《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用》 市賽獲獎 省賽獲獎 教學(xué)課件

一、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系1．函數(shù)單調(diào)性的充分條件．設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)y′>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為________；如果在這個區(qū)間內(nèi)y′<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為________．2．函數(shù)單調(diào)性的必要條件．設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，那么在這個區(qū)間內(nèi)______；如果函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為______，那么在這個區(qū)間內(nèi)______．增函數(shù)減函數(shù)y′≥0減函數(shù)y′≤03．求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法．(1)確定函數(shù)f(x)的定義域．(2)求出導(dǎo)數(shù)________，令________，解此方程，求出它們在定義域區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根．

(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)即[f（x）的無定義的點(diǎn)]的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把f(x)的定義域分成若干個小區(qū)間．(4)確定f′(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f′(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個相應(yīng)小區(qū)間的增減性[若f′(x)>0，則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；若f′(x)<0，則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)]．f′(x)f′(x)＝0二、函數(shù)的極值1．函數(shù)極值的定義．一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是______________________，記作________________，x0是________．如果對x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＞f(x0)．就說f(x0)是_____________________，記作______________，x0是極小值點(diǎn)．極大值與極小值統(tǒng)稱為________．函數(shù)f(x)的一個極大值y極大值＝f(x0)極大值點(diǎn)函數(shù)f(x)的一個極小值y極小值＝f(x0)極值2．判別f(x0)是極大值、極小值的方法．若x0滿足f′(x0)＝0，且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號，則x0是f(x)的極值點(diǎn)，f(x0)是極值，并且如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，那么x0是f(x)的________，f(x0)是________；如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“________”，那么x0是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)是極小值．3．求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟．

(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)________．(2)求方程____________的根．極大值點(diǎn)極大值左負(fù)右正f′(x)f′(x)＝0(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)定義域的邊界點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成______________，并列成表格．檢查f′(x)在____________________，如果________，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果________，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右________，那么f(x)在這個根處________．若干小開區(qū)間方程根左右值的符號左正右負(fù)左負(fù)右正不改變符號無極值三、函數(shù)的最大值與最小值必有極值極值f(a)，f(b)解析：∵y＝xsinx＋cosx，∴y′＝xcosx.當(dāng)x∈(π，3π)時，要使y′＝xcosx＞0，只要cosx＞0，結(jié)合選項(xiàng)知，只有B滿足．B2．函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1有極值的充要條件是(

)A．a(chǎn)≥0B．a(chǎn)>0C．a(chǎn)≤0D．a(chǎn)<0D(－3，1)解析：依題意得，y′|x＝0＝－5e－5x|x＝0＝－5，因此所求的切線方程是y－3＝－5x，即5x＋y－3＝0.4．(2014·廣東卷)曲線y＝e－5x＋2在點(diǎn)(0，3)處的切線方程為______________．5x＋y－3＝0考點(diǎn)1求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間點(diǎn)評：求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它們在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)根；(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；(4)確定f′(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f′(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性．變式探究解析：因f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)·ex＝(x2＋3x＋2)ex，令f′(x)<0，則x2＋3x＋2<0，解得－2<x<－1，∴單調(diào)遞減區(qū)間為(－2，－1)．1．函數(shù)f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間為________．(－2，－1)(寫成閉區(qū)間也對)考點(diǎn)2討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性變式探究考點(diǎn)3求函數(shù)的極值點(diǎn)評：(1)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)和右側(cè)f′(x)的符號不同．特別注意，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值．(3)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟：①先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③檢查f′(x)在方程根的左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值．變式探究3．(2014·廣東六校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最值．考點(diǎn)4求函數(shù)的最值點(diǎn)評：(1)如果在閉區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時，對函數(shù)極值是極大值還是極小值，可不再作判斷，只需要直接與端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可獲得．(3)當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個時，相應(yīng)的極值點(diǎn)必為函數(shù)的最值．變式探究4．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當(dāng)a＝3，b＝－9時，若函數(shù)f(x)＋g(x)在區(qū)間[k，2]上的最大值為28，求k的取值范圍．1．(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為y