高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)大題專練《立體幾何中的體積（一）》突破解析

一輪復(fù)習(xí)大題專練43—立體幾何（體積2）1．如圖，已知四棱錐中，，，分別是，的中點(diǎn)，底面，且．（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積．（1）證明：在四棱錐中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以是的中位線，即，又平面，平面，所以平面，因?yàn)榍?，所以四邊形是平行四邊形，有，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，而，所以平面平面，又平面，所以平面．?）解：連接，，如圖所示：由，所以的面積為，又，所以三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，所以三棱錐的體積為．2．如圖，在四棱錐中，四邊形是梯形，平面，，，，，．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．（1）證明：四邊形是梯形且，又，，又，，可得是等腰直角三角形．，，如圖，連接交于點(diǎn)，連接．，在中，由余弦定理得，解得，則，故，又點(diǎn)在棱上，且，，又平面，平面，故平面；（2）解：由（1）知，在中，，故，則，即．3．已知四棱錐，其中，，，，平面平面，點(diǎn)是上一點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）若是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)到直線距離最大時(shí)，求四棱錐的體積．（1）證明：因?yàn)椋?，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，則平面；（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)，由（1）可知，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又為等邊三角形，所以，在中，，，則，故，所以，因?yàn)?，故，所以四棱錐的體積為1．4．如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，，分別為，上的點(diǎn)，且，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求四棱錐體積最大時(shí)的長(zhǎng)．證明：，，，，．又平面，平面，平面．解：，和為底邊相同的兩個(gè)等腰三角形．取的中點(diǎn)為，連接，，則，，且．平面，由題得當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，即四棱錐的體積最大．，，令，則，，．令，，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，四棱錐體積的最大值為，此時(shí)．5．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，為的重心．（1）證明：平面；（2）若平面底面，平面底面，，，，求四棱錐的體積．解：（1）證明：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接是的重心，是的中點(diǎn)，且，，，，，又平面，平面，平面．（2）平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，同理，，，，平面，平面，為的中點(diǎn)，則到平面的距離，又為的重心，點(diǎn)到平面的距離滿足，解得．四邊形的面積，四棱錐的體積．6．如圖，面，四邊形是邊長(zhǎng)為1的為正方形；點(diǎn)在線段上，．（1）若面，求值；（2）若面，棱錐體積取得最大值，求四棱錐的高．解：（1）設(shè)．面，面面，面，，．（2）解法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所成直線分別為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，0，，有，1，，設(shè)，則，，，面，，，得：，因?yàn)榈牡酌娌蛔儯始吹矫娴木嚯x取最大值．到面的距離，當(dāng)僅當(dāng)，即時(shí)取最大值．故四棱錐的高為．解法二：設(shè)．中，作，交于．面，面，就是到面的距離，