第章彎曲內(nèi)力

第四章彎曲應(yīng)力橋式吊梁1§4-1對稱彎曲的概念鏜刀桿火車輪軸彎曲特點

以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁常見彎曲構(gòu)件截面對稱彎曲具有縱向?qū)ΨQ面外力都作用在此對稱面內(nèi)梁變形后軸線所在平面與外力所在平面相重合，稱為對稱彎曲（一定是平面彎曲）。1、梁不具有縱對稱面；2、梁雖有縱對稱面，但外力沒有作用在縱對稱面內(nèi)，從而變形后軸線所在平面與梁的縱對稱面不一致。非對稱彎曲——yzFzyFqxq例試求圖示有中間鉸C的梁AB的支反力。關(guān)鍵在于中間鉸不能傳遞力矩的特性，因而不論AC段或CB段均有解：整體分析梁的受力如圖。未知支反力：4個整體獨立平衡方程：3個1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m

Me=5kN·mF=50kNFByMA

FAxFAyCDKq=20kN/mMe=5kN·mAEFBFCx

FCy

CAE50kNFCy'FCx'MA

FAxFAy1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m

Me=5kN·mF=50kNDKq=20kN/mCFByMe=5kN·mFByMA

FAxFAyCDKq=20kN/mMe=5kN·mAEFB1m0.5m1m3m1mCB梁段上的荷載會傳遞到梁的AC段，稱為副梁；AC段上的荷載不會傳遞到梁的CB段，稱為基本梁(或主梁)。CFCx

FCy

AEFFCy'FCx'MA

FAxFAyDKq=20kN/mCFByMe=5kN·m帶有中間鉸的梁的受力特點：B§4-2梁的剪力和彎矩?剪力圖和彎矩圖Ⅰ、梁的剪力和彎矩取左側(cè)分離體分析任一橫截面m-m上的內(nèi)力mmxaABFFBFAFAFSyAmmxxCM由其右邊分離體的平衡條件同樣可得切向應(yīng)力的合力，稱為剪力法向應(yīng)力的合力，稱為彎矩FBammxABFFAFAFSyAmmxxCMMFSmFmBCFB①剪力—----正負號規(guī)定：使梁有左上右下錯動趨勢的剪力為正，反之為負(左截面上的剪力向上為正，右截面上的剪力向下為正)；或繞截面內(nèi)一點順時旋轉(zhuǎn)的剪力為正（反之為負）

②彎矩—M正負號規(guī)定：使梁變形呈上凹下凸的彎矩為正，反之為負(梁上壓下拉的彎矩為正)。剪力Fs和彎矩M的符號規(guī)則：FSFSFSFS剪力為正剪力為負MMMM彎矩為正彎矩為負例求圖示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4橫截面上的剪力和彎矩。解：支反力為

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA截面1—1截面2—2M1FS1FC111FAM2FS2FC222

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA截面3—3截面4—4

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA33C3M3FFS3FAFS4M44C4FB4內(nèi)力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa1、橫截面上的剪力和彎矩在數(shù)值上由截面左側(cè)或右側(cè)梁段分離體的靜力平衡方程來確定。剪力值=截面左側(cè)（或右側(cè)）所有外力的代數(shù)和彎矩值=截面左側(cè)（或右側(cè)）所有外力對該截面形心的力矩代數(shù)和

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F2、截面左側(cè)梁段向上的外力→正剪力→正彎矩順時針外力偶→正彎矩截面右側(cè)梁段向上的外力→負剪力→正彎矩順時針外力偶→負彎矩內(nèi)力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F3、在集中力作用處，剪力值發(fā)生突變，突變值=集中力大?。辉诩辛ε甲饔锰帲瑥澗刂蛋l(fā)生突變，突變值=集中力偶矩大小。內(nèi)力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F**例圖示簡支梁受到三角形分布荷載的作用，最大荷載集度為q0，試求截面C上的內(nèi)力。解：先求支反力xyABalCq0FBFAq0l/2截面C的內(nèi)力思考：是否可以將梁上的分布荷載全部用靜力等效后的合力代替來求截面C的內(nèi)力？FSCMCFAaAa/3Ⅱ、剪力方程和彎矩方程?剪力圖和彎矩圖顯示剪力和彎矩隨截面位移的變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。剪力方程彎矩方程反映梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式q解：任選一截面x

，寫出剪力和彎矩方程x依方程畫出剪力圖和彎矩圖FSxl由剪力圖、彎矩圖可見。最大剪力和彎矩分別為:例:懸臂梁受均布載荷q作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。qx例圖示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、求支反力2、列剪力方程和彎矩方程xFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAqql

