA＝∠BAC.求證：AD＝2AE.ABCDE【點(diǎn)評(píng)】這里∠1和∠2不是所證三角形中的角，∠BAC和∠DAE才是三角形的內(nèi)角.所以須證∠BAC＝∠DAE，才能滿足①、②、③三個(gè)條件.

【分析】通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是一種常用的思考方法.若已知條件中有中線，常延長(zhǎng)中線成兩倍關(guān)系，構(gòu)成全等三角形.F課堂練習(xí)1、已知：如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.證明題：3．已知:如圖，AD∥BC，AD＝CB.

求證:AB＝CD.【提示】連結(jié)AC，由△ABC≌△CDA，故AB＝CD.

4．已知:如圖，∠1＝∠2，BD＝CA.求證:∠A＝∠D.

【提示】先證ΔABC≌ΔADC證明題：3．已知:如圖，AD∥BC，AD＝CB.求證:(1)AE＝CF；(2)A