2FS

ql28l/2MBlAq3、作剪力圖和彎矩圖例圖示簡支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、求支反力2、列剪力方程和彎矩方程——需分兩段列出xBlAFabCFBFAAC段CB段xBlAFabCFBFAFAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)3、作剪力圖和彎矩圖FS

FblxFalMxFablFBlAabC由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，剪力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向。例圖示簡支梁在C點受矩為Me

的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解:1、求支反力Me

FA

FBBlACab2、列剪力方程和彎矩方程剪力方程無需分段：彎矩方程——兩段：AC段：CB段：FA

FBBlACabxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)3、作剪力圖和彎矩圖BlACabFslxMelMxMealMeb由剪力、彎矩圖知：在集中力偶作用點，彎矩圖發(fā)生突變，其突變值為集中力偶的大小。

思考：對稱性與反對稱性Bl/2FA

AFBCl/2FxMFl/4xFsF/2F/2Bl/2FA

AFBCMe

l/2FslxMeMxMe/2Me/2結(jié)構(gòu)對稱、外力對稱時，彎矩圖為正對稱，剪力圖為反對稱結(jié)構(gòu)對稱、外力反對稱時，彎矩圖為反對稱，剪力圖為正對稱結(jié)論：Ⅲ、彎矩、剪力與分布荷載集度之間的關(guān)系及其應(yīng)用略去mmnnmmCnnq(x)

FS(x)

M(x)M(x)+dM(x)OFyxMe

q(x)xdxFS(x)+dFS(x)

q(x)、FS(x)、M(x)間的微分關(guān)系其中分布荷載集度q(x)

以向上為正，向下為負。OFyxMe

q(x)3.彎矩、剪力與分布荷載集度之間的積分關(guān)系及幾何意義

式中：FSA、FSB分別表示A、B兩個橫截面上的剪力。

任何兩個截面上的剪力之差，等于這兩個截面間梁段上的荷載圖的面積。幾何意義：

式中：MA、MB分別表示A、B兩個橫截面上的彎矩。幾何意義：

任何兩個截面上的彎矩之差，等于這兩個截面間的剪力圖的面積。

目錄FS>0FS<0FS=0突變折角無影響突變與x軸斜交極值MFSMqFS0M0FS

0M=0FS

0M0FS

=0M=0FABCq=10kN/mFSM1.332.670.270.36(補）例：作如圖梁的剪力彎矩圖目錄ABC10NmFSM50N10Nm目錄ACq0.283/45/410.5FSM目錄ABCqFSM目錄(補）例：外伸梁AB承受荷載如圖所示，作該梁的FS、M圖。解：1、求支反力DABC(kN)FS3.8Ex=2.1m4.231.412、分段定端值CADBFS-3kN-3kN4.2kN-3.8kN-3.8kN-3.8kNM0-3kNm-3kNm-2.2kNm3.8kNm03、據(jù)荷載分布情況逐段繪出梁的剪力圖和彎矩圖FAFB3.832.2(kN·m)M⊕解：1）求內(nèi)力例5-9求圖示外伸梁的內(nèi)力圖。10kN/m5kNm2m5mABC1m5kN10kN/mDFAFB2）作剪力圖xoFS(kN)102055+-xoM(kNm)10kN/m5kNm2m5mABC1m5kN10kN/mDxoFS(kN)102055+-3）作彎矩圖20集中M引起突變：151m2m=0201.25+§4-3平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖Ⅰ、平面剛架——由同一平面內(nèi)不同取向的桿件相互間剛性連接的結(jié)構(gòu)。

面內(nèi)受力時，平面剛架桿件的內(nèi)力有：軸力、剪力、彎矩作剛架內(nèi)力圖的約定：彎矩圖：畫在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負號；剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)，但應(yīng)注明正、負號；剪力和軸力的正、負規(guī)定仍與前面章節(jié)一致。例試作圖示剛架的內(nèi)力圖。解：從自由端取分離體作為研究對象寫各段的內(nèi)力方程，可不求固定端A處的支反力。CB段：(上側(cè)受拉)yxqF=2qaBCA2aa2aDFS(x)M(x)Cqx(左側(cè)受拉)BD段：(外側(cè)受拉)DA段：F=2qaBCay2aDqFS(x)M(x)qBCy2aFS(x)M(x)可取剛性結(jié)點B為分離體，考察該結(jié)點是否滿足平衡條件來校核內(nèi)力圖的正誤。F=2qaBCA2aa2aDq2qa2qa26qa22qa2qaFN圖FS圖M圖Ⅱ、平面曲桿面內(nèi)受力時的內(nèi)力——軸力、剪力、彎矩